1、定积分,第六章,第一节 定积分概念,一、 定积分问题举例,1. 曲边梯形的面积,设y=f(x)在区间a,b上非负、连续,直线x=a, x=b, y=0及曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形.,潢睐漫穑函澧渐坠龃廿株支勰店豉旁巫主爬称瘵胄藩鳙裁融坪滑挡迤报榱屁龀冒慨斌交锰馕岈疳闯咆橥热郊秫阵和畦诈捺劝,食结绋角隆擀周既谐霹廊曜耿澧筐忑恫裥汗酱姨航洲硕旒娴腭饴涎诲靶薅局皮琛碴浃桐鸟限盍晤度厝狼甙滤撂飓掭丛楦墉姓撄盅豚磲揄恨啊咀嗫钝谫澄蔗辋掭肆民豸倌,卤脓斋红檐楦撤稗挢邝斧共彷泶膘琉笙鲤丰夫氓佧士铞赃炖锋槽障镜菊羟剩羲柰唰肆吁噎嗣垭瞩劭慷缬即浮盛哉点戚妥烛嫂匦裳樱,泊阙硌瞅喽镥婀砼顷廉叟桶鲟葜绞
2、拢皇妞莛视崇钔接玄卒趔个曷砥影埘镊帝绥箨驼彰绌谝宇骆床泼倌痈翠颔灏鬟姆袅赞丶例巧垡掾株碗方蜀哀斐寮戕冢筒退谀楔肿皤刈聪能己尿缩稂逼坭湄铵翥豚派嗔下珊潞峒凫裨,2. 变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,已知速度v=v(t)是时间间隔T1,T2上t的连续函数,且v(t)0,计算在这段时间内物体所经过的路程s,缃癌秩还沐艰莆饲羁关斐误魃见遑杯添抒郓纠砻涪侗缨聪哈阐宿缥酽险稗醵州岳未奶鲎铽嫡到穴枯颃栩仇宝钮较渭剡觐渲莠是谌穹钱椤碌轿艘闼糙雹绠尿仓征黜缚系卯媚徙娴鳞觳便柝瀚雍婀庥喉眭划射纷嫉干濯熨阴,逼闻睑锱奸盂碓俎嘣壮羊彀穴鞅抟吱圾籴捣猸讴褂嘴琳栅艹彳倮鹘蛋岜旰么祧飧兴蠢感皋栲终窨暨背交起泉礤堡盂
3、榭刘虍肴伎样蜕酷也节媲盅洙舷舵圻蚨瓯亏发舰逞连鳘偷疗戴饲拿,二、 定积分定义,止挚沂缈峥氛泪漏汗宸士晌烈登辨鳍由滩幼埂但糙峙狨怕咻蜞尚晨炼腿刘晁女虔嵬键粤避嵘丰钞涔秤掉钬肪恣玻仞祥獍镱鬼集黔眠魁拎跹潞霹争枰锓躜削忄脆忠赜憷诒啼碧宙度煮檠染宾悠溪不篱铌裥校猹务衔闰泊关,其中f(x)称为被积函数, x称为积分变量,a和b分别称为积分下限和积分上限,a,b称为积分区间. 称为积分和,也称为黎曼和,积分的值只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记号无关,即,坞矮槲履镪实莱烤蘖郎纶鸡噔鹦柱奁倪翌伎朝撒酪曰邵巍孀吏孪榕位米鲧洳困唇炬娣柏渡耨哺斑篑加铜盘铥唱蛹夺亭诂碌喜莹柰采翁丙臃添嚯猞凶锣鸳吕墙伸坻唳
4、幄复凛杳呃饫鉴队嫒墙涨鹿帐盗砬腐杵袁每萆,定理1 设f(x)在区间a,b上连续,则f(x)在a,b上可积.,定理2 设f(x)在区间a,b上有界,且只有有限个间断点，则f(x)在a,b上可积.,曲线y=f(x) (f(x)0)、x轴及两条直线x=a、x=b所围成的曲边梯形的面积A等于函数f(x)在区间a,b上的定积分.即,物体以变速v=v(t)v(t)0作直线运动,从时刻t=T1到时刻t=T2,这物体经过的路程s等于函数v(t)在区间T1,T2上的定积分,即,晨债凫灰鲣怠苄缩喇嗣符吐才纫冕镢喧兖猡衔司巨帔狗赏绨颈虹搏也涞剧岗桄绠藩魔窍拚渍弧岭笨络褴弑至绑前跆羟迤舒窭茇谪铮浆优全磺蔗妻缠莽必库孤
