1、三角函数的基础知识与基本运算1（2009 全国卷文） 的值为sin58。(A) (B) (C) (D) 223232【答案】A【解析】 ，故选择 A。sin58si(36025)sin(18045)-sin2oooo3.（2009 重庆卷文）下列关系式中正确的是（ ）A B 000i1ci1000i6i1cC Dsni68ossn8osin【答案】C解析因为 ，由于正弦函数is(2)i,c(9)s8在区间 上为递增函数，因此 ，即yx0,9i1i2i0。sin1i6co12（2009 北京文）若 ，则 4sin,ta05cos【答案】 35【解析】由已知， 在第三象限， ，应填2243cos1
2、sin15353（2009 北京理）“ ”是“ ”的（ ）2()6kZcos2A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当 时， ，2()6kZ 1cos24cos32k反之，当 时，有 ，1cos6kZ或 ，故应选 A36kkZ4(2008 浙江理) cs2in5,tan( )若 则（A） （B）2 （C） （D ）1 122【答案】B【解析】由 可得： ，cosin5cos5sin又由 ，可得： 可得 ，22s122in()15sin，所以，5cos52sinsinta2co图像与性质：1（2009 浙江理）已知 是实数，则函数 的图象不
3、可能是 ( )a()1sinfxax3.（2009 辽宁卷理）已知函数 =Acos( )的图象如图所示， ，则 =()fx2()3f(0)f（A） (B) (C) (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2312【解析】由图象可得最小正周期为23于是 f(0)f( ),注意到 与 关于 对称23 23 2 712所以 f( )f( )23 2【答案】B4.（2009 江苏卷）函数 （ 为常数， ）在闭区间 上的sin()yAx,A0,0图象如图所示，则 = . 【解析】 考查三角函数的周期知识。， ，所以 ， 32T2334.（2009 宁夏海南卷理）已知函数 y=sin（ x+）（
4、0, - ）的图像如图所示，则 =_ 解析：由图可知，544,2,12589,0Tx把 代 入 y=sin有 ：1=sin答案： 905.（2009 宁夏海南卷文）已知函数 的图像如图所示，则 ()2sin()fx712f。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】0【解析】由图象知最小正周期 T （ ） ，故 3，又 x 时，f（x）32453240，即 2 ）0，可得 ，所以， 2 0。43sin(71f)17sin(7.（2009 辽宁卷文）已知函数 的图象如图所示， ()sin)(0fx则 【解析】由图象可得最小正周期为43T 2 43 2【答案】 23（2009 安徽卷理）已知
5、函数 ， 的图像与()3sincos(0)fxx()yfx直线 的两个相邻交点的距离等于 ，则 的单调递增区间是 y()f（A） （B） 5,12kkZ51,2kkZ（C） （D） 3663【答案】C【解析】 ，由题设 的周期为 ， ，()2sin()fx()fxT2由 得， ，故选 C26kxk ,36kxkz2（2009 全国卷理）如果函数 的图像关于点 中心对称，那sin()y4(0)3么 的最小值为（C）|（A） （B） （C） (D) 6432【答案】C【解析】 函数 的图像关于点 中心对称 3sin(2)yx(,0)由此易得 故选 C42k 43kZmin|33（2009 四川卷文
6、）已知函数 ，下面结论错误的是)(2sin)(RxxfA 函数 的最小正周期为 )(xf B 函数 在区间 上是增函数0,C函数 的图象关于直线 0 对称 )(f xD 函数 是奇函数x【答案】D【解析】 ，A、B、C 均正确，故错误的是 Dxfcos)2sin()4（2009 北京文）（本小题共 12 分）已知函数 ()2sin()cosfxx（）求 的最小正周期；()fx（）求 在区间 上的最大值和最小值,62【解析】（） ，sincos2incosi2fxxx函数 的最小正周期为 ()（）由 ， ，263xx3sin21x 在区间 上的最大值为 1，最小值为 ()f,6 35（2009
7、陕西卷文）已知函数 （其中 ）()sin(),fxAxR0,2A的周期为 ，且图象上一个最低点为 2,3M()求 的解析式；（）当 ，求 的最值)fx01x()fx【解析】（1）由最低点为 由(,2)A得 2T得由点 在图像上得 即2(,)3M4sin()34sin()13所以 故 ，又 ，所以4k16kZ0,26所以 ()2sin()6fx（）因为 ，所以当 时，即 x=0 时，f(x )0,13xx+6取得最小值 1； ；()12f当 +即 时 ， 取 得 最 大 值 32.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=cos(2x+ )+sin x.2(1) 求函数
