1、29第四章 振动和波动本章教学要求：1.重点掌握简谐振动方程、波动方程及其物理意义2.确切理解简谐振动的合成、波的干涉现象及其规律3.了解驻波的形式及其规律习题4-1.直径 d=1.2cm 的 U 形管装有质量 m=624g 水银。使水银在管中作微小振动，如题4-1 图所示。试求其振动周期（水银密度 =13.6103kg/m3，水银与 U 形管的摩擦忽略不计） 。分析 先证明管中水银在作简谐振动，然后求振动周期。解：取坐标如图。当右侧水银柱上升距平衡位置 O 为 x 时，两侧水银高度差为 2x，则右侧水银柱向下作用力的大小为 2()dFgx222()madtdxgxt令 则22m22xdt 管
2、中水银在作简谐振动 220.9Tsdg另解： 令2()dFgx()k则 管中水银在作简谐振动。kx20.9mTskdg4-2.一质量为 10g 的物体作简谐振动，其振幅为 24cm，周期为 4s，当 t=0 时，位移为 24cm。求 t=0.5s 时物体的位移、动能和其所受到的力的大小及方向。分析：先求振动方程。已知 A 和 T 只需求 解：设振动方程为 cos()xt30124sradTt=0 时 0cosxA0xA 振动方程为 cmcstt=0.5s 时 cm24cs(.5)2412xcm/sin0sin6vAJ22 4163.50kEmN 指向 x 轴负方向。22 301.814Fx4-
3、3.如题 4-3 图，有两个完全相同的弹簧振子 a 和 b，并排地放在光滑水平台面上，测得它们的周期都是 2s。现将两物体从平衡位置向左拉开 5cm，然后先释放 a 振子，经过 0.4s 后，再释放 b 振子。如以 b 释放的瞬时为时间的起点，问两个振子位移与时间的关系各如何？并用旋转矢量表示这两个振动。分析：求两个振子位移与时间的关系，即求这两个振子的振动方程。由从平衡位置拉开 5cm，然后释放（静止释放）可知 A=5cm 又已知 T，只需求 解： 2T1sradcmco()5cos()bbbxAtt以释放 b 时为 t=0，则0s1bxAcm5cosxtt=0.4s 时，a 的初相位 20
4、.45aTcmcs(0.4)xtxb2/5o31ax4-4.如题 4-4 图 a、b 所示的位移时间曲线，分别写出这两个简谐振动的表达式。分析：已知 A，从 t=0 和 t=1 时物体偏离平衡位置的位移，可求 和 。因为 sin()vAt则 v 与 的符号相反。 , ； ,sin()t00v0)sin(t解：（a）设振动方程为 cos()xtt=0 时 02Ax1cs3又 0vcos()xAtt=1s 时 10xcs()332又 10v2651sradcos()xAt（b）设振动方程为 cs()xt0xcos20v由图可知 T=2s 1Ts2rad32cos()2xAt4-5.两物体作简谐振动
5、，它们的振幅和周期分别是 10cm 和 2s。当 t=0 时，它们的位移分别为 10cm 和-10cm，二者的相位差是多少？是同相还是反相？当 t=1s 时它们的位移各是多少？分析：已知 A 和 T，由 t=0 时的位移可求 ；将 t=1s 代入两物体的振动方程，可得t=1s 时它们的位移。解：（1） 1211srad01cosxA10022这两个简谐振动反相。21(2) 它们的振动方程分别为 cmtxcmtx )cos(10os021 当 t=1s 时 cm1cm2cs()cs10xt4-6.一物体作简谐振动，频率为 5Hz，初相位为 。若 t=1s 时的振动速度为2m/s，求其振幅。分析：
6、由速度公式可求 A解： sin()2vt当 t=1s 时， ,则10sin()2A A = 0.1m4-7.一物体作简谐振动，已知 ，A=0.04m。若 t=2s 时，其振动速501srad33度 m/s，求其振动初相位。2v分析：由速度公式可求 解： sin()vAt432si10，4-8.物体的振动方程为 cm。求此物体由 x= - 6cm 处向 x 轴负向12cos()3xt运动并回到平衡位置所需要的时间。分析：此类题由矢量图解法求解较为简便。画出物体在 x= - 6cm 处和平衡位置处所对应的矢量位置，由矢量图解法，所求时间为矢量由图中虚线所示位置转到实线所示位置所需要的时间。解：/3
