1、第十五章 机械振动引言1. 振动的概念（1）机械振动物体在某一确定位置附近作来回往复的运动称为机械振动。如钟摆、发声体、开动的机器、行驶中的交通工具都有机械振动。（2）广义振动概念广义地说，一切物理量，包括非机械量的温度、电量、场强等量在一定值附近反复变化的过程均是振动。 例如：交流电压、电流的变化、无线电波电磁场的变化等等。因此振动是自然界及人类生产实践中经常发生的一种普遍运动形式，其基本规律是光学、电学、声学、机械、造船、建筑、地震、无线电等工程技术中的重要基础知识。2. 机械振动的特点（1）有平衡点。（2）且具有重复性，即具有周期性。3. 机械振动的分类（1）按振动规律分：简谐、非简谐、
2、随机振动。（2）按产生振动原因分： 自由、受迫、自激、参变振动。（3）按自由度分： 单自由度系统、多自由度系统振动。（4）按振动位移分：角振动、线振动。（5）按系统参数特征分：线性、非线性振动。简谐振动是最基本的振动，存在于许多物理现象中。本章主要研究简谐振动的规律，也简单介绍阻尼振动、受迫振动、共振等。第一节 简谐振动一、简谐振动概念在右面的演示中，观察一小球的小角度摆动，小球上的指针在下面沿摆动垂直方向匀速移动的纸条上将划出一条余（正）弦曲线。物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数的规律随时间变化，这种运动就叫简谐振动。简谐振动（simple harmonic
3、 vibration）是一种最简单最基本的振动，一切复杂振动均可看作多个简谐振动的合成，简谐振动是研究振动的基础。二、简谐振动的动力学特征1. 自由简谐振动和受迫简谐振动简谐振动一般可分为自由简谐振动和受迫简谐振动，首先介绍自由简谐振动，这类振动是指物体仅受振动系统内部的恢复力（如弹性力）的作用。2. 自由简谐振动的动力学（1）线性回复力以弹簧振子为例，它由劲度系数为 k，质量不计的轻弹簧和质量为 m 的小球组成，弹簧一端固定，另一端连接小球。当小球在无摩擦的水平面上受到弹簧弹性限度内的弹性力作用下，小球将作简谐振动，小球受到的弹性力：xkF，或 kxF这种力与位移成正比而反向，具有这种特征的
4、力称为线性回复力。可见当物体只在线性回复力或力矩作用下的运动必是简谐振动。下图演示了线性回复力对弹簧的作用。（2）动力学方程及其解若设物体质量为 m，它在时刻 t 的加速度 a，振子所受的摩擦阻力与弹簧的质量均忽略不计，则由牛顿运动定律得：2dtxmkxF，显然谐振子的加速度与位移成正比反向。令角频率 mk，可得 022xdt这就是弹簧振子满足的动力学方程。讨论：物体作简谐振动的三种判据。三、简谐振动的运动学特征1. 简谐振动的表达式（运动学方程）由简谐振动的动力学方程（二阶常系数齐次微分方程）可求得位移与时间的函数关系为：x=Acos(t+) ， 这就是简谐振动的运动方程，A、 为积分常数，
5、可由初始条件确定。2. 简谐振动物体的速度和加速度对运动方程求导可得到任意时刻物体振动的速度和加速度：（1）速度 V=dx/dt=-Asin(t+)=Vmcos(t+/2)（2）加速度 a=dV/dt=dx2/dt2=-2Acos(t+)=amcos(t+)式中：V m=A， am=2A， a=-2 x。（3）x-t, v-t, a-t 图下图演示了简谐振动的位移、速度、加速度随时间的变化。o Ttx、 、 ax 2A 0 0a减 速 加 速 减 速 加 速 -A - 2 a第二节 简谐运动中振幅、周期和相位现在我们讨论简谐振动运动学方程 x=Acos(t+)中的 A、 、 t+、 的物理意义