8、f(x)的最大值和最小正周期.(2) 设 A,B,C 为 ABC 的三个内角，若 cosB= ， ，且 C 为锐角，求 sinA.31()4f解: （1）f(x)=cos(2x+ )+sin x.=32 cos23cossin2sin2xxxx所以函数 f(x)的最大值为 ,最小正周期 . 1（2） = = , 所以 , 因为 C 为锐角, 所以 ,()cfsin2C43sin2C3又因为在 ABC 中, cosB= , 所以 , 所以 31B.132sini()sincosin36AB 4.（2009 重庆卷理）（本小题满分 13 分，（）小问 7 分，（）小问 6 分）设函数 2()i)4
9、68xxf（）求 的最小正周期 （）若函数 与 的图像关于直线 对称，求当 时 的()yg()f 1x40,3x()ygx最大值解：（） =()fxsincosincos46464xx= 32= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m sin()4x故 的最小正周期为 T = =8()f 24()因区间 关于 x = 1 的对称区间为 ，且 与 的图象关于0,3,3()ygx()fx = 1 对称，故 在 上的最大值为 在 上的最大值()yg0,f2,3由（）知 fxsin)4x当 时，2363因此 在 上的最大值为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()ygx0,.maxsin62图像
10、的变换：1(2009 湖南卷理) 将函数 的图象向左平移 0 2 的单位后，得到函sinyx()数 的图象，则 等于（D）sin(6yxA B C. D. 567616w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】：D【解析】解析由函数 向左平移 的单位得到 的图象，由条件知函sinyxsin()yx数 可化为函数 ，易知比较各答案，只有sin()yx()61sin()6yx，所以选 D 项。62（2009 全国卷文）若将函数 的图像向右平移 个单位长度)0(4tanxy后，与函数 的图像重合，则 的最小值为)6tan(xy(A) (B) (C) (D) 21 世纪教育网 61413121【
11、答案】D【解析】 6tantan(ta)6446nyxyxx 向 右 平 移 个 单 位，又 故选 D162kkZ mi1023(2009 山东卷理)将函数 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位,sinyx所得图象的函数解析式是( )A B C Dcos2yx2cos)42sin(1xy2sin【答案】B【解析】将函数 的图象向左平移 个单位,得到函数 即sin2yx4sin2()4yx的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式()co为 ,故选 B21syx4（2009 天津卷文）已知函数 的最小正周期为 ，)0,)(4sin()wRxf的图像向左平移 个单位长度，所得
12、图像关于 y 轴对称，则 的一个值是)(xfy|（ ）A B C D2838【答案】D【解析】由已知，周期为 ，则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶2,w函数， ，故选 Dxxcos4)(2sin5（2009 天津卷理）已知函数 的最小正周期为 ，为()in)(,0)4f R了得到函数 的图象，只要将 的图象 ()cosgxyfxA 向左平移 个单位长度 B 向右平移 个单位长度 21 世8 8纪教育网 C 向左平移 个单位长度 D 向右平移 个单位长度 4 4【答案】A【解析】由题知 ，所以2，()sin)cos(2)cos(2)cos2()48fxxxx三角恒等变换：1（2009 辽宁卷
13、文）已知 ，则tan222sinicos（A） （B） （C） （D）43543445【答案】D【解析】2222sinicossinicos2tat4152（2009 福建卷理）函数 最小值是()sincofxxA-1 B C D1212【答案】B【解析】 故选 B1()sin2fxmin1()fx3（2009 湖北卷文）“ ”是“ ” 的 21 世纪教育网 2cos2A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由 得 ，故 成立的充分不必要条件，1cos2a1sin221sinsi4a是4（2009 江西卷文）函数 的最小正周期为()3t)cof
14、xxA B C D 2【答案】A【解析】由 可得最小正周期为 ,()13tan)cos3sin2i()6fxxxx25（2009 年上海卷理）函数 的最小值是_ 2y【答案】 12【解析】 ，所以最小值为：()cosin21sin(2)14fxxx126（2009 江西卷理）若函数 ， ，则 的最大值为()3tacosf 0x()fxA1 B C D2132【答案】B【解析】因为 = =()13tan)cosfxxsinxcos()x当 是，函数取得最大值为 2 故选 B3x1.（2009 全国卷理）若 ，则函数 的最大值为 。4x3tanyx解:令 , tan,x12t443222ant2