7、 -6cm o x4-9.一弹簧振子，其 m=0.5kg，k=50 N/m，A=0.04m。求：（1）当位移 x=0.02m 时，振子的振动速度、振动加速度和所受的回复力；（2）若将振子具有正的最大振动速度时作为计时零点，写出其振动方程。解：（1） 105.sradmk在此过程中矢量所转过的角度为 则53265s6tt3422sin()1co0.346m/svAtx2222cos()(8)9m/saAt1NFkx（2） 设振动方程为 s()t则 0.4co)tt = 0 时 x=0s20vm.4cos(1)xt4-10.有一质量为 1.5kg 的弹簧振子水平放置，当其受到 7.35N 力的作用
8、时可伸长0.25m。现将其拉离平衡位置 m 后由静止释放。求：（1）其作简谐振动的周期；（2）3最大振动速度；（3）最大振动加速度；（4）机械能。分析：对于弹簧振子，由 m 和 k 可求其固有周期。解：(1) FxNk/4.295.07sTsrad42.11(2) mAvm/47.3(3) 22ax65s(4) 1.JEk4-11.一轻弹簧在 60N 的拉力作用下伸长 30cm，现将质量为 4kg 的物体悬挂在其下端，待其静止后，将物体下拉 10cm 由静止释放。求：（1）物体在平衡位置上方 5cm 处并向35上运动时的加速度的大小和方向；（2）物体由平衡位置运动到上方 5cm 处所需最短时间
9、。分析：（1）对于弹簧振子，由 m 和 k 可求其固有频。此题无法求出 ，故无法用公式直接求出加速度，可利用加速度与位移的关系求出加速度。 （2）由矢量图解法求解。画出物体在平衡位置所对应的矢量位置（位置 1）和距平衡位置上方 5cm 处所对应的矢量位置（位置 2） 。矢量由位置 1 转到位置 2 过程中，所转过的最小角度所对应的时间即为题中所求的最短时间。解： 取向下为 x 轴正方向（1） Fkx602N/m.3 cos()aAtx xt22)cs(21a 0.5mx 15040sradk m/s2 方向向下.a（2）st074.56-0.05/6o x4-12.一弹簧悬挂 10g 砝码时约
10、伸长 8cm。现将这根弹簧下悬挂 25g 的物体，使它作自由振动，对下列情况分别求出振动方程。 （1）开始时使物体从平衡位置向下移动 4cm36后松手；（2）开始时，物体在平衡位置，给以向上 21cm/s 的初速度，同时开始计时；（3）把物体从平衡位置拉下 4cm 后，又给以向上的 21cm/s 的初速度，同时开始计时。分析：由 k 和 m 可求出 。 （1）由静止松手可得振幅为 4cm；（2） 、 （3）问用公式求振幅。20vAx解：取向下为 x 轴正方向（1） gkl329.810.5N/mmkl3.571srad04cos1xA0cmcst（2） cm2037vx0cosA20vcm3c
11、s(7)2xt（3） cm20145vA0sinA0213i75v3.cm5cos(021)xt4-13.一物体作简谐振动，振幅为 15cm，频率为 4Hz。试计算（1）最大速度和最大37加速度；（2）位移为 9cm 时的速度和加速度；（3）从平衡位置运动到相距平衡位置为12cm 处所需的最短时间。分析：（2）由于无法求出 ，故不能由振动方程求出位移为 9cm 时的速度和加速度。可通过对 进行适当的变换，得出含有位移的项，代入位移 9cm，可sin()vAt求解。由于没有给出物体运动的方向，所以在 9cm 处，物体的运动速度可能为正，也可能为负。但加速度只能指向负方向。 （3）由矢量图解法可得
12、。解：（1） 2481sradcm/s2max5203.8vAcm/s222 3()196510（2） 2sincos()vtAtscmAxt /3019615201)(cos22 222 /5687)8()cos(ta （3）用矢量图解法可知，所求时间为矢量从图中虚线位置转到实线位置时所用的时间。这一过程矢量转过的角度为st037. 180.53812arcin1s012o x/cm4-14.质量为 10g 的物体作简谐振动，其振幅为 24cm，周期为 1.0s，当 t=0 时，位移为+24cm。求：（1） 时物体的位置及所受力的大小和方向；（2）在 x=12cm 处1s8t38物体的速度、