6、。它们分别是描述谐振动的特征量：振幅、频率和周期、相位和初相。一、振幅 A1. 平衡位置任何机械振动的物体都始终徘徊在某一定位置的附近，这个位置称为平衡位置。2. 振幅 A物体的运动范围为： Ax，将物体离开平衡位置的最大位移的绝对值称为振动的振幅。二、周期和频率1. 周期每隔一个固定的时间，物体的运动状态就完全重复一次。这固定的时间 T 称为振动的周期。2. 频率每秒内振动的次数称为频率 ，单位：赫兹 （HZ）。角频率 =2， 表示 2 秒内全振动的次数。3. 、 T、 的关系（1）、 T注意到 x(t)tx，可得：tATtAcoscos因此有： 2T， ；注意到 mk，因此有： kmT2（
7、2) 、 1（3）、 2T， ， mk21因为 T、 为组成简谐振动的系统特征量所决定，与外界无关，称为固有周期和固有频率。运动方程也可写为 x=Acos（ 2t ） 或 x=Acos（ 2t/T ）三、相位1. 相位相位（t+）是决定谐振子运动状态的重要物理量 t+，和 A， 一起决定 t 时刻物体运动状态，即位移 x,速度 v，和加速度 a.在一次全振动中，谐振子有不同的运动状态，分别与 02 内的一个相位值对应。例如：t X v t+0 A 0 T/4 A T/2 A T A 0 22. 初相 t=0 时的相位，决定开始时刻振子的运动状态，即初始位移 x0，初始速度 v0四、由初始条件确
8、定振幅 A 和初相 如果已知初始条件 t= , x=x0 ,v=v0， 代入运动学方程有：x 0=Acos， v0=- sin。因此： 2020vx,0xarctg由此，根据x=Acos(t+)v=-Asin(t+)a =-2Acos(t+)可确定任一时刻谐振子的运动状态。讨论：（1）相位的物理意义和现代物理学中地位；（2）运动学方程的指数表示；第三节 简谐振动的旋转矢量图示法一、旋转矢量简谐振动的方程 x=Acos(t+)， 根据几何学原理可以把它看作一旋转着的矢量 A 在 x 轴上的投影。振幅矢量转动一周，相当于振动一个周期。当一矢量 A 绕其一端点 o 以角速度 旋转时，另一端点在 x
9、轴或 y 轴上的投影点上将作简谐振动。设 t=0 时， A 与 x 轴夹角为 ，t 时刻，A 转过 t角，则矢量端点在 x 轴上投影点坐标为 x =Asin（ t+） 。显然投影点作简谐振动的振幅、圆频率、初相与 A矢量大小、旋转角速度、初始 A 与 x 轴夹角一一对应。当然，投影点的速度和加速度也与简谐振动的速度和加速度相对应。A 旋转一周，投影点作一次全振动，所需时间 2T为谐振周期，一秒内矢量 A 转过的周数为谐振频率。用旋转矢量 A 来表示简谐振动形象直观，一目了然，在以后分析两个以上谐振动合成时十分有用和方便。图 145 旋转矢量图及简诣运动的 x-t 图例：一物体沿 x 轴作简谐振
