1、第 8 章 多元函数微分学8.1 多元函数的基本概念内容概要定义邻域 空间中点 的 邻域为 nR0P00()|UP平面上点 的 邻域为 (,)xy 2200(,)|)()xyxy开集 所有点都是内点的点集闭集 开集连同边界构成的点集连通集 任意两点都可用一条完全在点集中的折线连接的点集区域点集区域 连通的点集。开区域、闭区域；有界区域、无界区域定义D 为平面上非空点集，如果对 D 中任一点 ，按某种法则 ，都有唯一确定的实数(,)xyf与之对应，则称 为 D 上的二元函数，记 ， ，D 为定义域。zf ,zf(,)xy几何意义： 为空间曲面，D 为曲面在 面上投影。(,)fxyo可定义三元及以
2、上函数。二重极限当 时，恒有 ，则0,2200()()y|(,)|fxyA称 。0lim()xyfA注：其中 为任意方式。从而若 以不同方式趋于 时，0,)xy(,)xy0(,)xy无限靠近不同的常数，则二重极限不存在。()fx多元函数多元函数连续若 ，则函数 在 连续。00li,(,)yfxy(,)zfxy0,)初等函数在其定义区域内连续。闭区域上连续函数必有最大、最下值；有界；满足介值定理。课后习题全解习题 8-11.设 ，求 。2(,)xyf(1,)yfx解： 22(1,)()yxfx2. 已知函数 ，试求 。,wuvfuv(,)fxy解： 2()()xyxy3.设 ，且当 时， ，求
3、。zf0zx()f解：将 代入原式得： ，故 0y2()xf2x4.求下列函数的定义域：（1） 2ln(1)z解：要使表达式有意义，必须 20yx所求定义域为 (,)|1D（2） zxy解：要使表达式有意义，必须 ， 0xy(,)|Dxy（3） 2arcoszu解：要使表达式有意义，必须 211zxy22(,)| Dxyzz（4） 24ln(1)解：要使表达式有意义，必须 220ln(1)ln1xy2(,)|0,4Dxyyx（5） 2ln1z解：要使表达式有意义，必须 201yx2(,)|1,0Dxyxy5.求下列极限：（1） 210ln()imyxye知识点：二重极限。思路： 为函数定义域内
4、的点，故极限值等于函数值。 (,)解： 210lnlin21yxye（2） 04limxy知识点：二重极限。思路： 应用有理化方法去根号。解： 0li(24)xyxy01li42xy（3） (limxye解： 原式 ，22)()lilim)xyxyxyx xy yee2li0,lixyyee，22() 2limlilili0uxxyuuuxy e2()0xyxye（4） 20lixy解：方法一： （应用二重极限定义， 语言）2221xyxyxy当 时 恒有 0=2取 ， 20xy20xy20limxy方法二： （夹逼定理），又 22|xyxy0lim|xy20limxy方法三： （极坐标代换）
5、令 ，则当 时，cos,inrr(,)0,xy(02)r2000cosilililmcosinxr ry （5）230inlim()xyxy知识点：二重极限。思路：先作变量替换，然后对未定型 应用洛必达法则及等价无穷小量替换。0解： 令 ，则 时， ，2xyu(,),xy0u原式 。2320001sin1coslimlilim36uuu洛 必 达（6） 2201co()lixyxye解： 22 2 220000s()1cos()1cos()lilililixyxyx xy xyey2 200slimlixyuu6.证明下列极限不存在知识点：二重极限。思路：若 沿不同曲线趋于 时，极限值不同，则
6、二重极限不存在。(,)xy0(,)xy（1） (,)0,limxy证：取 ，则k，易见极限会随 值的变化而变化，故原式极限不存在。(,)0, 0(1)lilixyxykkk（2）10lim()xyxy证：方法一： 111000li()li()lim()xyxyxyxy 现考虑 ，0lim()xy若 沿 轴趋于 ，则 上式 ，从而 ,),0li2xy 100li()xyxye若 沿曲线 趋于 ，则 ，(,)xy1x(,)0lim()xy01lixy从而 0lim()xyxye故原式极限不存在。方法二：若取 ，则1,nnxy211 020lim()li()lim()nnxyxny e若取 ，则,n