13、动能、势能和总能量。分析：（1）已知 T 和 A，又已知 t=0 时的位移，则可求出振动方程。将时间代入方程可得出所求位置。由 可求出 k，由 F= - kx 可求给定时刻物体st8m受力的大小和方向。 （2）根据简谐振动的能量公式求解。解：(1) 设振动方程为 cos()xAtT1radm0.24cs()xt当 t=0 时,x=0.24mo10m0.24csxt当 t= s 时,得18m.os.17Nmk /3940)2(0.394.cs.6FxN 指向负方向（2）22sin()1co.3m/svAtxJ22310.94(.1).80PEkJAPk 35.84-15.一质点同时参与两个在同一
14、直线上的简谐振动： 和 10.5cos(2)m3xt39。求合振动的振幅和初相位。220.6cos()m3xt解： 2 444211212cos()5103601.0mAA12insitacoA)3(4,或这里 不能取 ，因为 x1和 x2是两个相位相反的振动， ，3 )32(合振动与振幅较大的那个振动同相位。此题中 A2A1，所以合振动与 x2同相位， 只能取（或 ）432（或43)4-16.两个在同一直线上的简谐振动： 和130.5cos()m4xt。求：（1）合振动的振幅和初相位各为多少？（2）若在此直20.6cos()m4xt线上另有一简谐振动 ，分别与上两个振动叠加。 为何值时，30
15、.7cos()xt的振幅最大？ 为何值时， 的振幅最小？13x23x解：（1） 2 21112cs().01mAA21initao34或因为 x1和 x2是两个相位相反的振动， ，且 A2A1，所以合振)4(3动与 x2同相位， 只能取404（2）当 时，合振动 的振幅为最大0113xmA09.7.05.3222当 时，合振动 的振幅为最小 223x4.642224-17.有两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅为 0.2m，合振动与第一分振动的相位差为 。已知第一分振动的振幅为 m，求第二个分振动的振幅及两个分振6310动的相位差。解：A2 Ao A1 x4-18.一波源作简谐振动，周
16、期 T =0.01s，振幅 A=0.4m，当 t=0 时的位移恰好在正方向的最大值。设波速 u=400m/s。求距波源 2m 处质点的振动初相位。分析：先求出波源的振动方程，由波源的振动方程写出波动方程，再由波动方程求距波源 2m 处质点的振动初相位。解：波源的振动方程mcos()0.4cos(2)yAtt t=0 时 y=0.4m 1m0.4cos2t采用旋转矢量合成图求解。如图，取第一个振动的旋转矢量 A1沿 ox 轴，即令其初相位为零，依题意，合振动的旋转矢量 A 与 A1之间的夹角 。由图可知，第二个振6动的振幅即 A2的大小为2112cos0.m因为 A1、A 2、A 的量值恰好满足
17、勾股定理，所以 A1与 A2垂直，第二个振动与第一个振动的相位差为 41波动方程为 mcos20()0.4cos2()40xxyAt tu把 t=0 、x=2m 代入波动方程, 得该处质点振动的初相位 )40(4-19.平面简谐波以波速 u=0.5m/s 沿 x 轴负向传播，在 t=2s 时的波形图如题 4-19图所示。求原点处质点的运动方程。分析：由图可知振幅为 0.5m，波长为 2m，由波长和波速，可求 。 可由给定时刻位于 0.0m、1.0m 或 2.0m 处质点位移求出。解： 设波动方程为 cos()xyAtu21T1srad0.5cos()20.5xytt = 2s 时， x=0 处
18、质点的位移 y = 0)s(20v（或 ）32110.5cos()20.5xytx=0 处，即原点处质点的振动方程为m.s()t4-20.一横波沿绳子传播时的波动方程 m。求（1）波的振幅、0.2cos(.5)ytx波速、频率及波长；（2）绳上质点振动时的最大速度；（3）分别画出 t=1s 和 t=2s 时的波形以及 x=1.0m 处质点的振动曲线，并讨论它们的区别。分析：已知波动方程求波动的特征量，可采用比较法，即将已知的波动方程化成波动方程的标准形式，然后通过比较可确定各特征量。42解：1)将已知波动方程表示为m 0.2cos.5()2.xyt与标准形式 相比较得()AtuA = 0.2m