10、动,振幅为 A，其表达式用余弦函数表示。若 t=0 时，物体的运动状态分别为（1）X 0A；（2）过平衡位置向 X 轴正方向运动；（3）过 X0A/2 处向 X 轴负方向运动；（4）过 X0A/ 2 处向 X 轴正方向运动；试用矢量图示法确定相应的初相。答案：二、相位差在比较两个或两个以上的简谐振动时，相位的概念很重要。1. 两个同频率简谐振动的相位差例如两个振动：x1=A1cos(t+1)x2=A2cos(t 2)相位差 =（ t+2）（t+ 1）= 2 1可见，在同频率的情况下，两个振动的周相差就是它们的初相差。2 1 ，振动（2）比振动（ 1）超前或振动（1）比振动（ 2）落后；2 1，
11、 振动（1）比振动（ 2）超前或振动（2）比振动（ 1）落后；2 =1 称这两个振动为同相或同步；2 -1= 称这两个振动为反相。图 14-6 两个简谐运动的相位差2. 同一简谐振动的位移、速度、加速度的相位关系位移 x=Acos(t+)速度 v=vmcos(t+/2)加速度 a= amcos(t+)例题：课本（下册）第 912 页（学生先自学，习题课中再讲）作业：课本下册 37 页第 2 题，38 页第 10 题第四节 单摆和复摆一、单摆1. 单摆、摆锤和摆线单摆角谐振动: 052. 动力学方程质量为 m 的小球用细线悬挂，当球在小角度摆动时，则有： 系统所受力矩： glMsin由转动定律：
12、 J可得角加速度: sinsin22 lgmlgJdt 定义角频率: l，并注意到： sin，可得：022dt（1）这就是单摆角谐振动所满足的动力学方程。3. 运动学方程、周期方程（1）的解为： tmcos，最大摆角 m和初相 由初始条件决定。而且有： 2020lvm，0lvarctg振动周期： gT24. 应用：测量重力加速度，探矿等。二、复摆任意形状的刚体悬挂后绕一固定轴 O 作小角度摆动，质心到转轴距离为 l，则有： JmglJmglJMdt sin2为谐振动方程，相应的角频率: l，周期： mglJT2应用：测量转动惯量。第五节 简谐运动的能量一、能量表达式以在水平面上作简谐振动的弹簧
13、振子为例，分析其能量变化，显然振子只受弹性力这一保守力作用，符合能量守恒。设在任一时刻 t，振子位移为 x，速度为 v，注意到：x=Acos(t+)， v=-Asin(t+)， 则其弹性势能 Ep 动能 EK 分别为：动能: Ek=mv2/2=m2A2sin2(t+)/2弹性势能: E p=kx2/2=k A2cos2(t+)/2= m2 A2cos2(t+)/2因此系统总机械能为：E=E k+Ep= m2 A2/2= k A2/2可见系统机械能守恒。二、能量曲线注意理解能量守恒和动能、势能相互转化过程。由能量守恒关系可得：k A2/2= mv02/2+ kx02/2， 解之即得： 2020v
14、xA三、动力学方程的另一种推导方法我们还可以从能量守恒基本关系式出发推出简谐振子的动力学方程。四、现代物理的研究方法第六节 简谐运动合成研究振动合成问题的普遍性的意义：声学、音乐、乐器、电信号的传输、调制和解调等。一、两个同方向同频率的简谐振动合成1. 结论分振动：11costAx22合振动为： ts其中：2. 推导（1）解析法221121 coscos tAtAxxttsinis ncos 2222tAtA siniicocos 22112211 tAtAsinicost其中，2211coscoscosinininAA解之可得：122121cos2211scosininAtg（2）图解法3.
