1、赵存虎,编制：,1.,第4章 机械振动,4.1 简谐振动的动力学特征 4.2 简谐振动的运动学 4.3 简谐运动的能量 4.4 简谐运动的合成 4.5 阻尼振动 受迫振动 共振,教学目的：1. 掌握简谐振动和描述简谐振动的物理量;2. 掌握用旋转矢量描述简谐振动;3. 理解单摆周期的计算;4. 掌握简谐运动的能量公式及能量曲线;5. 掌握同频率同方向谐振动的合成;6. 了解实际振动、阻尼振动、受迫振动、共振及在实践中的应用. 教学重点：简谐振动的动力学特征和运动学特征;描述简谐振动的物理量; 旋转矢量法的应用. 教学难点：旋转矢量求解简谐振动的问题.,2.,4.1 简谐振动的动力学特征,4.1
2、.1 简谐振动的动力学特征,以质量为m，劲度系数为k的弹簧振子为例,(演示),条件：不计弹簧质量，忽略摩擦阻力.,3.,令, 称为振动系统的固有圆频率, 决定于系统的内在性质,4.,则,凡质点离开平衡位置的位移(线位移或角位移 ) 满足此微分方程的运动，均称为简谐振动.,简谐振动的基本特征：,2) 等振幅振动;,3) 运动具有时间周期性.,1) 存在弹性恢复力或准弹性恢复力;,单位：rad.s-1,4.1.2 微振动的简谐近似 (单摆),5.,不计绳子质量和伸缩量，忽略摩擦阻力及空气阻力.,由转动定律可知：,当 时,其中 圆频率,(演示),周期,故,4.2.2 描述简谐振动特点的物理量,1.振
3、幅A,反映振动强弱,周期T,反映振动快慢,频率,振动的最大位移.,反映振动快慢,完成一次全振动所用时间.,单位时间内完成全振动的次数.,6.,4.2 简谐振动的运动学,4.2.1 简谐振动的运动学方程,2.周期、频率、圆频率,圆频率,2 秒内完成全振动的次数. （或单位时间内转动的角度）,反映振动快慢,注：周期、频率、圆频率决定于振动系统的力学性质.,相位(t +) :,通常初相位 的取值范围是 - +,初相位 : t = 0时刻的相位.,确定任意时刻系统振动状态的物理量.,3. 相位和初相位,7.,速度,加速度,8.,4.振动的速度、加速度,注意：v 和a的正负仅表明振动物体的运动方向与X轴
4、正方向相同还是相反.,可见：振动物体的速度和加速度也按简谐振动规律变化.,初相 =0,9.,初相位确定：通常取 ，角所在象限由 sin = - v0 /（A ） 和 cos =x0 /A 决定.,5.由初始条件确定振幅A和初相位,由初始条件t =0 , x = x0 , v = v0 可得,4.2.3 简谐振动的旋转矢量图示法,以平衡位置O点为圆心，振幅 A为半径，角速度为 作逆时针方向匀速率圆周运动的质点，在X轴上投影点的运动是简谐振动.,(演示),10.,投影点的运动方程：,称为旋转矢量(或振幅矢量),相位(t+)是 与X轴正半轴的夹角,相位差,相位差 =( t+ 2) - ( t+ 1)
5、= 2-1,(实为 初相位之差 ),两个同频率简谐振动在同一时刻的相位之差,同相和反相:,11.,同相：当 = 2k，(k = 0, 1, 2,)，则每一时刻两个振动的状态完全相同，称为同相;,反相：当=(2k+1)，(k=0,1, 2,)，则每一时刻两个振动的状态完全相反，称为反相.,12.,初相位在 0 2或 - + 内，若 = 2 - 1 0，则称 x2 超前于 x1，即 x2比 x1 提前达到正最大值. (也可称 x1 比 x2 落后)。,相位的超前和落后 (常针对两同频率振动):,例：,落后于,13.,运用旋转矢量确定简谐振动的初相位并求解简谐振动的其它问题最为简捷、直观.,注: 同
6、一简谐振动的位移、速度、加速度之间也可以比较相位。,求从 t = 0 时刻起到质点位置在 x = - 2cm 处，且向X轴正方向运动的最短时间间隔.,例题：一质点沿X轴作简谐振动，振动方程为,解： (用旋转矢量法),由振动表达式可知,14.,当t = 0时，质点在x0= 2cm处，质点对应于圆周运动的M0点，v0 0 (质点沿X轴负方向运动);,质点到达x= -2cm处，且v 0时，质点对应于圆周运动的M点，,圆频率 =2 rad.s-1,初相位 = / 3,由M0点到M点，旋转矢量 旋转了 (rad)，所用时间为,(s),15.,.,弹性势能,机械能,简谐振动系统机械能守恒；,动能和弹性势能
7、相互转换，二者相位差/2；,16.,动能,4.3 简谐振动的能量,性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒.,4.4 简谐振动的合成,4.4.1 两个同方向同频率简谐振动的合成,一个质点同时参与两个(或多个)振动方向相同、频率相同的振动.,1.分振动 :,x1=A1cos( t+ 1),2.合振动 :,x2=A2cos( t+ 2),x = x1+ x2,(用旋转矢量法合成),(演示),17.,合振动表达式：,合振幅矢量：,结论1：合振动也是同频率简谐振动 .,x =A cos( t+ ),结论2：合振动振幅与分振动相位差有关.,初相位 满足,合振幅,18.,讨论：,(1)若两分振动同相(
8、相位相同或相位差是 的偶数倍),(2)若两分振动反相(相位相反或相位差是的奇数倍),则A=A1+A2 ，两分振动相互加强，合振幅最大;,则A=|A1-A2|， 两分振动相互减弱， 合振幅最小;,即 2 1= 2k ( k= 0,1,2,),即 2 1=(2k+1) ( k= 0,1,2,),(3)若 A1=A2= A0 ,合振动强度,19.,则 同相时合振幅 A= 2A0 ；,反相时合振幅 A=0,由旋转矢量图可见，合振动 的初相位为 = ,例题：同一质点参与两个简谐振动，振动曲线如图所示.若这两个简谐振动用余弦函数表达，且合振动也用余弦函数表达，则其初相位为多少？,解: (用振幅矢量图示法最
9、简单),由振动曲线可见两振动初相位 1= ， 2=0.,20.,二. 同方向不同频率的简谐振动的合成,频率相近的两个简谐振动的迭加，合振幅时而加强、时而减弱，形成所谓拍现象。拍频(单位时间内强弱变化的次数)为 =|2- 1|.,21.,4.5 阻尼振动 受迫振动 共振,4.5.1 阻尼振动,由于阻尼的作用,使振幅随时间而减小的振动,称为阻尼振动.,4.5.2 受迫振动,在周期性外力(策动力)的持续作用下的振动,称为受迫振动.,4.5.3 共振,当策动力的频率与振动系统的固有频率相同时,策动力在整个周期内对物体作正功,使物体能量达到最大,此现象称为共振.,此时速度振幅vm=A也达到最大.,阻尼较小,阻尼较大,22.,本章学习指导,一. 简谐振动的基本特征和运动规律:,运动学特征方程,基本特征：,(1)等幅振动,(2)周期振动,简谐振动的表达式 ：,二. 描述简谐振动的物理量:,相位( t +),周期T和频率,速度v和加速度a,振幅A,四. 同方向同频率简谐振动的合成,三. 解决简谐振动问题的最重要方法：旋转矢量法,23.,谢谢！,谢谢！,下次课再见！,24.,
