1、杨争峰Email： Office: 数学馆东201,现代应用数学,矩阵分析,矩阵基础 线性空间和线性变换 内积空间与酉空间 矩阵分解与解方程 标准型 特征值,数值分析,非线性方程求解 线性方程组的求解 线性方程组的迭代求解 插值 数值积分,参考书目,矩阵分析教程（董增福主编），哈尔滨工业大学出版社计算方法（朱方生、李大美、李素贞编），武汉大学出版社,矩阵最初是在解线性方程组的过程引入的，后来人们发现矩阵本身常常包含了很多物理和数学意义，并且在应用方面逐渐超越解方程本身。目前矩阵已经应用到计算方法设计，数值模拟，几何造型，图像处理，统计分析等诸多方面。因而在计算机行业中，程序设计人员常常要处理矩
2、阵问题，包括储存方式，稀疏矩阵计算，矩阵收敛性分析，特征值计算等等。,一：矩阵定义和一些性质,定义 矩阵运算及其性质 方阵 矩阵分块,由mn个数aij ( i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n)有次序地排成m行(横排)n列(竖排)的数表,称为一个m行n列的矩阵，简记(aij)mn，通常用大写字母A，B，C，表示，m行n列的矩阵A也记为Amn，构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素，而aij表示矩阵第 i 行、第 j 列的元素。,一. 定义,注意：,(1) 只有一行的矩阵 A1n =(a1 a2 an) 称为行矩阵,(2) 两个矩阵A、B，若行数、列数都相等，则称A、B是同型的
3、。,(3) 若 A = (aij)mn, B = (bij)mn是同型的，且 aij = bij (i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n)则称A与B相等，记作AB。,(4) 元素全为0的矩阵称为零矩阵，记作O，不同型的零矩阵是不相等的。,二、矩阵的运算,设 A = ( aij )mn , B = ( bij )mn,则矩阵 C = ( cij ) mn= ( aij + bij ) mn,称为矩阵A与B的和，记作 C = A+B,1. 矩阵的加法,(1) 定义,设 A，B，C，O 都是 mn 矩阵,(1) A + B = B + A,(2) ( A + B ) + C =
4、 A + ( B + C ),(3) A + O = O + A = A,(2) 性质,2. 矩阵的减法,(1) 负矩阵,设 A = ( aij ) mn , 则称,( aij ) mn 为A的负矩阵，简记A,显然,A+ (A)= O ,(A) = A,(2) 减法：,设 A = ( aij ) mn , B = ( bij ) mn,AB = A + (B ) = ( aij bij ) mn,记为 A，即,设是常数， A = ( aij ) mn ，,3.数与矩阵的乘法,(1) 定义,设 A、B 为 m n 矩阵，、u为常数,(1) ( u ) A = ( u A) = u ( A );,
5、(2) ( A + B ) = A + B,(3) ( + u ) A = A + u A,(2) 性质,例3：,设,求A2B,解：,设 A = ( aij ) ms , B = ( bij ) sn ,其中cij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和,( i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n),4. 矩阵的乘法,(1) 定义,例4： 设矩阵,求乘积 AB 和 BA,解：,注：AB BA 即矩阵乘法不满足交换律,例 5： 设,试证： (1) AB = O ； (2) AC = AD,证：,(1),(2),故 AC AD,比较：,(1) 在数的乘法中，若ab = 0
6、a = 0 或 b = 0,两个非零矩阵乘积可能为O。,(2) 在数的乘法中，若ac = ad，且a 0 c = d (消去律成立),在矩阵乘法中，若AC = AD，且A O C = D (消去律不成立),(1) ( A B ) C = A ( B C ),(2) A (B + C ) = A B + A C,(3) ( B + C ) A = B A + C A,(4) ( A B ) = ( A ) B = A ( B ) (其中 为常数),(2) 性质,练习： 1，计算矩阵A+B，A2-2AB+B2， A2-AB-BA+B2，AC。2, 做个程序实现矩阵的加、减、乘。,5. 线性方程组的
7、矩阵表示,设方程组为,可表示为,简记为,AXB。,A称为线性方程组的系数矩阵。,将矩阵 A mn 的行换成同序数的列， 列换成同序数的行所得的 nm 矩阵称为A的转置矩阵，记作 AT 或 A。,例如：,则,6. 矩阵的转置,(1) 定义,(1) ( AT ) T = A,(2) ( A + B ) T = A T + B T,(3) ( A ) T A T,(2) 性质,例6：,设,求 ( A B ) T。,解法一：,( A B ) T = B T A T,解法二：,三、方阵,1.定义,则：,(其中：k, l均为正整数),行数与列数相同的 n n 矩阵 A 称为方阵，n 称为它的阶数，简记 A
8、n 。,称为n阶单位矩阵，简记E(或 I ),显然,1. 单位矩阵,0,0,2.几类特殊方阵,2. 对角矩阵,结论：,(2) k为正整数时,3. 上三角矩阵,下三角矩阵,上（下）三角矩阵的乘积是不是仍然是上（下）三角矩阵？ 练习：计算AB，Ak。,4. 对称矩阵,(1) 若方阵A满足 AT = A，即 aji = aij，则称A为对称矩阵。,(2) 若方阵A满足 AT = A，即 aji = aij，则称A为反对称矩阵。这时 aii = 0 ( i = 1, 2, n),例7： 设A为任一方阵，证明 : A+AT为对称阵， AAT 为反对称阵,故,A+AT为对称阵，AAT 为反对称阵,5. 正
9、交矩阵,若ATA=E (或AAT =E),则称 A 为一个正交矩阵.,设A 为 n 阶实矩阵，,性质 1. 正交矩阵之积为正交阵,2. 正交矩阵的转置为正交阵,3. 正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵,4. 正交矩阵的特征根的模等于1。,6. 酉矩阵,其中，AH=( )T。,性质 1. AHA=AAH=I2. 酉矩阵的逆为酉矩阵，乘积也为 酉矩阵,1.酉矩阵的特征值为实数 2.Hermite矩阵的特征向量正交,7.,(1) 方阵 A 对应的行列式记为 |A |或 det A,若 |A| 0，则称方阵 A 是非奇异(非退化)的，否则，称 A 是奇异(退化)的。,3、比较方阵与行列式,(2) | A |
10、 = n | A |,(3) | A B | = | A | | B |,例如：,有,而,(4) | A m | = | A | m,| A 1 A 2 A m | = | A 1| | A 2 | | A m |,推广：,练习：做个小程序求矩阵的转置、 判断矩阵是否为单位阵，数量阵，三角阵，对称阵，正交阵。,四、分块矩阵,如果用若干条贯穿矩阵的横线和纵线将矩阵A分成若干小块，这样的小块称为矩阵A的子块或子矩阵，而A可以看成是以子块为元素的矩阵，称A为分块矩阵。,1. 定义,例如：,A11,A12,A21,A22,例8：设,利用分块矩阵求 A+B，AB。,解：将A、B分块成,则,而,而,故,考察： AT,对于,2. 分块矩阵的转置,注：设矩阵A = ( aij ) mn 分块为,则,若方阵A除主对角线上的子块外，其余子块都为O，且主对角线的子块均为方阵，,则称A为准对角矩阵。,3. 准对角矩阵,定义：,例如：,为准对角矩阵。,准对角矩阵与对角矩阵有类似的性质,例如：,0,0,有,( Ai 为方阵， i = 1,2,，m),准上（下）对角矩阵,*,0,A,( Ai 为方阵， i = 1,2,，m)， *为非零数。,0,*,A,练习：计算矩阵AB，det(A)。,