15、 讨论（1）同相：两分振动同相： ，合振动振幅等于两分振动振幅之和。（2）反相：两分振动反向： ， ，合振动振幅等于两分振动振幅之差。二、多个同方向同频率的简谐振动合成在光学中讲解。三、同方向不同频率的简谐振动合成 拍1. 不同振幅设有两个同方向的简谐振动，但它们的频率、振幅不同：它们的合振动是：右图演示了上式的合成振动。红线、蓝线表示分振动，黑线表示合成的振动。可以看出合振动的振幅和频率的变化比较复杂。2. 分振动的振幅和初相位都相等为简单计，设两分振动的振幅和初相位都相等，当两分振动的频率都很大，且相差甚微时，合振动为可将 视为振幅变化部分，合成振动是以角频率为的谐振动。其振幅变化的周期是
16、由振幅绝对值变化来决定，即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动这种合振动忽强忽弱的现象称为拍。拍的频率为两个分振动的频率之差。四、两个相互垂直的同频率的简谐振动合成设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的同频率简谐振动，即因得上式是个椭圆方程，具体形状由相位差 决定。质点的运动方向与 有关。当 时，质点沿顺时针方向运动；当时，质点沿逆时针方向运动。（课本 24 页图）五、两个相互垂直的不同频率的简谐振动合成李萨如图设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直频率不同的简谐振动，即合成的振动一般是复杂的，运动轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的
17、轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。用李萨如图形在无线电技术中可以测量频率。在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。作业课本 P.39 第 19 题课本 P.41 第 27 题教学内容：1. 机械波的产生和传播，横波和纵波的区别；2. 波长、波速、波的频率的概念及其相互关系3. 平面简谐波波函数的物理含义，由已知质点的简谐运动方程得出平面简谐波的波函数的方法；重点难点：已知质点的简谐运动方程得出平面简谐波表达式的方法；基本要求：1、理解机械波形成和传播的条件；2、掌握
18、由已知质点的简谐运动方程得出平面简谐波表达式的方法；第十六章第十六章第十六章 机械波机械波机械波引 言振动状态在空间的传播形成波动，简称波。激发波动的振动系统称为波源。波是自然界广泛存在的一种运动形式，通常将波动分为两大类：一类是机械振动在媒质中的传播，称为机械波，如水面波、声波等。另一类是变化的电磁场在空间的传播，如无线电波、光波等等。波动的特征是：1. 波动具有一定的传播速度，并伴随着能量的传播。2. 波动具有时空周期性，固定空间一点来看，振动随时间的变化具有时间周期性，而固定一个时刻来看，空间各点的振动分布也具有空间周期性。3. 波动具有可入性和可叠加性。可入性指在空间同一区域可同时经历
19、两个或两个以上的波，因而波可以叠加。干涉和衍射是波所特有的现象，观察干涉、衍射现象是鉴别波动过程最有力的手段。 第一节 机械波的几个概念一、机械波的形成波动是振动状态的传播过程，振动是产生波动的根源。机械振动在介质中的传播过程，称为机械波。 1. 产生机械波的条件（1）要有作机械振动的物体，即波源。（2）要有传播这种波动的弹性媒质。2. 机械波的特点（1）媒质中各质元都在各自平衡位置附近作振动，并末“随波逐流”。因此波的传播不是媒质质元的传播。（2）波源的振动状态沿波射线的方向由近及远向外传播，因此沿波射线方向各质元的振动相位是逐一落后的。（3）波的传播过程也是能量传播过程。二、横波和纵波1.