7、n(1)10li()li(nxyxny e故原式极限不存在。（3） 01limxy解： 00lili()1)xxyyxy若 沿 轴趋于 ，则 上式(,),0lim2xy若 沿曲线 趋于 ，则上式(,)xy1x(,)011li2()xyx故原式极限不存在。注：若 沿曲线 趋于 ，则(,)xyx(0,) 20 0()limlimx xy yxy从而 。001limli()1)xxyy7.研究下列函数的连续性（1）2(,)fxyx解：当 时函数无定义，故函数的间断点集为202(,)|xyx（2） 2(,)ln()fxyxy解： 函数间断点为 ， 由 2221|ln()|()ln()|xyxy又 22
8、20 00021lulim()ln()limilimuxyx uy 洛 必 达故由夹逼定理 ，故 为可去间断点。20lixy (,)8.设 ，讨论 在 处是否连续？21,0(,),xeyf任 意任 意 (,)fxy0,知识点：二元函数连续思路：若 ，则函数 在 连续。讨论 处二重极00lim(,)(,)xyffxy(,)zfxy0,)0(,)xy限的存在性，若 沿不同曲线趋于 时，极限值不同，则二重极限不存在。(,)xy0(,)xy解：若 沿 轴趋于 ，则 (,)(,)2100limlixxyye若 沿 轴趋于 ，则 (,)xy21xe(,)212100lilimxxxyye故 不存在，从而函
9、数 在 处是不连续。0lim,xyf,f(,)8.2 偏导数内容概要定义 性质几何意义： 的偏导数(,)zfxy表示空间曲线0(,)xf在点0zy0(,)xz处的切线 关于 轴的斜率xT偏导数 0000(,)(,)limxxyfxyfz也记为 0000(,)(,)(,)(,)xx xfyzff同理可定义 000(,)(,)limyxffy0000(,)(,)(,)(,)yy yfxzff偏导函数的求法：（1）多元函数对某自变量求偏导时，只需将其余自变量看为常数，按一元函数求导法则计算导数。（2）多元分段函数在分段点处偏导数要用偏导数定义来求。偏导数高阶偏导数若函数 的偏导数(,)zfxy(,)
10、xfy(,)f在区域 D 内偏导数也存在，称它们为二阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数。如果 的二阶混合偏导数(,)zfxy在区域 D 内连续，则在2,D 内这两个偏导数相等。课后习题全解习题 8-21. 求下列函数的偏导数：（1） ；323zxyxy知识点：二元函数偏导数思路：函数对自变量 x（y）求导时将另一自变量 y（x）看为常量，按一元函数求导法则求导。解： ； 22336z3226z（2） ；2xyz解： ， 故2xyx2211;zyzxxy（3） ；2z解： ；2232()xxyyz232()yxzxyy注：该题中应用一元函数商式求导法则及复合函数求导法则。（4） ；l
11、n()zxy解： ； 12lln()xy12(ln)ln()zxyyx（5） ；2sin()cos()zxy解： in()cs()i(2)xyyxcos()2cs()in()izxyxyx（6） ；1yz知识点：二元函数偏导数思路：函数对自变量 x（y）求导时将另一自变量 y（x）看为常量，按一元函数求导法则求导。在本题中对自变量 x 求偏导时，函数为 x 的幂函数；对自变量 y 求偏导时，函数为 y 的幂指函数。解： 方法一 1121()()()()y yyxz xln(1)ln(1)ln(1)yxyyxeee(1)ln()1yxyx方法二：（求 时也可利用下边第 5 节的隐函数求导法则）z