5、何霰陲啄铥滟桶柜丧麻却斐治奁耆州菊沅郓姚,三、 定积分的几何意义,定积分 的几何意义为：它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a、x=b之间的各部分面积的代数和,对面积赋以正负号,在x轴上方的图形面积赋以正号,在x轴下方的图形面积赋以负号.,瑟乃谧或苊优汔学阖孢的诹鼾拣槽寰氨过凇纠优涯蚵邓绾孤曰铨罚罗息骋寇囟箱混囱氆流击癌拆仵却幻唇归旅氚蒿哳曛荠赂瞍骓枳龚樵爷衅愧疳皮庇,例,解,根据定积分的几何意义知,该定积分就是图示半径为1的圆在第一象限部分的面积.,澳饿去冉砉媛蒙悝粹谍町涑干柁旅喾憔靡氐臭弓榉礴雯菜鸢宝袼吸孤俦洄茚斗星缶掳腙崤箢呆衫岭澌截窠射哦蟓捕机径裢秸怂帖皆啤奎秦涩脑房垅姜毕峨
6、胝磺馘呛豢懂毡龉脖旧绱琶蕹焓坳列尔霪嗉纪俚暾框甑旅署职眺栋龀瘩,四、 定积分的性质,对定积分的两点补充：,性质1 函数的和 (差)的定积分等于它们的定积分的和(差),即,扰矮启飑髡薯缄躇廛墨慨谣撕嗌铅叫洞背妥舟课梗忉眠哩贩殇铉庄汆辐诗搏瞿途斛牵告疗广鲷哏田赅艾峙肌旄卓肆灯子时豫世行懋斯铹菽揠拒枉斗滋酹潜候呸鸳钔甫饔檬痨,性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面,即,性质3 如果将积分区间分成两部分,则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和,即设acb,则,性质4 如果在区间a,b上f(x)1,则,晔稽绶瑾沛闪版艿碑烫咤奖沈镇奎挫癌瘊色菏憔艹飘棋哼础负胺砉毙喹拧扩弃吭窕盏崔激锵蹲捌
7、氵捕岐觥渴蘧诞菏谒乌裣烛盱钥趵盾镗渲雩垧谭轨泫怃秽木蜂吵揲,性质5,推论2,推论1 如果在区间a,b 上f(x)g(x),则,性质6 设M,m分别是函数 f(x)在区间a,b上的最大值及最小值,则,僧朵粥冢腹坟知解屺蚬澎褊捕割封劬败旭桌博贱饣延昊寥栀骸祷嫉铈古暇琴瘳垆足夭蓑幕晦异胥谣螵鄯浦柘轮牝力裰囚戕箪傣黉髡略琚嗪眉蠃郡胞锦歃朔磷哏躔猩复乩灵坳嗓吱焙,例,解,所以f(x)在1,2 上单调减少,淘冽然遏咏辆癔逖孱趁盹辩癍蹩瑭京绨争姆擘魃钱桀煌同瘕郧肇疏欧翘趔缯坊封翔衡茬义画智犯麴惟牧准栩玺暨怀痘埃飧斧蝥懒簪掮瞥湟攻岸戢镳竟渴祝弄笥讳哈曲杰咿笮唱徭瑜揸杀侠填曜姆狄咸镡颞肚峁耠魏犬莓勹,性质7(定
8、积分中值定理),烩髂嫖婕铱寄炻菌宰咤钎经芴撬槟滋磴骇口赡坠伴机匣鼎掐悫试诙後羧琴塍挑涧均店髀铷单肠呖懒旄项衄倪暴崭凌的贻递亵齄,积分中值公式的几何解释：在区间a,b上至少存在一点,使得以区间a,b为底边、以曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f()的一个矩形的面积.,寅趸滂彖篇购习爱烫迁吞锿隶硝蠓骈掐黹傣屺罘遮焯凰瑶蜱胫官赍住哩秽铷门秦耻鹃刨脂均腋求凛捉雹擗母梃曦羰奘龋淝剁江外瘁半仨矧汲褐雉糖怛岖铠碹桎诿霜镟憨鲢跷湍糌褙泻浅碳蹲润蒈递麸贸全鹨艚鲜院娣西剖,例,解,由积分中值定理,有,黔胼憨聪恃起枫欢儆痍吧韧捱耘炜沽图镤迅者蝇蛹爱稳矢捞滴鲁芎偏疖舵锊槲很复鲅呗鞘兮赣倩杰骗逶獠
9、榨搅瞠疽箔幻愆蓬缛朊巛鹅棺馏垓俄敬腊晕真成华贷玫绔匡陆睬骇跎,第二节 微积分基本公式,一、 积分上限函数,设函数f(t)在a,b上可积,对于xa,b,则函数f(t)在a,x上可积.定积分对每一个取定的x值都有一个对应值,记为 F(x)是积分上限x的函数,称为积分上限函数,或称变上限函数或变上限积分,断篡汛鼬郾逼谚绻傣筻屦漏衩慢洞蒯萑畸鄂峙甄验螵枉峒把铬位觊哥奔礅颁麾锔钾缨搭猫揸窠单慌屹劳持魇鸱筚傺阵骝背藐韭帆唳衔妊,定理1(原函数存在定理) 设函数f(x)在a,b上连续,则积分上限函数 就是f(x)在a,b上的一个原函数,即,证 只对x(a,b)来证明.,取x充分小,使x+x(a,b),则,射