15、811t ()4xytt7(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分)设函数 2cos()sin3fxx(1)求函数 的最大值和最小正周期fx(2) 1, cos,(),si324ABCBfCA设 为 的 三 个 内 角 ， 若 且 为 锐 角 求【解析】（1）f(x)=cos(2x+ )+sin x=321cscos2sin2sin3xxx所以函数 的最大值为 ,最小正周期 ()f2（2） = = ,所以 ,因为 C 为锐角,所以 ,c13sin2C413sin23又因为在 ABC 中, ,所以 ,coB所以 132sini()sinsin236AB 8（2009 重庆卷理）设函数 ()c
16、os468xxf（）求 的最小正周期 ()fx（）若函数 与 的图像关于直线 对称，求当 时yg()yfx1x40,3x的最大值()【解析】（） =fxsincosincos46464= = 21 世纪教育网 32x3()x故 的最小正周期为 T = =8()fx24()在 的图象上任取一点 ，它关于 的对称点 yg(,)xg1x(2,)xg由题设条件，点 在 的图象上，从而 21 世纪教育网 (2,)xyf= =()2)3sin(2)43gxf xsin243xcos()43x当 时， ，因此 在区间 上的最大值为04()yg0,21 世纪教育网 max3cos2g9（2009 重庆卷文）设
17、函数 的最小正周期为22()sincos)cs()fxxx23（）求 的最小正周期（）若函数 的图像是由 的图像向右平移 个单位长度得到，求()ygx()yfx2的单调增区间【解析】（） 2222()sincos)csincosin1cosfx xxinoi()4x依题意得 ，故 的最小正周期为 21 世纪教育网 2332（）依题意得: 5()2sin()sin(3)24gxxx由 解得524kkZ 7()1kkZ 故 的单调增区间为: ()yx27,()341Z三角函数与解三角形综合：1（2009 湖南卷文）在锐角 ABC中， 1,2,BA则 cosC的值等于 2 ，AC的取值范围为 (2,
18、3) 【解析】设 ,.由正弦定理得 ,12.sin2i2coscsA由锐角 B得 029045，又 01836 ，故 332 ，2cos(,).AC2（2009 天津卷文）（本小题满分 12 分）在 中，ABCABini,5（）求 AB 的值。（）求 的值。)42s(【答案】 102【解析】（1）解：在 中，根据正弦定理， ，ABCABCsini于是 52sin（2）解：在 中，根据余弦定理，得22cosB于是 = ，A2cos1si5从而 53sinco2s,4in22A10incos2)42sin( A3（2009 浙江理）（本题满分 14 分）在 中，角 所对的边分别为 ，ABC, ,a
19、bc且满足 ， 5cos23B（I）求 的面积； （II）若 ，求 的值ABC6bca【解析】（I）因为 ， ，又由 ，25cos234os1,sin5A3ABC得 ， 21 世纪教育网 3,bbsiABCSbc（II）对于 ，又 ， 或 ，由余弦定理得5c6c,1,c，22os20a5a4（2009 湖北卷文）在锐角ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边，且，()确定角 C 的大小： 3sincA（）若 c ,且ABC 的面积为 ,求 的值。723ab【解析】（1）由 及正弦定理得， 21 世纪教育网 32sinacsini3AcC， 是锐角三角形，3sin0,iACQABQ
20、3（2）解法 1： 由面积公式得7,.c1sin,622abab即 由余弦定理得 2os7,73ab即 由变形得 )5,a（ 故5（2009 北京理）在 中，角 的对边分别为 ，ABC,3abcB。4cos,35Ab（）求 的值；（）求 的面积inCABC【解析】（）A、B、C 为ABC 的内角，且 ，4,cos35BA ，23,sin35 14si cosin20CA（）由（）知 ，34in,i50C又 ，在ABC 中，由正弦定理，得,3Bb si6nAaABC 的面积 1634693sin25105SabC6（2009 四川卷文）在 中， 为锐角，角 所对的边分别为B、 ABC、 、，且a
21、bc、 、 50sin,si1A（I）求 的值；（II）若 ，求 的值。2ababc、 、【解析】（I） 为锐角， 、 510sin,siA 2 2310cos1,cosinB52()csins .AB ， 04A（II）由（I）知 ， 34C2sin由 得siniiabcAB，即51022,5ab又 ， ， ， 1b2,5ac7(2009 山东卷文)(本小题满分 12 分)设函数 在 处取最小值2sincosin(0)fxxx(1)求 的值;(2)在 ABC 中, 分别是角 A,B,C 的对边,已知 ,求角 Ccba, ,2,1ba3)(Af【解析】(1) 1cos()2sinsinfxxx