20、 如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互垂直，这种波称为横波。2. 如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。3. 其他形式的波，如水面波、孤立波等等。 三、描述波动的物理量1. 波长 在同一波射线上两个相邻的、相位差为 的振动质点之间的距离叫波长。如果从波动的传播角度来定义波长，是在一个周期内某振动状态（相位）传播的距离。波长描述了波的空间周期性。2. 周期 T波向前传播一个波长所需要的时间叫波的周期。3. 频率在单位时间内通过波射线上某点完整波形的个数称为波的频率。一般情况下，振动在媒质中传播时频率不变。所以，频率就等于波源的振动频率。自然，波的周期也等于
21、波源的振动周期，且 1T。4. 波速 u在波动过程中，某一振动状态(相位) 在单位时间内所传播的距离叫波速。三者之间的关系为：Tu关于波速应注意以下几点：（1）波的传播速度是振动状态传播的速度，也是相位传播的速度。因此此处的波速为相速。（2）要区别开波的传播速度和媒质质点的振动速度。后者是质点的振动位移对时间的导数，它反映质点振动的快慢，它和波的传播快慢完全是两回事。（3）无限媒质中一般存在纵波与横波两种类型，但在液体和气体中只存在纵波。在固体中横波传播速度为 Gu，式中 G 为固体的切变弹性模量， 是媒质的密度。在固体中纵波的传播速度为EBu34，式中 G 为固体的切变弹性模量，B 是容变弹
22、性模量，E 为固体的弹性模量。在液体和气体中纵波的传播速度为 u，式中 B 是媒质的容变弹性模量。P. 45 给出了在一些媒质中声音的传播速度。四、波线 波前 波面1. 波线波的传播方向一般可以用波线表示。沿波的传播方向画一些带有箭头的线，叫做波线。2. 波面介质中各质点都在平衡位置附近振动，我们把不同波线上相位相同的点所连成的曲面，叫做波面或同相面。在任一时刻波面可以有任意多个，一般作图时使相邻两个波面之间的距离等于一个波长，如下图所示。3. 波前在某一时刻，由波源最初振动状态传到的各点所连成的曲面，叫做波前。或者说，最前面的波面也叫波前。显然，波前是波面的持例，但却是传到最前面的那个波面，
23、所以，在任一时刻，只有一个波前。4. 平面波和球面波波前是球面的波，叫做球面波。波前是平面的波，叫做平面波；在各向同性的介质中，波线与波面垂直。第二节 平面简谐波的波函数一、平面简谐波1. 波函数（波方程）波方程就是用已知波源的振动规律，表达出弹性媒质中各点的振动的规律 y(x,t)。2. 平面简谐波（1）概念普通波函数的表达式是比较复杂的。现在我们只研究一种最简单最基本的波，即在均匀、无吸收的介质中，当波源作简谐运动时，在介质中所形成的波。这种波叫做平面简谐波。（2）注意严格的简谐波只是一种理想化的模型。它不仅具有单一的频率相振幅而且必须在空间和时间上都是无限延展的，所以严格的简谐波是无法实
24、现的。对于作简谐运动的波源在均匀、无吸收的介质中所形成的波，只可近似地看成是简谐波。任何非简谐的复杂的波，部可看成是由若干个频率不同的简谐波叠加而成的。下图所示的，就是由频率和振幅各不相同的多个简谐波叠加成锯齿波的情形。因此，研究简谐波仍具有特别重要的意义。3. 平面简谐波的波方程（1）导出波方程的思路 已知波源的振动方程，当振动传到各质元时，各质元都以相同的振幅、 频率来重复波源的振动。 波源的振动状态以某一速度先后传播到各个质元，沿波的传播方向上的各质元振动的相位依次落后。（2）导出波方程步骤 选定坐标并明确波的传播方向。 给出波的传播方向上某点(参考点、波源) 的振动方程。 比较位于 x
