1、莫兴德 广西大学 数信学院,Email:,微 积 分,链接目录,参考书,1赵树嫄. 微积分. 中国人民出版社 2同济大学. 高等数学. 高等教育出版社,第六章 定积分的应用,定积分的应用,一、平面图形的面积,1 直角坐标系,作为一般情况讨论，设平面图形由 a , b 上连续的两条曲线 y = f ( x ) 与 y = g ( x ),及两条直线 x =a ,x =b 所围成,在 a ,b 上任取典型小区间 x ,x+dx ,与它相对应的小曲边梯形的面积为局部量dA,dA 可用高为,底为 dx 的矩形面积,近似表示,即,故,a,b,当 dx 很小时,所围成的图形的面积,解,为确定图形的存在区间
2、,由联立方程组解得交点,A（-1，1） B（1，1）,故,例1 求两曲线,所围图形的面积,解,首先定出图形所在的范围,解得交点为（2，-2）和（8，4）,若取 x 为积分变量 在 x,x+dx 上取部分量,则对于 x 的不同值 局部量的位置不同 其上、下曲边有多种情况运用上述公式计算较为复杂,如下图,例2 计算,以 y 为变量计算将会简单,在-2,4 上任取一小区间,其上相应的窄条左、右曲边分别为,但若将这一面积看作是分布在区间 -2，4 上,由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使计算简化,上述问题的一般情况是,平面区域由 c,d 上连续的曲线,及
3、直线y = c ,y = d 所围成,则其面积为,c,d,当直角坐标系下的平面区域的边界曲线由参数方程的形式给出时，只须对面积计算公式作变量代换即可。,计算时应注意积分限在换元中应保持与原积分限相对应。,例3,求椭圆,的面积,解,由对称性 面积A等于椭圆在第一象限内的部分的面积的4倍,即,设 f ( x ) 在 a ,b 上连续，在 ( a, b ) 内有,证明,存在唯一的,使曲线 f（x ）与两直线,所围图形的面积,是 y = f ( x ) 与两直线,所围图形面积,的3倍,证,例4,故由零点定理知,又,令,2 极坐标系,某些平面图形，用极坐标来计算是比较方便的,若曲线由极坐标方程,给出,极
4、坐标系下研究面积的基本图形不是曲边梯形,而是由射线,所围成的称为曲边扇形的区域,可用半径为,圆心角为,由于曲边扇形的面积分布,故面积元素为,的圆扇形的面积来近似,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,解,利用对称性知,通过以上几例可见在实际计算中应充分利用所求量的对称性和等量关系来简化计算。,二、平面曲线弧长的概念,直角坐标情形,弧长元素,弧长,解,所求弧长为,解,曲线弧为,弧长,参数方程情形,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,证,根据椭圆的对称性知,故原结论成立.,极坐标情形,曲线弧为,弧长,解,求心形线,的全长,解,由对称性,例12,求在直角坐标系下、参数方程形
5、式下、极坐标系下平面图形的面积.,（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）,平面曲线弧长的概念,弧微分的概念,求弧长的公式,直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下,小结,思考题,两边同时对 求导,积分得,思考题 1 解答,所以所求曲线为,不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长,思考题 2 解答,练 习 题,练习题答案,练 习 题,练习题答案,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,体 积,一、旋转体的体积,旋转体的体积为,所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周所成的立体的体积为,例1,求椭圆,所围成的平面图形分别绕 x 轴
6、和 y 轴旋转一周所成的旋转体（旋转椭球体）的体积,类似地，由连续曲线,这个旋转体可以看成是由半个椭圆,及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的立体,与上同理,椭球体也可以看成由半个椭圆,及 y 轴围成的平面图形绕 y 轴旋转而成的立体,解,特别当 a = b 时,旋转体成为球体,解,解,例4,证明由平面图形,（f ( x ) 连续）,绕 y 轴旋转而成的立体的体积为,对应的部分量,可近似看成内径为 x ，外径为 x + dx 高为 f ( x ) 的薄壁圆筒,故,证,或展开后近似于长为 宽为 dx 高为 f(x) 的薄长方体,利用这个公式，可知上例中,解,体积元素为,求圆心在 ( b
7、,0 ) 半径为 a ( 0 a b ) 的圆绕 y 轴旋转一周所成的环状体的体积,解,圆的方程,例6,绕 x 轴旋转,dV = 薄片圆柱的体积（底半径为 f(x) ，高为dx ）,柱片法,绕 y 轴旋转,dV = 薄壁圆筒的体积（内径为 x ，外径为x+dx 高为f ( x ),柱壳法,旋转体的侧面积,绕 x 轴旋转,所得的旋转面的侧面积为,一 般地,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,二、平行截面面积为已知的立体的体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,已知点A（1,0,1), B(0,1,0) ，线段AB绕 z 轴旋转一周所成的旋转曲面为S，求由S和两平面 z = 0,z = 1所围立体的体积,解,AB 的方程为,在 z 轴上截距为 z 的水平面截此旋转体所得截面为一个圆，此截面与 z 轴交于点Q (0,0,z) ，与AB交于点M (z,1-z,z) ，,截面面积,立体体积,故截面的半径为,例8,旋转体的体积,绕 轴旋转一周,绕 轴旋转一周,绕非轴直线旋转一周,平行截面面积为已知的立体的体积,思考题,三、小结,交点,立体体积,思考题解答,练 习 题,练习题答案,