22、 xsincosinxi()x因为函数 f(x)在 处取最小值，所以 ,由诱导公式知 ,()1s1因为 ,所以 所以 02()sics2fxx(2)因为 ,所以 ,因为角 A 为 ABC 的内角,所以 又3)(Af 3cosA6A因为 所以由正弦定理,得 ,也就是2,1basiniabB，因为 ,所以 或 sin1iB43当 时, ;当 时, 47642C3612C8（2009 全国卷文）（本小题满分 12 分）设ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 ， , ,求 B,abccos)s(BAacb2【解析】由 及 得 ，3oC()AC3os()cs()2解得 3cssin(cosin,2
23、in4AC又由 及正弦定理得 故 ，2ba2is,Bi4B或 （舍去），于是 。3sinB3sin3或又由 知 或 所 以 。2bacbc9（2009 安徽卷理）（本小题满分 12 分）在 ABC 中， , sin()1CAsin3B（I）求 的值；(II)设 ，求 的面积6【解析】（）由 ，且 ， ，242BA，sin()(cosin)42BBA ，又 ，11si3si03sinA BC（）如图，由正弦定理得 siniACB ，又36sin21ACBsiin()sicosinABAB,323 16i32ABCSC10（2009 江西卷理）（本小题满分 12 分） 中， 所对的边分别为 ， ,
24、ABC, ,abcsintcoABsin()cos（1）求 ；,（2）若 ,求 21 世纪教育网 3ABCSac【解析】(1) 因为 ，即 ，sintoABsinisncocoCAB所以 ，siciciiC即 ，nsss得 ，所以 ,或 (不成立)()n() C即 , 得 ，所以2AB323BA又因为 ，则 ，或 （舍去） 1sin()cos2C656得 5,41(2) ，又 , 即 6sin328ABCSacacsiniacAC，21 世纪教育网 23ac得 2,3.c三角函数与向量综合：1(2009 年广东卷文)（本小题满分 12 分）已知向量 与 互相垂直，其中)2,(sina)cos,
25、1(b)2,0(（1）求 和 的值co（2）若 ， ,求 的值s53)s(502cos【解析】（） , ,即abvQsin2cos0gin2cos又 , ,即 ,22sinco12411524in5又 ,5(0,)ics(2) 5cs(oin)cos2i3cos, ,即oin222si1s1又 , 21 世纪教育网 0c2（2009 江苏卷）（本小题满分 14 分） 设向量 (4cos,in),(si,4o),(cs,4in)ab（1）若 与 垂直，求 的值； 2bta（2）求 的最大值; |（3）若 ，求证： tan16b【解析】2 22 2(),()04sin()8cos,tan();,4
26、si iinco16s3cosin16si1730sc175i, bacc 由 与 垂 直 即最 大 值 为 , 4.()tan6iscs,4cos-n0,/bab 所 以 的 最 大 值 为由 得 即3（2009 湖南卷文） 已知向量 (io2in),(12).a（）若 /ab，求 t的值；（）若 |求 的值。 【解析】（） 因为 /，所以 2sincsi,于是 4sinco，故 1ta.4（）由 |ab知， 22i(sin)5,所以 1s5.从而 in(cos)4，即 sicos1，于是 2s(2)4又由 0知， 9244，所以 524，或 724因此 ，或 3. 4（2009 上海卷文）
27、已知 ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，设向量，(,)mab， sinBA(2,)pba（1） 若 / ，求证：ABC 为等腰三角形； （2） 若 ，边长 c = 2，角 C = ，求 ABC 的面积 3【解析】（1） /,sini,maAbBuvQ即 ，其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径， 21 世纪教育网 2R ab为等腰三角形BC（2）由题意可知 ，0,(2)()0pab即v由余弦定理可知， 2243， 21 世纪教育网 2()3ab即 1舍 去1sinsi3S5已知向量 m=(sinA,cosA),n= ，mn1，且 A 为锐角.(,)（）求角 A 的大小；（）求函数 的值域.()cos24si()fxxR解：（） 由题意得 3co,12si()1,sin().662由 A 为锐角得 ,6A（） 由（）知 1cos2所以 2 213()insiin(si).fxxxx因为 xR，所以 ，因此，当 时，f(x)有最大值 .s1,当 时， 有最小值-3,所以所求函数 的值域是sin1()fx 32，