25、 处的任一点和参考点相位的超前和落后关系，由参考点的振动表达式即可得出波的表达式。例如：距离原点 o 为 d 的 a 点振动方程为 ，任一点 P 点，坐标为 x，落后参考点 a 相位为 ，则 P 点的振动表达式即波的表达式为：当参考点选在坐标原点，则波的表达式为：根据 ，可写成波的表达式的几种不同形式为：二、波函数的物理意义1. 当 x 为恒量，即 x= x0，则波方程变为：它表达了距离坐标原点为 x0 处的质点的振动规律（独舞）， 是它的初相位。不同的 x0，相应的振动初相位不同。2. 当 t 为恒量，t=t 0， 则波方程变为：即在某一瞬时 y 仅为 x 的函数，它给出了该瞬时波射线上各质
26、元相对于平衡位置的位移分布情况，即表示某一瞬时的波形（集体定格）。3. 若 x 和 t 两个都变化时，波方程就表示了波射线上所有质点在各个不同时刻的位移情况。或形象地说，在这个波动方程中包括了无数个不同时刻的波形、随着 t 的增加波的表达式就描述了波形的传播。实质上反映了波是振动状态的传播。可以证明：其中 ，这说明了 t 时刻的振动状态在 时刻传到了 处。4. 如果看定某一相位，即令ux=常数（x，t 均为变量），则此相位在不同时刻出现于不同位置，它的传播速度(即相速度) 可由它的微分得出： u相 。总之， 波方程反映了波的时间和空间双重周期性。时间周期性：周期 T 代表了波的时间周期性。从质
27、点运动来看，反映在每个质点的振动周期均为 T；从整个波形看，反映在 t 时刻的波形曲线与 时刻的波形曲线完全重合。空间周期性：波长 代表了波在空间的周期性。从质点来看，反映在相隔 的两个质点其振动规律完全相同(两质点为同相点 )；从波形来看，波形在空间以 为“周期”分布着。所以波长 也叫做波的空间周期。三、例题 （1）从波方程找出波参数；（2）写出波方程；作业：P.84 第 2 题，第 5 题；P.85 第 8 题；第十一讲时间：2003 年教学内容：1. 波的能量传播特征及能流、能流密度概念；2. 惠更斯原理和波的叠加原理，用惠更斯原理解释波的反射与折射；3. 波的相干条件，应用相位差和波程
28、差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件；4. 驻波及其形成条件；重点难点：波的相干条件，两波干涉时振幅加强和减弱的条件。基本要求：1. 了解波的叠加原理，理解波的相干条件；2. 掌握两波干涉时振幅加强和减弱的条件；3. 理解波的干涉，了解驻波的概念。第三节 波的能量一、波动过程中能量的传播1. 体积元 dV中的能量当机械波传播到介质中的某处时，该处原来不动的质点开始振动因而有动能同时该处的介质也将发生形变，因而也具有势能，波的传播过程也就是能量的传播过程。设有平面简谐波： uxtAtxycos,假设介质的密度为 ，则介质中某一体积元 dV内的质元 dm的运动速度为： uxttxyvsin
29、,，对应的运动动能为： uxtAdvdVEk 222sin质元处的形变势能为： 2dyP（1）纵波对于纵波，由 dxESF，可得 dxEk，并注意到 u：代入上式，有： uxtAdVxySdydxSEP 222222 sin（2）横波对于横波，由 dxGSF可得dxGk，并注意到波速 u：代入上式，有：uxtAdVySduyxGSEP22 222sin 总能量为： uxtdVAEEPk 22sin（3）结论和分析我们看到，体积元中的动能和势能是同步变化的，即两者同时达到最大，又同时减到零，体积元中的总能量随对间作周期性的变化，不是守恒的。这是因为介质中的每个体积元都不是孤立的，通过它与相邻介质
30、问的弹性力作用，不断地吸收和放出能量，所以小体积的能量随时在变化，并且造成机械能的传播。至于波动中动能和势能的同步变化，这可从波动过程实际观察到。正在通过平衡位置的那些质点，不仅有最大的振动速度，而且由于所在处的质点间的相对形变(即 xy)也最大，因而势能也最大。而处于最大振动位移处的那些质点不仅振动动能为零，而且由于所在处的质点间的相对形变也为零(即0xy，所以势能也为零。动能和势能的变化是同步的。2. 能量密度为了精确描述波能量的分布，引入能量密度的概念：（1）能量密度的定义介质中单位体积中的波能量，叫作波的能量密度，用 w 表示，且 uxtAdVE22sin（2）平均能量密度 w波的能量