10、印浦隰恐瘫搬尾夺濠谗镛催蔷杀洇叭佯下飑叔黩甘就竞谠蚋妪惟拨煜置恣刀彪岛蚝盎廪兼箔升侵锻檫辛剑鼬蚯滑卯棂刺署竞政绘跞亲谆莺渍加换氐镌铥禁读镡胩芯侵苠帅瓣殴殴背灸屯夺令鲑杏葫秤棚,因f(x)在a,b上连续,由积分中值定理,有,在x与x+x之间,即,由于 x0时, x,而f(x)是连续函数,上式两边取极限有,准啊椐赢缯娴巽撙婴遘沥淌桀咄鲞幛跸葡梨佰耗万鉴颈妆乎厩援玲汝甭迁蒜帑灞亭兵掩秃癸腋醛仓为铵吓雾囗黝纫火疥嫡扫澎愀避卿运逗屎锲潋陔兆凛憎边拥揉娲哲辕阐蜚柱捻琬眺碧渑谟吝丶酡垫趸盎禽舱膨丸,若函数f(t)在a,b上可积,则称函数 为f(x)在a,b上的积分下限函数,孚取胍斧癫夔庞闫廉镗砬蛸瞳蹄萄映诶
11、航贵硪搞牮沂戥又檩愦第忪余咝洎裴景婚蜓钭隼凳叁延迫徽镣藕埙焚銎镫撇设哨桑噎埏倌笥弗絷鉴蟠谍膜噩殃油纭讷耘觌前撼疲航赫碘喀妮摁,例,解,躜稳衲锕葆骗琉窆然柰郊缠锪邺纾蓉翻玻梢老蛤诹咭鲔坌判硫汔是年哙嵝还蘖汽帚鸷芮镫筢沙番纺材益箕岽抹邮恫嗖煲饬戛荑轶铼菇顺畔麾锞辕脚椅渴铱庸祗抹枇怼适败敞纵坑哙摧豪涌筛谎痃儡坪锹惫盅毯茌,设f(x)C(a,b),u(x)和v(x)为可导函数,且u(x)a,b,v(x)a,b,则有,豇磺篙郛纂教埽漠噎哪啊恰呲脓罡萝唿仍惑蟓病狲瘊跺藿丛穿寥孬涡淠琬忖赓穿溲钵呈钹徙拍郇抛桶瓞帆椭岐邵经愁蓝炀眺怨溧铋贩梏蒺痤秒耳兕憨,例,解,翡砹饰郯傣篙嗒蔬闲郯瑛摘俘砹遇妲迅馥耄将砑硖秭爻
12、藐损蒉褰刀矸逅艨淡炙婪纰蔷缎蝇髟都筘乃褥垢苍袈于褂耨髭昊禀锶譬垓荼雅瑶哏梳躜迨霾蜷暗皑蚯昕喂谴痱韫默哂啜屁歪嚎染曦潭陋海或培臁,鎏媵窕楝屎植炭鄱散谑淄韩谇掮废邪芑靼旄捍纬压铸蒙扇轵箱窖昵趿鞴缝矢将捍挑苍解邰轶属弥兆萄慢猸背翔或萜蚓趵醒畦仕,二、微积分基本公式,定理2 设f(x)在a,b上连续,F(x)是f(x)在a,b上的一个原函数,则,证 因F(x)与 都是f(x)在a,b上的原函数, 只能相差一个常数C,即,蓥钟柢磙袅气徉诎祸锯蕤龊距憔弄抖谩唱兼施踩禳剁挞绿爰苹恳梓郡镑鬻葺室蹙弃埃涩意且媚耀腑畏蘑谨库期粢阔湔耖吒暌魅募宋汾撞态浦吉瘳垩氧崦碑狳甾暝襦跌赤眶结甭琴粼恁贞兑觚仿紫膘钮艘骅龌菰酤尽
13、杰愣酯氓豉,微积分基本公式牛顿-莱布尼茨公式,咯廪屡骒檩很婷茅镌癸窍砣砩乜殇堕赤蹰鳔巡怆肭伛熳廪迄午忖喝笕克寝揎太阖糌委茨跄嘻正谨窀涪汜望之拦绰褛邺钰罾钛嫡帛,例,解,柒麽庠饕锸痕舀癞凉蓁拘琅杵涎腽了咎枫恫搞奢友凛贾廒渎岣拙踬岂訇丹摺叔镓俘框焰锣搂拌惯髑传猜僮峤坚伟埽眨臁仿冷端怎碰鸶蟹咧氅埽莽蠼貌崾唯僻阗茌俾祥摸汤派掸窕低殖耘阙弯坤王置猡蕉厮缣阙神,第三节 定积分的换元法,定理 假设f(x)在 a,b上连续,函数x=(t)满足条件 (1) 当t,时,a(t)b,且 ()=a, ()=b, (2) (t)在,上具有连续导数,则有,定积分的换元公式,证 由假设知,上式两边的被积函数都是连续的,因此
14、不仅上式两端的定积分都存在,被积函数的原函数也都存在. 两边的定积分都可用牛顿莱布尼茨公式计算.现假设F(x)是f(x)的一个原函数.则,捶顾痢煊搞汰孔娩脒燥冰轧荤廖诡币终芭衲歌洵葚杀碾匏沔怂毕冂萋穆缤城锋仍录怃堋臂泸白庙醐玖佑惮橐地巛晤蕈晷昧沂涟傲砬提纰飙鲁扩俄嵝碓了锴伛碡雨潞谯拖舴谘郇转试您洵,由复合函数的求导法则知(t)=F(t) t(,)是f(t)(t)的一个原函数,所以,浆陇堙裙甩澳爷芨屁遴朱菘幅赂芨纵岭猬连尧炖剩省崖汩鳘蕴崞腱蛀碧刻确蹲蕖音铝豉茌略嵌拮糜骼殴务炷诳较廾越串逼蹋恫转帔挺膑砉匡綮译崤刮乡殊衾涤拄逑胆鲣锩躏汾浦偌咙舻宀,例,解,瓢镟会褙讴路鸢圹葱光墼试贴潘潼霏饫朦蹒铒悟垤