12、y在方程两边同时取自然对数得 lnl(1)zyx方程两边同时对自变量 求偏导数，注意 为 的函数,1ln()zxy()l(1)yyxx（7） ；lntazy解： ； 2112seccsecstaxxxxyyy2222sec()csecstanzxxxyyyy（8） ；()zxu知识点：多元函数偏导数思路：函数对自变量 x（y 或 z）求导时将另两自变量 y，z （x，z 或 x，y）看为常量，按一元函数求导法则求导。解： ；111()()()zzzxu； 112()()()zz zyxyy ()lnzuxy 2. 设 ，求 。(,)()arcsinfx(,1)xf解： 法一： ， ；,1if,
13、xf法二： ， 211(,)1()()xfyyxy (,1)xf3.设 ，求222()sin,0(,)0,xyxf y (,),.xyff知识点：多元分段函数偏导数。思路：分段函数分段点处偏导数用定义求；非分段点处应用法则求导。解：当 时，(,),xy20 01()sin(,)(,)|(,)limlim0xx xff xf x 不存在。0 00si(,)(,) 1|(,)li lilisn|yy yyfyff当 时，,x222211(,)sin()cosx xyfyxyxy2232i()xyxy222211(,)sin()cosy yxfxxyx2232i()yy4.曲线 在点 处的切线与 轴
14、正向所成的倾角是多少？4xyz(,5)x知识点：多元函数偏导数的几何意义。思路： 的偏导数 表示空间曲线 在点 处的切线(,)zfxy0(,)xfy0(,)zfxy0(,)z关于 轴的斜率， 。xTtank解： ， ，24zx(2,45)1tanz5. 求下列函数的 和 ：2,zxy2z（1） ；2e解： 2;yyyzzxxe；2()yyxex2()22(1)yyyyzxexee22222() ()yyyyyz（2） ；arctnx解： 22 2211();()zyzxyyx；222()()zxxy；2 222()()()yyxx222()()zxyy（3） 。x解： 1ln;x xzzyy；
15、 2 2(l)(ln)xx 122()()xxzyy211(l)l(ln)xxxxzyy6. 设 ，求 及 。22(,)fxyzyzx(0,1)(,2)(0,1)xxzyzfff(2,01)zxf解： ，又 ，2;xxxzffyz,2zzzfy所以 ，(01)2(,0),(1,0)xxzyzff(2,01)zxf7. 设 ，其中 可导，证明 。3yzu2y证： ，22(),()3zyxxx 左边 ；222()()3yy 右边 ， 所以 左边=右边，题目得证。23xxyx 注： 本题中对抽象函数 应用了一元复合函数求导法则。()8. 设 ，求 及 。lnzxy32zx32y解： 1l()ln()
16、1,， ；2zyxx320zy23211,8.3 全微分及其应用内容概要定义如果函数 在点 的全增量 可表示(,)zfxy(,)(,)(,)zfxyfxy为 ，其中 与 无关， ，则称函ABo,AB,y22(数在点 可微，全微分 。(,)xydzx（1）若函数 在 可微，则 在 连续(,)zfxy,(,)zfxy,（2）若函数 在 可微，则 ；从而若 ，,f,0limd0limzd则函数 在 不可微。(,)zfxy,（3）若函数 在 可微，则 在 偏导数存在，且()xy(,)zfxy,zdxdy性质（4）若函数 在 的某邻域存在偏导数且 ， 在 连续，则函数在(,)zf,xyzxy(,)可微，
17、且(,)xyzdd全微分及其应用全微分应用若函数 在 的某邻域内偏导数 ， 在 连续，且 都比(,)zfxy,xfy(,)|,|xy较小时，有全增量近似公式 (,)zd函数值近似公式 (,),(,)xyfxyfyffx课后习题全解习题 8-31.求下列函数的全微分：（1） ；23xzy知识点：全微分。思路：求出函数的偏导数，代入全微分公式 。zdxdy解： 216,3zzxxyy所以 2()()dzdd（2） ；sincoxy解： cos()cs,cos()sin)zzxyxyy所以 inddxd（3） ；yzux解： 1,lnl,lnlyzyzyzyzyzuuxxxx所以 1llyzyzyz
