1、第二节 矩阵和向量,第一章 行列式、矩阵和线性方程组,引例1. 线性方程组,的解取决于,系数,常数项,一、矩阵概念的引入,对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.,线性方程组的系数与常数项按原位置可排为,引例2 某航空公司A,B,C,D四个城市之间开辟了若干航线，下图表示了城市之间的航班图，若从A到B有航线，则用带箭头的线连接A与B.,为了便于研究，可以用以数表来反映四个城市之间的航班往来情况.,二、矩阵的定义,由 个数 排成的 行 列的数表,称为 矩阵.,简记为,主对角线,副对角线,例如,是一个 矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵.,说明,（1）矩阵的形状,（2）矩阵与行列
2、式,几种特殊矩阵,(1)只有一行的矩阵,称为行矩阵(或行向量).,(2) 只有一列的矩阵,称为列矩阵(或列向量).,(3) 元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零矩阵 记作 或 .,(4) 行数与列数相等的矩阵称为方阵，习惯上称为n阶矩阵,(6)单位阵,称为单位矩阵（或单位阵）.,(6)上(下)三角阵,上三角阵,下三角阵,(7)奇异阵,方阵,对应的行列式,三、矩阵的运算,数量(t),煤矿,工厂,A1,A2,B1,B2,B3,5,8,0,6,0,11,数量(t),煤矿,工厂,A1,A2,B1,B2,B3,0,4,6,17,6,8,引例1：设有两座工厂A1与A2，他们所消耗的煤由三个煤矿B1, B2,
3、B3提供，若一月份与二月份煤的调运数量(t)分别由下表给出：,求两个月两座工厂分别从三个煤矿调运的煤的总量，若每吨煤的价格为120元，求两个工厂应付给三个煤矿的货款。,这两个月煤的调运数量分别可由一个2行3列矩阵表示：,这两个月两座工厂分别从三个煤矿调运的煤的总量为：,若每吨煤的价格为120元，则,设有两个 矩阵 那么矩阵 与 的和记作 ，规定为,（一）加法定义,说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.,（二）数与矩阵相乘定义,例 已知,解：,矩阵数乘与行列式数乘的区别：,说明：矩阵与行列式公因子的提取不一样,P21 例4：设A为n阶矩阵，求证,设,则,产量(件),产品,工厂,甲
4、,乙,M1,M2,数量(t),材料,产品,M1,M2,N1,N2,N3,引例2：甲乙两个工厂生产的两种产品M1与M2的数量，每件产品所需材料N1,N2, N3消耗量如下表：,求甲乙两个工厂生产这些产品分别对材料N1,N2, N3总耗量。,a11,a22,a21,a12,b11,b12,b13,b21,b22,b23,消耗量,材料,工厂,甲,乙,N1,N2,N3,c11,c12,c13,c21,c22,c23,设甲乙分别对材料N1,N2, N3耗量如下表：,设甲乙两个工厂生产的两种产品M1与M2的数量为矩阵A，产品所需材料N1,N2, N3消耗量为矩阵B，甲乙分别对材料N1,N2, N3耗量为C
5、,A的列数与B的行数相等,C的行数与A的行数相等,C的列数与B的列数相等,并把此乘积记作,矩阵与矩阵相乘定义,设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那么规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中,例,说明：1、乘法不满足交换律,2、乘法不满足消去律,说明：单位阵与任何矩阵乘法可交换,方法一,用数学归纳法证明,方法二,*矩阵的几何意义,在矩阵 作用下，坐标平面上的点A(1,2)变为A1 (1,-2),A1(1,-2),该矩阵对应的是关于x轴的反射变换,说明：剪切变换出现在物理学、地质学与晶体学中。,剪切变换（Shear Transform），又称“错切变换”，是仿射变换的一种原始变换，指的是类似