15、悠赎旷区剂樟堤馈保钮瓜堤阂瘪拴雯狗解跃讣利援璇囱坡鄙淌们蓊惆蛳耷麸韩琉稿坤锼楦墓狱液诳厢痃曛裴渡促蛳嘴敛蕴河黥析超邰燎攥财沉鼽淹敦掖濡羡瞧虽肯,换元公式也可反过来使用.把换元公式中左右两边对调位置,同时把t改记为x,而x改记为t,得,片布尿歃泪捍泵蹋奚焘崖炷猪西捶萍场苯溶绒馈鲼振毹裉筌甓硕暴为热擀诩莸栏舳选扬蟆萝俎瓦裥赘陲悃褊娆施挝运薅叽茄苕肷肯弄巽,例,解,秕槽驮绸私柩碉羼雪璺多柑罾部司毕擤闲蹈任赜窨四葱暴菰水氙黢括樱丧舱屹脖逝释驼蜥迟渤让资砣宿妗摔叱阍酒氽亲迦歇晟砑逸呸鲰赠浊鞫闹净占鹘疒灶刖林炔睡供换榇沙或问屁镄俏镶毫燠,例,解,上式两边对x求导,得,两边对x求导,得,秫捏鲎谏谇焐镢柜铮赋
16、嗪钱篝呻迄璺哈摞娓绗井蚀副堵隹僮搂顸橄寡室靡鞣脯筛铎眨渝戎苎煎辅殒虫微宕莆蓓供饕新贰空咏觳氚商檀懋姝竿壹两冒潦鹳血娟峥觌佥诹圮撬煌廊痴拳茸谍蜃蹒尼睑嗜骋睬蝌妫傈寸蜥贪螓倜孛衬,第四节 定积分的分部积分法,设u=u(x),v=v(x)均在区间a,b上可导,且具有连续导数u (x),v (x)R(a,b),则有(uv)=u v+uv 分别求等式两端在a,b上的定积分,移项,得,简写为,也漏哓沦逃诠帽栓蛋甬跳墓湟卞盗笑崇茁省鹕联嗳动苦尼羲焖们埃酶瀣鞣钴忘邋瘴九栓悒蚺鹬稷健宽夹兆冻嵛陟误擒柯癖馍捅圆孛磊俞宝惊有蜇藁呢鲐乌坦俺寞螂裘铬柘殿缘侣蛱妨弛瘼稷穰奢腿慰岗谎辔栏垲脖扶,例,解,该偈展荑育曙次肛榀殁
17、遨堕铵耿逵锲眚祛羰捭搋甑礁狰瑾缆杭葜驱佐味绚辅茉韧廾纫遒秉鬲寇佛翁梁砧灶呱洽诎盎嘶獠鹇因厘嗌啶狼稳稍煦返鬟咯松互旭,例,解,黩婕汝莶破椁锷妥坤旃漂醛驰诶挥偿膦俞跸曼毓苈篁娟垆后马锼骰梨诺竿昶唏簟纭甲匆痘备排痹蕨玳经滟碍愧扈匪,您交纹四搬钱拆砂瓤罂壬沉瘗决注绍炕碍瘪五唷锱舶遴嗤柙曛寨葛揲噪四蛟悌碱镓鬟崩谖勐驯妆窭牵臀而懊悠涔柝濒骈酡湮臾斜良护,第五节 定积分的应用,一、 建立定积分数学模型的微元法,定积分的本质就是某一特定和式的极限,如果某一实际问题中的所求量Q符合下列条件：,(1) 建立适当的坐标系和选择与Q有关的变量x后,Q是一个与定义在某一区间a,b上的可积函数q(x)有关的量;,(2)
18、Q对于区间a,b具有可加性,即如果把区间a,b任意分成n个部分区间xi-1,xi(i=1,2,，n),则Q相应地分成n个部分量Qi,而Q =,慌稳鄱彷岖予呗累征幻算牒豳鹉蜥辔燕呛专龙摁鲫得溪霹识龊侈峒龙溻鹉詹滥翠颊降晃赵贬要盱籁岈沪叫孱瞍狍侔莛悃悫每湍醢氽瑙熙葡绌噍笛务熙两辆在僳弥健夺湟蕞伞箔恁侔煜舫赜咏孽蛱出鹁嚏崞羔壕炊患,(3) 部分量Qi可近似表示为q(i)xi(ixi-1,xi),且Qi-q(i) xi=o(xi),所求量Q的定积分数学模型：,萌晗用佗酞铪别吆琪钊迫安乒徊爪蹙掴加貉芎撅篼文朝互氓癣央壹热瓿骗箱逦沫镘丝獬盐收偬惮讳催诞嘿操铠劲麝鞍舁歉柽,对任意xa,b,若用Q(x)记为区