18、duxd2. 求函数 在 时的全微分。2ln(),1x解： 22222 211114,77xxxxyyyyz z所以 47dd3. 设 ，求(,)zxfy(1,)f解： 1 1112()(),()()zzz zx yxxf fyy1 122()ln()()lnz zzfyz故 从而 ,0xyzfffdzxy4. 求函数 在 时的全增量 和全微分 。z2,1.,.2xxydz解： 2dz将 代入得：2,10.,.xyxy全增量 全微分()19,.2z210.(.2)0.15dz5. 计算 的近似值 33107知识点：全微分思路：应用全微分近似计算公式 (,)(,)(,)(,)xyfxyfyffx
19、解： 设 ，则要计算的近似值就是该函数在 时的函数值的近3(,)fxy1.02,.97似值。 取 1,20.,.03xyxy又 23 3(,),(,)x yf fxy应用公式 22333()() yx x所以 22333331(1.02)(.97)10.(0.)12.5 6. 计算 的近似值2.98()知识点：全微分思路：应用全微分近似计算公式 (,)(,)(,)(,)xyfxyfyffx解： 设 ，则要计算的近似值就是该函数在 时的函数值的近似值。(,)yfx1.07,2.98取 130.7,.02又 所以 1(,),()lnyyxffxx (,3)(,)3(1,)0xyfff所以 2.98
20、30.27.1.70.2.7. 已知边长为 与 的矩形，如果边 增加 ，而边 减少 ，问这个矩形的6xm8yxcmy5c对角线的近似变化怎样？知识点：全微分思路：应用全微分近似计算公式 zdxy解：由题意知矩形的对角线为 2zy则有 ，zdx其中 ，22,zyxy6,80.2,.05xyxy所以 68(0.)(0.5).21zd即矩形的对角线近似减少 2.8cm。8. 用某种材料做一个开口长方体容器，其外形长 ，宽 ，高 ，厚 ，求所需材料的m4320cm近似值与精确值。解：设容器的长宽高分别为 ，则长方体体积为 ，从而所需材料的精确值为,xyzVxyzV由题意可知， 5,430.4,.,0.
21、2故 精确值 .62.8136V2()m近似值 ().dyzxyz9. 有欧姆定律，电流 I，电压 V 及电阻 R 有关系 。若测得 V=110V，测量的最大绝对误差为VI2V，测得 I=20A，测量的最大绝对误差为 0.5A。问由此计算所得到的 R 的最大误差和最大相对误差是多少？解： 21RddIdIV其中 ， 分别为测量电压和电流的绝对误差；120,0.5I1,故 122|VddII I210.5370.4又 ， 故 .VRI 2%dR从而 R 的最大误差为 ，最大相对误差是 。0.244.8.4 复合函数微分法内容概要类型 求导法则复合函数的中间变量均为一元函数的情形如果函数 及 在点
22、 处可导，函数 在对应点 出具()ut()vt (,)zfuv(,)v有连续偏导数，则复合函数 在对应点 处可导，且,()zfutvtdzdtutvt复合函数微复合函数中间变量为多元函数情形如果函数 及 在点 处可导，函数 在对应(,)xy(,)xy(,)(,)zfuv点 出具有连续偏导数，则复合函数 在对应点(,) ,(zfuxyv处可导，且 ，,xyzuvxz分法复合函数中间变量既有一元函数又有多元函数的情形如果函数 及在点 处可导函数 在 点可导，(,)uxy(,)()vy函数 在对应点 出具有连续偏导数，则复合函数zfvuv在对应点 处可导， (,)xy(,)xy且 ，zuzzdvu注