31、密度在一个周期内的平均值。 2sin0220 ATdtuxtATdtwTT 二、能流和能流密度1. 能流密度 P单位时间内通过介质中垂直于波传播方向的单位面积的波的能量。它是矢量，方向就是能量的传播方向，即波速的方向，大小为： uxtAuwdtSuP22sin2. 平均能流密度 wuPdtT20也被称为波的强度。如果考虑其方向，则为波的强度矢量，也称为坡印廷矢量。例题：球面波问题。第四节 惠更斯原理、波的衍射、反射和折射一、惠更斯原理惠更斯(C.Huygens) 原理是关于波面传播的理论。表述为：媒质中任一波阵面上的各点，都是发射子波的新波源，其后任意时刻，这些子波的包络面就是新的波阵面。根据
32、惠更斯原理可知，当波在各向同性的均匀媒质中传播时，保持波阵面的几何形状不变。惠更斯原理对任何波动过程都是适用的。只要知道某一时刻的波阵面，就可根据这一原理用几何方法来决定任一时刻的波阵面，因而在很广泛的范围内解决了波的传播问题。但惠更斯原理不能说明波的强度分布。二. 原理应用根据惠更斯原理，应用几何作图方法，由已知的某一时刻波阵面，可以确定下一时刻的波阵面，从而确定波的传播方向。应用惠更斯原理可以解释波的折射、反射和衍射等现象。图 1 用惠更思原理解释球面波和平面波的传播1. 波的传播，如图 1 所示；2. 波的衍射波在传播过程中遇到障碍物时，将发生衍射现象，其波阵面的几何形状和波的传播方向均
33、发生改变，衍射现象明显与否，和障碍物的尺寸有关。例如，当平面波通过一缝时，若缝的宽度远大于波的波长，波表现为直线传播；若缝的宽度略大于波长，在缝的中部，波的传播仍保持原来的方向；在缝的边缘处，波阵面弯曲，波的传播方向改变，波绕过障碍物向前传播；若缝的宽度小于波长（相当于小孔），衍射现象更加明显，波阵面由平面变成球面。 （1）平面波通过宽度略大于波长的缝时，在缝的中部，波的传播仍保持原来的方向，在缝的边缘处，波阵面弯曲，波的传播方向改变，波绕过障碍物向前传播。（2）平面波通过宽度（线度）小于波长的缝时（相当于小孔） ，衍射现象更加明显，波阵面由平面变成球面。3. 波的反射定律入射角等于反射角，
34、i，如图 2 所示；4. 波的折射定律 211sinnu，如图 3 所示；图 2 用惠更思原理解释波的反射定律图 3 用惠更思原理解释波的折射定律第五节 波的干涉一、波的叠加原理（独立性原理）1. 波的独立传播原理 几个波源产生的波，在传播过程相遇时，每个波的波长、频率、振动方向、传播方向等都不因其它波的存在而改变。或者说，各个波互相间没有影响，每个波的传播就象其单独存在时一样。这称为波传播的独立性原理。2. 波的叠加原理若 1y、 2分别是它的解，则它们的线性叠加 21yc也是它的解, 即上述波动方程遵从叠加原理。当几列波在媒质中某点相遇时，该点的振动是各个波单独存在时在该点引起振动的合振动
35、，即该点的位移是各个波单独存在时在该点引起的位移的矢量和。这种波动传播过程中出现的各分振动独立地参与叠加的事实称为波的叠加原理。波的叠加原理可以从波动方程 y = y(x,t) 加以说明。各种平面波满足如下线性偏微分方程：若 y1 、 y2 分别是上式的解，则 c1y1 +c2y2 也是它的解，即上述波动方程遵从叠加原理。 在几列波相遇处，质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和。这种波动传播过程中出现的各分振动独立地参与叠加的事实称为波的叠加原理。讨论：（1） 人的耳朵能分辨不同的声音正是这个原因； （2） 叠加原理的重要性在于可以将任一复杂的波分解为简谐波的组合。（3） 爆炸