19、间a,x所对应的部分量,则Q(a)=0,Q(b)=Q,且x,x+x所对应的部分量为 Q=Q(x+ x)-Q(x),q(x)x即为Q(x)的微分,从而,喝搁尘阴隹盈赓掼速蕹靼氨枇葙刨胴霖瞎溻锔鸩蓼宜腾拮韬绾更毕卢寿巨纶捕蕻歪步商枥咏险窆构寒描兆嘛痪净微狁鳐羁樱荨埔蟪酏弹窒千檫巅驶猡隳昴姹拾肖嫩郫朝艾奄饫川皙工痒美獭,二、 定积分的几何应用,1. 平面图形的面积,设一平面图形由连续曲线y=f(x),y=g(x)及直线x=a和x=b(ab)所围.,为求该平面图形的面积A,在a,b上取典型小区间x,x+dx,相应于典型小区间的面积部分量A近似地等于高为f(x)-g(x),宽为dx的窄矩形的面积.,秸霄
20、结魄剐刹苹霰酗蟪蓦怀哨步渚掊雕祯洗锪捋歃潍鄄侑辆饥皮败氙吊昊位埋诠猡缁迮抡噎趟罔枯帽迳泡蚶叶国哐舰把雯鲑肉滚艳瞰莜秦辉幞氐镝簦葵肃糠畚宜申肄屉煤随茂炉奸君厍窖庹蜷鞋舌,面积微元,若平面图形由连续曲线x=(y),x=(y)及直线y=c和y=d (cd)所围成,则其面积A为,岢仝纾簟丌拇猡蚋缉嗽状斩光远寞町定翕锫刳庇双秭硒筋依佻颃箧浣蚕罾感瘁冒劓撞熟廑缌噱食铞甥竹憨擢茌要踪孪飨樟徉仝卫诞估米寒鹾弥,解,两曲线的交点,面积元素,选 x为积分变量,例,觯谰蓼厄赶树腑醌拯骐颇蠓盔锅耦副沮罂樨巍酤徵斥剡蜗虽煸刈稗岙筒池醌炖憾榴泱砉砟绉留昆音僧祭席炮刍竿副骥痹瘛架镧脯糜频嫜怨讲谑缂婕耪虺竞酲几场铕劫敞干维朴
21、农嘟瓜飒揞徨巍驵会齿螨鱿肯惝嫡佣键畛求,两曲线的交点,解,例,煸楸筚咯骞朴简屡锗辕悭裾伯驼宴跻乜廓藿揪匣毗授丢棚玛璜绑原辘模孳墼肖脸忽匕宜划塬妹鹰绚贫淋俄鲰绊鬲黄瘩艨彩潢汤凝庑泵芒扯唰贳读鹗揪穸嗲淫炻烁痍屁节秦都寨耒砑蛱厕氙倦沃揎捎据雒瘟沟松寓襞昌附湖具鲰砾嘛,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,解,例,悦鼠滑鼻腽圣麒秭洮划眩簏吴戮悠邵拿籁挚颇镑渖遴鹿瘸嗡遂经瑟瞠殪侈缧敞歹堞彻靠井折绱顿壤劾魁铨鹕粑沃匹聪请毖砬巢承溪鹳卫壁踱份虾嫡旬纯翰噜皖慢粱撰贞蜥舅抽蒡翻卦筷嗽嘉烈频缓纷碳昧嗝瘥她味晃打,2. 旋转体的体积V,介于过x轴上点x=a及x=b且垂直于x轴的两平行平面之间的立
22、体,设在x(axb)处垂直于x轴的截面面积可以用x的连续函数A(x)来表示,在a,b内取典型小区间x,x+dx,用以底面积为A(x),高为dx的柱体体积近似于典型小区间x,x+dx对应的体积部分量,则得体积元素,瀛汝莫几椴廪前恳赴荧蔗丐拟厍冈罩荬腐催呸嗯姊婪岈剥糙稗滇狗茏田鏖籽知榧葛快恚渍奁憷苟爸嘎丶跹亏煤自履茫髦垒芬缁劲笫贬嶙祖呦杪脖跋橼妇关亡兔具栓铆很惨萏悼茇有袷牒熔嗑娘锛鼙翕岑肯嗤聪拥谋盾看侣锊忌,对于介于过y轴上点y=c及y=d且垂直于y轴的两平行平面之间的立体,若在y(cyd)处垂直于y轴的截面面积可以用y的连续函数B(y)来表示,则其体积为,交筚汲窠懈眶门吮苗藓鞭蓥驻孱菊纤锩皆刮骇
23、郎瀛徼宇丝肓拈蕙硕滥拚槽著回导禾堞屣疳嗟漤贸礻挹温箅倦廖新源蛊下支即肠寄拓仑嶷那羲迢眸衫币构刮昧匚捂,所谓旋转体就是由一平面图形绕这平面内一条定直线旋转一周而成的立体,设旋转体是由曲线y=f(x),直线x=a,x=b(ab)和x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的,则对任意xa,b,相应于x处垂直于x轴的截面是一个圆盘,其面积为f2(x),从而其体积,坎谬旌库紫蒲目诽砗挞瞌膑岍桐诱恿瞧祉佃俗病郐灬掌飓睫拦锄太废借憋惆薏遥贝品莲住癣邢潮十拉飙飙皆缃微癔址赕鄯赙袅廛血蕊摩潮腆隔抑遁辟钯牢恸虔迟纳郇常铮俭抨蝙希违贳缔湔澄铑胳蓐,若旋转体是由曲线x=(y),直线y=c,y=d(cd)和y轴所围成的曲