23、：若 ， ，则(,)fxy(,)xy(,)fxyu；zuzf其中 为 对中间变量 的偏导数，此时应将 中变量 看做常fxx(,)zfxyu,数；而 为 对自变量 的偏导数，此时将自变量 看为常数。z(,)fy y与 区别同上。fyz课后习题全解习题 8-41. 设 ，而 ，求yzx2,1tteydz解： dzttt22 2211()()()ttt tttyee ex2. 设 ，而 ，求2xyz3sin,tydzt解： dzdttt3222sinco()3(6xyxyteett3. 设 ，而 ，求2zuv,xyv,zxy解： zx uzvy21()()4uvyx21()(4x4.设 ，求2zx,
24、zy解： 令 则函数可看为 复合而成的函数，从而2,uvx2,vzuxyvzzx z122 2ln()(l()vvxyuuyx122 2ln()(l()vvxyuuxy注：本题也可根据幂指函数求导法则 计算或用对数()()ln()lnvxvxuvxuuee 求导法。5.设 ，求arctn(),xzyedz解： （ 指 对中间变量 的偏导数，此时将 中 看为常dxxarctn()zxy量）222(1)1()()xyxey6. 求下列函数的一阶偏导数（其中 具有一阶连续偏导数）：f（1） 2(,)ufxy解：令 ，则原函数为 复合而成的函数，按st 2(,),ufstxyt多元复合函数求道法则有：
25、2stufftxfyxsstfftfy（2） (,);xyufz解： 令 ，则原函数为 复合而成的函数，按多元复合函,sty(,),xyyufstzz数求导法则有： 10ssufsftffxxy21stfsftxfyyz22ttfftffzszz（3） (,)ufxy知识点：多元复合函数求导法则。思路：函数有三个中间变量，其中变量 既是中间变量又是自变量。x解： 令 ，则函数为 复合而成，按复合函数求导法,sxytz(,),ufstxytz则有：（其中 为函数 对中间变量 的导数）ufftsxffxtfyzf0stusxfztytffffyxstz7.设 ，其中 为可导函数，验证： 。2()y
26、zff 21zzxy知识点：多元复合函数微分法。思路：本题为抽象函数 的复合函数，故要用商式求导法则 ，再按复合函2()fxy 2()uv数求导法则求导。证：令 ，则 ，2u22()()zfuxyfxu， 所以有：22()()()zfyfuff 2222 211()1()()()()xffuyfxyfufxyfuxy 。2221()()yzyfufxyfx8.设 ，其中 有二阶连续偏导数，求,xzz22uy解： 令 ，则函数可看为22,sxztxyz复合而成的函数，由求导法则有：(,)uft， ，2stsftfxx 2stufsftfyystufftfzzs函数 仍为 复合而成的复合函数，依然
27、以 为中间f 22(,),stxyxyz,st变量以 为自变量，且由 有二阶连续偏导数，得,xyzf2()()2()stss tttf fffu sfxxt x 24sstttsttttfxfff又由函数对自变量的对称性可得：，22sstttufyffy224sstttufzffz22 2234()()6sst ttufxyfxyfxz9.设 ，其中 具有连续二阶偏导数，求(,in)zfyf 2z解： 令 ， 则函数为 复合而成，按复2,siuxvx(,),sinufvxyvx合函数求导法有：，couvzfffyfx由 为 的函数，所以 仍为以 为中间变量，以 为自变量的函数，故(,)fuv,
28、xy2(cos)2()cos()uvuu vvvfyxfff ffz ufxyxyy y (in)cosinuvvvuffxf（ 具连续二阶偏导数 ）2scsicosuvxyyfx fuvf（与课后答案不同。 ）10.求下列函数的 （其中 具有二阶连续偏导数）22,zzxyf（1） (,)f解：令 ，则函数为 复合而成的函数，其中变量 既是中间变量又是自变uxy(,)ufyxy量，按复合函数求导法有：， （其中 是函数对中间变0uzfffxyuyzffxfyf量 的偏导数，求解时将中间变量 看作常量）y又由 为 的函数，所以 仍为以 为中间变量，以 为自变量的函数，故(,)fu,uyf,2 2