6、于四边形不稳定性那种性质，方形变平行四边形，任意一边都可以被拉长的过程。 百度,定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 .,矩阵的转置运算,矩阵乘法满足结合律,n维行向量与列向量的乘积是个数。,转置矩阵的运算性质,例,1.2.4 逆矩阵,在数的运算中,当 时,有,其中 为 的倒数(或称为 的逆).,问题,对于矩阵,是否也存在着 的逆,使得,逆矩阵的定义,定义,则矩阵 称为可逆矩阵,而矩阵 称为 的逆矩阵.,设,求 的逆矩阵.,解,利用待定系数法,则,设 的逆矩阵,又因为,所以,=,=,证明矩阵 无逆矩阵:,证,假定 有逆矩阵,使,则,但这是不可能的,因为由,注意
7、,若矩阵 是可逆的,则 的逆矩阵是唯一的.,若设 和 都是 的逆矩阵,则有,的逆矩阵是唯一的.,的逆矩阵记为,定义,则矩阵 称为可逆矩阵,而矩阵 称为 的逆矩阵.,逆矩阵的应用：,1.力学弹性梁的形变：胡克定律y=Df,D是弹性 矩阵，D-1是刚性矩阵.,2. 线性方程组求解,即在解矩阵方程,时,3.密码学中，明文信息通过矩阵加密成MA=B后, 得到密文B进行解密，A=M-1B.,4.列昂惕夫投入产出模型，x=Cx+d,求总产出x.,如果,其中,试验证,证,若矩阵 求 （假设有）,设 则有,，即,探一探,解得：,即：,伴随矩阵,伴随矩阵,定义,行列式 的各个元素的代数余子式 所构成,的矩阵,称
8、为矩阵 的伴随矩阵.,解,设矩阵,基本性质:,求逆矩阵的方法:伴随矩阵法,定理,阶矩阵 可逆的充要条件是,证,必要性,设 可逆,即 为非奇异的.,反过来,由前面结论知,由定义即得,解,利用例4的结果,已知,解,解,于是 的伴随矩阵,的逆阵,已知,试用伴随矩阵法求,解,因,由伴随矩阵法得,设三阶矩阵 满足关系:,且,求,解,由,1.2.3 矩阵的初等变换,在矩阵理论中，初等变换是一个非常重 要的处理矩阵问题的方法。为了便于理解它 的意义，不妨把它看成是消元解方程组提炼 出来的一种方法。,解方程组,(2)-(1)*2 (3)-(1),(4)+(6) (5)-(6)*4,(7)*(1/2) (8)*
9、(1/3),(10)-(11) (12)+(11),(14) (15),上述消元法中，不外乎对方程组施行三种变换：,（1）将一个方程的若干倍加到另一个方程上,（2）用一个非零常数乘某一方程,（3）交换两个方程的位置,我们对方程组施行三种同解变换时，只是未知 量的系数与常数项发生了变化，而未知量的作 用只是限制了系数在方程组中的位置。把系数 与常数项提炼出来，组成了增广矩阵,以最后一个矩阵为增广矩阵的线性方程组为：,就是原方程组的解。,人们把对方程组施行的同解变换，通过上述 方法抽象成对它的增广矩阵施行类似的行变 换，称之为矩阵的初等行变换。,矩阵的初等行变换,定义1,下面三种变换称为矩阵的初等
10、行变换:,(1)交换矩阵的两行,对单位阵分别施行三种初等行变换：,对换阵,倍乘阵,倍加阵,求逆矩阵的初等行变换法,则经有限次初,等变换可化为,即存在初等矩阵,使得,解,例,练,解,解法一：利用初等行变换，先求 再求,解法二：直接利用初等行变换求,则经有限次初,等变换可化为,即存在初等矩阵,使得,初等行变换,解,练,逆矩阵的性质：,逆矩阵的性质应用举例,1.3.2 矩阵的秩,矩阵秩的概念是讨论向量组的线性相关性，线性方程组解的存在性等问题的重要工具。,矩阵A的k阶子式,定义,取1,3行1,3列构成的行列式,二阶子式,取1,3行2,4列构成的行列式,二阶子式,总共有几个二阶子式？,取1,2,3行1,2,4列构成的行列式,三阶子式,取1,2,3行2,3,4列构成的行列式,三阶子式,总共有几个三阶子式？,总共有几个四阶子式？,矩阵秩的定义,例,解,阶梯矩阵满足：,（1）若某行全为0元素（这样的行称为零行），则该行下方元素全为0.,（2）从第二行起每行第一个非零元的列标比上一行第一个非零元的列标大。,例,解,求矩阵秩的方法,问题：经过初等行变换，矩阵的秩变吗？,初等变换求矩阵秩的方法：,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯矩阵，行阶梯矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,例,求矩阵,解,阶梯矩阵的非零行数等于3,故,的秩.,解,阶梯矩阵的非零行数等于3,故,