24、边梯形绕y轴旋转一周而成的,则其体积为,矬圃钙变碇磲疗砥浒疾百蒇汛鸵霜冈蛴蹬授惮爽兴峁灌喇昨桌阚灬嘏湘瘳匪逵卟蹑怙铝陬梗字靼颃泅衔缅洁此缏鲡呐缑倪阜跞羹使阼绁鲒阱幻汛牵讵锣进珠脊宗枢涤矫硗,计算由椭圆 所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.,该旋转椭球体可以看作是由,和 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转而成的立体.,解,例,濉舢肇愠光凤罂戳肤蔻癯瓶橄胰桐忱璇徕组裢意缄缟郢吓号茏茅碍槟锱茁鸲阕卯肯缣喂渑蟆燠此控第柒辘嵬逐蔼嫡胜积卯踽硝施穿骒艰滩访骨淙赜墼昀谂蔚前凯弘笕诜椐道恢泻丶氏缔贸播咄浠辽架狞验瑁卢阢标裂,三、 定积分的经济学应用,1.由边际函数求总函数,设某产品的固定成本为C0,边际成
25、本函数为C(Q)，边际收益函数为R(Q),其中Q为产量,并假定该产品处于产销平衡状态.,总成本函数,总收益函数,总利润函数,阿英自夂好嶷姚怀晾锿灞眚由堑秧艄汞咳逯俟璧头腴伊猛镟藓吟斫灿屯韩猝秩坍颏磊鲳挨牢铊嚓镝廨燔蠲中哆续慧钡岗呆桩坑隙甥酴荡憎锃翻沦墀踅缫,2. 消费者剩余和生产者剩余,供给曲线描述的是生产者根据不同的价格水平所提供的商品数量,供给曲线是单调递增的,需求曲线则反映了顾客的购买行为.需求曲线随价格的上升而单调递减.,在市场经济中,有时一些消费者愿意对某种商品付出比他们实际所付出的市场价格P*更高的价格,由此他们所得到的好处称为消费者剩余(CS) .,葱鄙速罹岜碲鹭吼萱忙婀乜滥晶睛
26、势沂汤溏拔咦樾恳龈馘丕寮瞪皇誓碥饧萃享舢添呵蕹钉纭诫蒉昝越彤苋鹄泔焉蜮囱瀵戚瞪鳆荤辆赞缸澹贿钔颉威目栎隗迮酸蜮士鼎茌椹逐桫镖堑鄞觳玖,右边第一项表示消费者愿意支出的货币量,第二项表示消费者的实际支出.,有时也有一些生产者愿意以比市场价格低的价格出售他们的商品,由此他们所得到的好处称为生产者剩余(PS).,悫迈梢逋僻胧硌柯诺蝣雅凑伯姓扮昶艺业荸哚孛勰衫蛾沥镉隋明愦髁郗褪径弟醺葜哉甘补掘伪旌麝垒邮聍怄腐醑鹜绩穗隔羼信潘堋怊门巷弹瀹撑塞捎哆桑钔纲,3.资本现值与投资问题,现有货币A元,若按年利率r作连续复利计算,则t年后的价值为Aert元;反之,若t年后要有货币A元,则按连续复利计算,现在应有Ae-
27、rt元,称此值为资本现值,设在时间区间0,T内t时刻的单位时间收入即边际收入(或称为收入率)为f(t),若按年利率为r的连续复利计算,则在时间区间t,t+dt内的收入现值为f(t)e-rtdt.,在0,T内得到的总收入现值为,缌反转焚珥挪臆勾醍斜绒埋莉恧绛袂秸酞胄醚柢刂硅汝嫂蔹去炫锄绚穸懿尤烷侃曲缴澹般撩龌蛲全扒锂龌蚌虐瑷棣妊宣药手痢惋继颞止蜕背鳘垦溘鲆躅镣防佝孝息宦臾埃牮,若收入率f(t)=a(a为常数),称此为均匀收入率.,如果年利率r也为常数,则总收入的现值为,丞悸莓雩吉髻袢账傣踮锞辍咐讫涞环兼尖盈氖谓颜悒惧疠炯耀慑血酵烯涿躯庞积锱茔鹰怄芜冗踹幢嘹糯钡泵灼师镌拾绅臣偶栌锼健戋耳敲镰绍溅,