36、产生的冲击波就不满足线性方程，所以叠加原理不适用。二、波的干涉1. 干涉的概念两列频率相同，振动方向相同，相位差恒定的波在空间相遇叠加，使某些点振动始终加强，使某些点振动始终减弱，在空间形成一个稳定的叠加图样，这就是波的干涉现象。2. 相干条件、相干波两列波的相干条件是： 频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定。这样两列能产生干涉现象的波叫相干波。干涉现象是波动所独具的特征之一。3. 干涉加强（相长）和干涉相减（相消）若两列波相遇处，引起振动的相位差为：当 时合振幅最大，称干涉加强，这时 。当 时，合振幅最小，称干涉减弱，这时 。相位差由两部分组成，其中 是因两波源初相不同而引起的相位差
37、，而是两波源到相遇点的波程差而引起的相位差。如果 ，可用波程差表示加强与减弱条件，上述条件可简化为：相位差与波程差的关系为：第六节 驻波一、驻波的形成图 3 驻波的形成驻波是简谐波干涉的特例。沿 x 轴正、反两方向传播的简谐波，如果它们的振动频率和振幅都相同，初相差恒定，就会叠加合成驻波。沿 x 轴正、反两方向传播的两列波： utAycos1，uxtAycos2两列波叠加，其合成波为： txuycoscos即为驻波方程。二、驻波的特征驻波不是振动状态的传播，也没有能量的传播。而是媒质中各质点都作稳定的振动。 1. 驻波的振幅（1）波腹振幅最大的点称为波腹，对应于 12coscos2 xAxuA
38、即kx，可得波腹的位置满足kx,21,0,2kx（2）波节振幅为零的点称为波节，对应于 02coscos2 xAxuA即21kx，可得波节的位置满足21kx,1,0,41kk（3）相邻波腹（或波节）间距离 21kkxx因此，可通过测量波腹间的距离，来确定波长。 在上面的演示中，我们看到在波腹位置，质点的振幅最大；在波节位置，质点始终静止。三、半波损失问题1. 概念和例子入射波在反射时发生相位突变 的现象称为半波损失。波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界面上反射时，有半波损失，形成的驻波在界面处是波节。反之，当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面上反射时，无半波损失，界面处出现波腹。2. 波密媒质与波
39、疏媒质我们用介质的密度和波速的乘积 Z = 表示媒质的特性阻抗。两种媒质比较，Z 值较大的称为波密媒质，Z 值较小的称为波疏媒质。四、驻波的能量五、驻波的简正模式作业 P86 第 17 题，P87 第 20 题第十二讲复习课（振动和波习题课）基本要求一、振动1确切理解简谐振动的概念。明确谐振动的运动方程、运动学特征及动力学条件。2掌握简谐振动运动方程中各特征量(特别是位相) 的物理意义。3理解振动曲线（x-t 图）的物理意义。4掌握谐振动的旋转矢量图表示法。5掌握两个同方向同频率谐振动合成的规律。了解两个相互垂的简谐振动的合成。二、波动1. 掌握平面简谐（行）波波方程的建立及其物理意义，明确波
40、动特征量和振动特征量的区别和联系。2明确波动曲线和振动曲线的区别和联系。3理解波动过程就是能量传播过程。明确波的能量和振动系统能量之间的异同，建立能量密度和能流密度概念。4理解惠更斯原理和波的迭加原理。5. 在同方向、同频率振动合成的基础上，进一步掌握波的相干条件和干涉条件，理解干涉观象。6明确形成驻波的条件及驻波和行波的区别。主要内容习题基本类型一、振动1判断一个物体的运动是否为简谐振动；如为简谐振动，根据已知条件建立谐振动方程（求解、讨论） 。2联系（根据给出的）谐振动的运动方程、特征置和振动曲线解决有关问题。3应用两个同方向同频率谐振动的合成规律解决有关问题。二、波动1. 已知波动过程中某点的振动方程(或扳动曲线) 及有关波动的特征量建立波函数（波方程） 。2. 已知波方程，会做出某时刻的 y-x 图及某位置的 y-t 图（或写出该点的振动） 。3. 会计算能量密度和能流密度。4. 掌握在相干波迭加时，应用于涉条件处理有关具体问题。例题选讲一、简谐振动