19、 ，u = 2.5m/s ， = 0 ， Hz ， m5.21srad.252.0u（2） in()yxvttum/smax1.57A（3）t = 1s 时的波动方程变为 m10.2cos(.5)yxt = 2s 时的波动方程变为 m ， 波形图如图（a）所示。x =1.0m 处质点的振动方程为 m ，振动.cs(.)0.2cos.5ytt图象如图（b）所示。波形图表示某确定时刻波线上所有质点的位移情况，振动图表示某确定位置处质点的位移随时间的变化情况。4-21.题 4-21 图为一沿 x 轴传播的平面余弦波在 t=0 时的波形，其波动方程可表示为 。试指出 0，2，3 三个质点的初相位。co
20、s()yAtu分析：初相位是 t=0 时刻的相位，对于波动来说，将 t=0 和 0、2、3 点的位置代入，所得结果即为 0、2、3 点的初相位。初相位的符号，由 t=0 时该点的速()xt43度方向决定。解：0 点： 00cosyAcs20v02 点： 22cos()xyAtu2()t为 2 点的初相位2xut = 0 时， cos02v23 点： 33cs()yAt0312o320v34-22.在波的传播路程上有 A、B 两点，介质的质点都作简谐振动，B 点的相位比 A 点落后 30。已知 A、B 之间的距离为 2.0cm，振动周期为 2.0s。求波速 u 和波长 。解：设波动方程为 cos
21、()xytuA、B 两点的振动方程分别为 cs()AAxyto()BBtu44由题意得 ()()6ABxxttuu6BA又 2T1sradm/s60.uxm.144-23.平面简谐波的波动方程为 m。求（1）t=2.1s 时波源.8cos(2)ytx及距波源 0.10m 两处的相位；（2）离波源 0.80m 及 0.30m 两处的相位差。解：（1） 042.10.4.1 82（2） 0.8.t.34203084-24.一质点在弹性介质中作简谐振动，振幅为 0.2cm，周期为 4 s。取该质点过x=0.1cm 处向 x 轴正向运动时为 t=0。已知该质点振动激起的横波沿 y 轴正向传播，波长=2
22、cm。求此平面简谐波的表达式。分析：先求出给定质点的振动方程，再由振动方程写出波动方程。解：x0.10 ycm01.2cos()3xtcm/scm)(.0t取坐标系如图，设质点在 0 处，其振动方程为0cos()xAt v Trad4512uT所以波动方程为10.2cos()3yxtcmyt)321cos(.04-25.一平面简谐横波沿 x 轴负向传播，题 4-25 图表示在 t=0 时位移与位置的关系曲线。已知波速 u=12cm/s。试求（1）振幅、波长及周期；（2）质点的最大速率；（3）波的表达式解：（1）由图知 A = 5cm = 55-15 = 40cm suT31024（2） 1.6
23、radcm/smax59.42vA（3） x 0=4cm 4cos36.80.又 0v6.8.2cm/s413uT所以波动方程为cmxtxty 20.)1(6.0cos58.6)12(6.0cos5 4-26.已知一平面简谐波的表达式为 cm。试求（1）t=5s 时介345y质中任一点的位移；（2）x=4cm 处质点的振动规律；（3）波速分析：波动方程中有两个变量 t 和 x。当 t 为定值时，表示给定时刻媒质中各个质点偏离平衡位置的位移，当 x 为定值时，表示给定位置质点的振动规律。解：（1）t=5s 时5cos(345)20cmy（2） x = 4cm 处465cos(345)1myt（3