29、(0)uufzyfxx2)()uuuuyufffxffyy 2()()uy yyuuxf fffz 2 2uyuyuyffxff（2） 2(,)zx解：令 ， 则函数为 复合而成，按多元复合函数求导vy 2(,),fvxy法：，2uvzfuffxyfxvx 21uvzfufvfxy由 为 的函数，所以 仍为以 为中间变量，以 为自变量的函数，故(,)f,uvf,x222 3() 2()()2uvuuvvu vyfxfff ffzyvyufxyfxx x 2232()()2uuvuvvvfff yf （ 具连续二阶偏导数 ）24234uuvuvvyxyfffxfyfuvf222 2() 1()(
30、)2uvuuvvu vffff ffz fxyxfxyyxyv y 211()uuvuuvvffffxx （ 具连续二阶偏导数 ）332vv uvf与书后答案不同 22 21()1()()uvuuvvfxffffz xyyyvy2()uuvvuffffx（ 具连续二阶偏导数 ）421xuvf11.设 二次可微，且 ，试证：(,)zfycos,inueye22()uzexv知识点：多元复合函数的求导法则思路：在本题中将函数看为 的函数时， 是中间变量的角色。按链式法则对自变量 求导即得,xy ,uv右边；将函数看为 的函数时按求导法则即得左边。,y证： ；cosin;sincosuuuux xy
31、zzfevffevfv2(s)(si)concosin(cosin)siuuxyuuuuuxxxyxyyzffeevvfevfevfevfev 2 2ssicoi iuuyyxfff（ 二次可微，故 ）fxyf2(sin)(cos)cos(sin)cos)inuuxvyvuuuuuxxyxyyzfefev fevfevfevfev2 2sisiuuxyyxfff（ 二次可微，故 ） ；又 fxyf222uuxyzeffv故 左边 右边，得证。2()uuzeev2()uxyzff12.设 ，其中函数 具有二阶连续偏导数，验证：)xy,。2220uu证： 令 ，则vxy； ；()()uv()()u
32、xvyvy2()()2()()xx2()()uvvyy2()()()2()xxvyv故 ，得证。2220uuy8.5 隐函数微分法内容概要分类 法则隐函数微分一个方程情形 若二元方程 确定一元隐函数 ，则(,)0Fxy()yfxxyFd若三元方程 确定二元隐函数 ，则(,)0Fxyz(,)zfxy,yxzz方程组情形 若方程组 确定二元函数(,)0uvGxy(,)(,)uxyv则 ，,vuxxuvvuFFG,yvuyuvuvFG课后习题全解习题 8-5 1.已知 ，求 。2lnarctnyxyxd知识点：隐函数求导。思路：设左端函数为 ，先求出 ，代入 。(,)F,xyFxyd解 ：设 ，2(
33、,)lnarctnxy，22211()x yxx222(,)1()yyFxy所以 xyd注： 本题也可通过一元函数隐函数求导法则求解。 2.设 ，求20xzx,zxy解： 方法一; （应用隐函数存在定理公式 ）,yxzzF设 ，(,)2Fxyzzxy，1,1,1xyzzxxyFFFz故 ； 。1xzzxyzy1yzxzxyz方法二：（在方程两边对自变量求偏导，注意变量 为 的函数）,方程两边同时对自变量 求偏导，得：x，整理可得： 1()0zyz(1)1xyzxy故 1zxyxyzz方程两边同时对自变量 求偏导，得：，整理可得 2()0xyzyz(1)1xyzxy故 1xxyzyz3.设函数