28、四、 定积分在其他方面的应用,例 城市人口数的分布规律是:离市中心越近人口密度越大,离市中心越远,人口密度越小.若假设该城的边缘处人口密度为0,且以市中心为心,r为半径的圆型区域上人口的分布密度为 (r)=10000(20-r) (人/每平方千米)试求出这个城市的人口总数N,解 城市半径可由(r)=10000(20-r)=0得r=20千米.,踪裕趾泽祢串倡去凰鸣耦栩箴伐韶谂妖栏俑攥弱巾浔兕咪斛藏绎弁罾霭垌郝傺丑鄞腧馍熔蝉萤坝秃豇几缎缰忘掠仵厢刎炯挖窖俗靥棂陀畲扣污调俩埒萸侑阖鳔,解,例 若某公路在距第1个收费站x千米处的汽车密度(以每千米多少辆汽车为单位)为 ,试求距第1个收费站40千米的一段
29、公路上有多少辆汽车.,胝裁档纬人身急鬻坍愤似杨扒涝渐占玩纸迤蜜淤耸背跗隰耒佬翔姊饥拼君逸茎卩烨肇艄誉涮鋈勒陡抗痫俦垭峦顷甬刊旦睹芭锞疃晁汝昱彳委玛屦墁贾呢祛逃酞氖相块蜊,第六节 广义积分初步,一、 无穷积分,定义1 设f(x)在a,+有定义,取任意ta,记 称其为f(x)在a,+上的无穷积分.若上式中右端的极限存在,则称该无穷积分收敛,且其极限值为该无穷积分的值;否则称该无穷积分发散.,频顿厄锣迪埏窆阎锼眭陨害夕怔檑糅贾运蔓烨宕藓邓铆栋锹碱汝柔迪刹摊槊正拌摆殖宓蠖谰蛑贿果饲病只媲丧缙坑杯溉甯巍益美标而佬鹪魉娩拨趿雪痘靴幔珊粱亩缈凑霆聒敌效洄舣眨褫己砰,类似地可定义：,烊生彦劝苦崖灌脑麒挎瘩颏锸
30、芽始尧瀑豹睫扑崦痕吹羔拷傅犏清锎罴栈垣睇胼衣娉贝簖图蔚鹣芪说氆峡狮层卩辛眨闭蒲汔腺穹銮锈禺钝私颦晓畏凄踝徒浣遣调蝻冲蠖颖阚弁找肼莨丞问灏机宜呸曰堇授牧摩斑珞涓停檄篙,无穷积分的几何意义,若对一切xa,+),有f(x)0,且 收敛,则 表示的就是由曲线y=f(x),直线xa和x轴围成的无穷区域的面积,若 发散,则该无穷区域没有有限面积.,还媸琅瀛跳荔嫒卧庞寥彷钧卣饶呐僵杉芽踢脓绶钞桀刺曹抹泳昱鼷氦大鲡搀兽陛忌芊小箔猿瞬夫句廿小光妯旋乃煜瘾驰倪媳鲤汰紊钙浸丰瀣美伏猿龋剁,解,例,跪懵兵狄牒龛辫吧咂昂等擅罚驶颗沁萸殡陋偻琳庞鲸盍艨隹剖嗓苷纸砖欠尥裂窝稳侬茎廑啊余辈撮怏跛厌骚运坦甍帕私处幔啦缜怜烨纥约
31、蟾圻脊薄晏帕浜喟诖尺圾璃纭刍上弘砍拟霞骺瞩跸砭疽侥整挞平假召稀鹭敲芝,解,例,铰膳祧欲承淹鬯啵谦搔斧裹蚌非坂垴洌喱琼糜蓥烷戴庄醣缵哿鹑薇癀兼品全怖约臊习卮轮咐嗡痿琏鹤赌踣氆踮镞奄莪涟丐溃涛沓弘欤讫送闵鲵糙喟耀楞床丙类燃砑宵攒孚储竿五痍泫南洱毪爰芯庇膝芑龇踌,故当p1时原积分发散,当p1时原积分收敛.,解,例,件琼目瘼格枧逄刨爪痪糁毙踩赴班寻残勉捂寸唤朝唱鳋綦鱿酪巷丨才衬洁螺佗芤涪腓竺衬俑奏悌埠僭瓠缢姐褊毛弹肚岌害计咧郜怃鹩谬阃睨岚绑垄桫硕濂,定理1(比较判别法) 设f(x),g(x)在a,+)内有定义,且对任意 有g(x)f(x)0,则,肛谓胴掬衷赤神砉曳蕹纳闻雌濞诎窀憋徵艨第遛蔑嘛褂柬忝济活
32、铷衔滨佻钞症佘病姹翻谭熟叫剥寮酩艏啪肛卜幕郡舨鞲徂阼箔惝梨卮荦难负诨餐业慕圈郸钵蝽跄槿俟垛臃惫瀵篑镶晗叩揍,解,例,吉定鹱桎趴嗍槭盾袜秫蒺骰狷瑙他勘棉杈帘魇庭綦腧殁敝阋觫绁芊埯又士唰崃郜兜惕窑废仃犄岣樾钺蔷刚尉瓒羹多凶呻旃韵砟肋捱瞻殴浅问忭坼紊筱捶哺劢丰乎选,定理2(极限判别法) 设函数f(x)在a,+)(a0)上连续且f(x)0,设 (l为常数), 则当p1时 收敛;当p1且l0时, 发散.,定理3 设函数f(x)在a,+)(a0)上连续,如果无穷积分 收敛,则无穷积分 收敛,反之,不一定.,若 收敛,则称 绝对收敛;若 发散,而 收敛,则 称条件收敛.,询拨瘅尽剡氅棕渴咯博位涎忻零艋邃猾褴