24、）将方程化成标准形式 cos3()54xyt可得 = 3/4 cm/s4-27.一沿 x 轴负向传播的平面简谐波，t=1s 时的波形如题 4-27 图所示。已知波速u=2m/s，求该平面简谐波的波动方程。解：由图可知 =4m A=4m T=/u=2s 12sradT设波动方程为cos()42yAtxt =1s 时 x=0 处 y=0cos()00v23m34cs()ytx4-28.为保持波源的振动不变，需要消耗 4.0W 的功率。若波源发出的是球面波（介质不吸收波的能量） 。求：距波源 5.0m 和 10.0m 处的能流密度。分析：由于波源在单位时间内提供的能量保持不变，并且介质不吸收能量，则
25、单位时间内，通过介质中各波面的能量相等，且等于波源消耗的功率。因为同一波面上各处 I 相同，所以 I=P/s 。解： W/m2124.01.70325PIrW/m232284I 4-29.有一波在介质中传播，波速 u=1.0103 m/s，振幅 A=1.010-4 m，频率=1.0103Hz。若介质的密度 =8.010 2 kg/m3。求（1）此波的能流密度；（2）1 分钟内垂直通过 4.010-4 m2 面积的总能量。解：47（1） 25222 /108.)(1 mWuAuAuI （2） J3.790WPtISt4-30如题 4-30 图，S 1和 S2为两个由同一振子带动的波源，S 1的相
26、位超前 S2 。设波长为 ，求当两波相遇点 P 为干涉极大时，两波源至 P 点的波程差为多少分析：同一振子带动的波源具有相同的振动频率。在均匀介质中，两列同频率的波相遇时的相位差由它们的初相位差 和由它们的波程差所引起的相位差 共同组2121r成。解：P 点为干涉极大的条件是 k=0，1，2 （1）2121rk21(1)式为 21rk)4(12kr4-31.如题 4-31 图所示，两振动方向相同的平面简谐波的波源分别位于 A、B 两点，它们的相位相同，频率均为 30Hz，波速均为 0.50m/s。求两列波在 P 点的相位差。分析：此题中两个振动的相位相同，故相位差只取决于 。2Br解： 在 A
27、PB 中，由余弦定理可得mAABP94.22307.2073cosP A B 27.2APBPu题 4-31 图4-32.如题 4-32 图所示，两相干波源分别在 P、Q 两点处，它们发出频率为 ，波长为 ，初相位相同的两列相干波。设 ，R 为 P、Q 连线上的一点。求（1）自32P、Q 发出的两列波在 R 处的相位差；（2）两波在 R 处干涉时的合振幅。48分析：此题中两个振动的相位相同，故相位差只取决于 ；2QPr将 代入合振幅公式即可得出合振幅)(2PQr解： （1）32r（） 211212cosAAA4-33.两相干波源位于同一介质中的 A、B 两点，它们的振幅相等，频率均为 100H
28、z，两波源的波沿相反方向传播，且 B 比 A 的相位超前 。若 A、B 相距 30m，波速为u=400m/s，求 AB 之间连线上因干涉而静止的各点的位置。分析：求出两列波相遇时各点的相位差，根据干涉减弱条件 可以求(21)k解。解：如图。两波的波长均为 。4mu设为，间任意一点，点距点为，距点为（）则波源在点的振动方程为uxtAyAP)(cos0波源在点的振动方程为mtBBP )3(0)302()()302( 0 0xuxuttAB AA因干涉而静止的条件为,1,)1(k)2(302xu497,21,0k152x k30x4)3()30(2 ）（得xuku因此，在、之间连线上距点为 、 、共
29、个点静止。4-34.两波在同一直线上传播，它们的波动方程分别为 ，10.6cos(4)myxt。求（1）合成波的波动方程；（2）波节和波腹的位置；20.6cos(4)myxt（3）波腹处的振幅；（4）在 x=1.2m 处的振幅。分析：求出合成波的波动方程，将该方程化为驻波方程 的2cos()sxyAt形式。由驻波方程即可确定波腹、波节的位置和任意位置处的振幅。解：（1）由波动方程可知，这两列波的振幅 A = 0.06m，周期 T = 0.5s，波长为2m。在波线上任取一点 P，它距原点为 x，则 P 点的合运动方程为m120.cos4ytm 此式即为合成波的波动方程.()（2）由 可得波节位置为cos20xAm (1)(.5)4k0,12,k由 ,可得波腹位置为2cos2xm k0,12,k（3）由合成波的波动方程即驻波方程可得，波腹处振幅为 0.12m（4） m0.12cos.cos.0.97xA