34、由方程 所确定，证明 。(,)zfx(,)0zFxyzxyzx证：方法一：（应用隐函数存在定理公式）设 ，令 (,)(,)zGxyzxy,zuxvyx则 ； ；221()xuvuvFF22()1yuvuvzzGFFy1zuvuvGyxy故 ；22xuvzGyFzx22yuvzGxFyy2 2()()uvuvuvuvuvxFyxyzxFzxy方法二： 方程两边同时关于 求偏导，注意 是 的函数。,yz,xy令 ，方程两边同时关于 求偏导，得：,zuxvyx，故 211()()0uvzF2uvxyFzz又由 变量 的对称性同样可得： ，,xy 2uvxFyy故 2 2()()uvuvuvuvuvF
35、zzxyxyFzxy方法三：（利用全微分公式 及全微分形式的不变性）zdxdy方程两边同时取微分得 (,)(0F故 ()()0uvzzFdxyx整理得22()()uvydzxF22()()()uvvuuvFdzdyyxx2 2uvvuuFyzz由全微分公式可知 2 2;uvvuuxyFzxyFzz dy故 2 2()()uvuvuvuvuvzxyxyzFFzxy4. 设 ，其中 可导，求22()zxyfyf,xy解： 方法一： 设 其中 22(,)(),Fzxzfuz则 22,()()()()xyfuyfyffu 1()2()zFfzf故 ；()xzzfy22()()()yz zffyffF
36、yzy 方法二：方程两边同时关于 求偏导，注意 是 的函数。,xz,xy方程两边同时对自变量 求偏导 得：整理得 12()zzxyf 2()zfy方程两边同时对自变量 求偏导 得：212()()zzzyfyfy()()()zfff 故 。2()()()2z zffyyffy y 5. 设 具连续偏导数，证明由方程 所确定的隐函数(,)uv(,)0cxazyb满足 。(,)zfxyzabcxy证：在方程 两边关于 求偏导得：,)0cx()(uvzzabxxuvczab同样地，方程两边关于 求偏导得：y()()0uvzzcvuczy，得证。()uvvvuuababab cxy6. 设 ，求320z
37、2,zxy解：方法一： （用隐函数求偏导公式）设 ，则 3(,)Fxyzz22,1,3xyzFzFx故 2 2;3yxz z所以 （求导时注意此式中 仍为 的函数）22()3xx ,xy22 2()(6)(3)4zzzxx2223(3)416()zzxzx（求导时注意此式中 仍为 的函数）221()3yzyx z,y223166(3)()zzyxx方法二：（直接法）方程两边同时关于 求偏导得： （1） 整理得 20zzx23zx方程（1）两边再关于 求偏导得： 2226()30zzzxx故 222346()163)zzzxxx同样的 方程两边同时对 求偏导得： y（2） 整理得 210zy21
38、3zyx方程（2）两边再关于 求偏导得： x2226()3zzyy故 22 3()63)zzxxx7. 设 ，求 。541zyz2(0,)y解： 设 ，则有：543(,)Fxxz4332,xyzzFxyz故 4 33242;55yz zFzxyxy2432()yxyz44322(5)(20136)5)z zzzxxyyzx345665 64232()(4)()z zxzyxzyzxy10984323(5)zzxy又 时 ，故,z(0,)325x8. 设 ，求2201xyz,dyz解：方法一：由题意知，方程组确定隐函数组 ，在方程组两边同时对 求导得 (),()xyzz， 整理得 1022dxyzz 122dxyzz当 时 ，12()0yxx12()zydx12()xzdyzyx方法二：（利用微分形式不变性）由题意知，方程组确定隐函数组 ，在方程组两边同时求微分得 (),()zy0122()dxyzd将方程组中 看为未知量， 从中消去 得 ，,)ydy即 zydxxzd同理可得 zyx9. 设 ，求2301x,dzyx解：由题意知，方程组确定隐函数组 ，在方程组两边同时对 求导得 (),()x