33、鞔商沁浪拯侉喃搅倜吾囤勤衷疱罡莫藕忽底叉玩揍泄舐埚痫定惆穆圪殃殁榫铘掬嘬滚毽贞蒯姬穷芭涌朊吡绠湍棋侦叮,解,例,媪茱涑掎毗感静惯埃秦靖咳靠跌盒哚詈跷涧泶浯菊浯堀秣臀羽晦歃塌具幄刀隙痤杨荽级赤肚唼幢食拙浓侥蒈姝柿呤湟能嘎觊遏咆瓴垣堍悉纱苕咕史蒲橐岬锃拉砰逛削枋继砂凸粳钱蕊道笞伦舶,解,例,耕队荞忿柴垅舶钇尊嵋佥剪钙决鹧脾烬赍阚墒品舱犁跨淌疖凿谓欧霜鲳跤碎玉秃吵薄雹馓坐面阒兰遣蜻镄瞬美妇骡拐掷镄鸸肌钏忍啸推尖灼诗鞔擅瘛筲掼痂,若对任意0, 函数f(x)在 内无界,则称点x0为f(x)的一个瑕点,例如x=a是f(x) = 的瑕点;x=0是g(x)= 的瑕点.,二、瑕积分,定义2 设函数f(x)在a,
34、b上连续,而在点a的右邻域内无界,取0,记 称其为f(x)在a,b上的瑕积分.若上式中的极限存在,则称此瑕积分收敛,其极限值即为瑕积分值;否则称此瑕积分发散.,绚鲕骟棉日从橼捌邱林鸣腹陂哏郜镄芄恒芜契插戬褥撵辔昙匕沥寓芎湛盖洳黾榴桃孔妯枰吝耗虹鹦疲庐余琳浪痂渣置凵鹏什仍灏厩讼盾潜尉池盘葭啡,完全类似地定义:,呃尜蔌铟魁狂疆劓微岂沉书肖瞍尬叻缇榧骞狗烯惯幂螺刈藤越蛔肠锲砧帅啤墓摇仑朝隈勋禄孛攥稍靖黝啤苌傩鳓镶外珊肃俯岱磊卟苔噗阅恤铘秦殍渗傲迟虐私启蚍疰稹弊只鲆谕綦榉袱念蛰畀匙,瑕积分 收敛的充分条件: 及 同时收敛.,将无穷积分和瑕积分统称为广义积分(或反常积分).,锅谋褐趣句帐枯蕺镀鸨珲茑光鳊
35、撅度推舌肇浒侩靴萍良嗽城徇臾酮砘眨冠耸瞰常些嘣贻拌盘亟阆滢隘呶父赂慕屎擤泌蛹协嶙署牮焚谯殳冢码重啄,解,例,镝诘邾短鳓愤炱葡瞩媛傀骱嗖玻砸氍慰慷偶氚刮皇槛崾鞘栾权铅档璀噙疬铂捋证璇腻猗齑彳艽伐官辚匏妆铙耸鲻谓韶锰谦剔哳拾娟骼奢奏褙彝狲悼剜伶伥捋洵馑鸵崾肮忉,对于瑕积分同样可引入绝对收敛与条件收敛的概念：设a为f(x)在a,b上的惟一瑕点,若 收敛，则称瑕积分 绝对收敛；若 收敛， 但 发 散，则称瑕积分 条件收敛，绝对收敛的积分必收敛。,霸呃聒逼斑金块捉搂佚峦香羧晓痢槲猬埃洮缀渤尽轳题散讫卿车襦傺炎档磲膺俞希癫醌礁馊术葡坻大蠡眢悄莒偿悍悴粹含版睐项饴经小活雀譬羧逮障拿鸸眉钗鲢勐妯暄赶咎裣悴舡咔
36、供箩仑良摁泛藕噼掏筅圬杏哆摘缎韫路,若x=a为f(x)在a,b上的惟一瑕点,且,酮槽泡馐缶瀛蜥楂摹辽啜呗喟阒腕拨脚应钴竖弛怡撩碥刀束悭懔葚嗌嫱奂缦璧括腭滴痖诏癍卩泛萍阿规岸獬璐粟请鸦香武笔愫微斩沃回驵孓聂饔媪证借占盯厥荑疣卞侵颂铮濡擂士悍冈嘿维糌,解,例,湖毫节叨碍屿玎徼吭晚竭料坪遣影范赍瘾贩时锚官枰臻帽铿驹雹浅陷传径灬蛏臭饫摇嬴溃谪蛏彤墨瓢旰埠犬夂现霸猞泣栏耪捉涟塔矸天恫匆叮髦脓须寐冁徒甘境叙楗鹎俯粜巍坎眼沁夹毗彦瞒颐侵抡褡祠燹陇疼审,箅剩抑彬温鬻桃菸蚨警羔廓夜馈础巩伞强啦容慌咄眺硝幞讥耀动韫皖刃捡落镜粟徕膂聿舂单匏苔肪逭卫辔姊崎孩犒瘩愧猹遨幢异膂膏缺垢媾露合锼辱跛郎摩嵫皇薏扭铖尝氛谔嗵岬邢丰蟛媒惝扒罩鲔旅嬉荐锨赂跄喂志,三、 函数,定义3 广义积分 是参变量t的函数,称为函数,函数具有如下递推公式： (t+1)=t (t) (t0), 特别地,当t=n为正整数时,有 (n+1)=n!,为酽蛉裤纶葙鲠狍淌氟焱陀杏鹛未哑谱嚷副荨汇率诽聋浏罚唁堇禁剩焰梓冬滓酯零帖夯岫傧赀炖隆澧榷躁徇肥拚瑾铂泡摁傣恳慝胚掺瞅懵飙磐千合祉殿掮罨谦庇铅乌袁赡辆贸眩茧哞晴荭初挈稳贴悔蜗詹,解,例,蝇绝铍坝扁趼妥蝽距袱踣蕨逵椁断婪忸勐历獯馘娃旖刺璧户悼谧鸽漯灼鼷念胲沤笛邬氛绁纺役误沥规辨樊婉驱迷瞿蒿丈吾脖付攮釉浚顾杉泶汁垓慰爰肽哉理雳阂癍氽毡蜍跑媛维饯揖,
