1、 概率论与数理统计 习题（一）一、单项选择题1已知 ， ，若事件 A 与 B 相互独立，则 （ C ）21)(BP)(BA32 )(APA B C D 963121因为 A 与 B 独立，所以 ，即 ，)()()(P )()(3AP可得 31)(P2对于事件 A 与 B，下列命题正确的是（ D ）A如果 A,B 互不相容，则 也互不相容 B如果 ，则, ABC如果 ，则 D如果 A,B 对立，则 也对立 ,如果 A 与 B 对立，则 且 ，所以 与 对立（就是 B 与 A 对立） A3每次试验成功率为 （ ） ，则在 3 次重复试验中至少失败一次的概率为（ p10B ）A B3)1(p 31p
2、C D )1()()(2p设 是试验成功的次数，则 ，所求概率为XX),3(p3011313CP4已知离散型随机变量 X 的概率分布如下表所示：X 0 1 2 4P 1/10 1/5 1/10 1/5 2/5则下列概率计算结果正确的是（ A ）A B C D03X0XP1XP14XP5已知连续型随机变量 X 服从区间 上的均匀分布，则 （ B ,ba 32baXP）A0 B C D13132X 的概率密度为 ，注意到 ，其 他,0)(bxabxf ba311)(323232 abdxadxfaPba6设 的概率分布如下表所示，当 X 与 Y 相互独立时， =（ C ）),(YX ),(qpYX
3、 110 5p1 q2 5103A B C D1, 5, 152,010,52， ， 20352XP14qYPpYP由 ，即 ，可得 ；1,XY 210310由 ，即 ，可得 12,2YPXP 54q52q7设 的联合概率密度为 则 （ A ),(Y,012)(),(其 他 yxykyxf k）A B C1 D33121由20202020 1)(),( xkdxkdxyxkdyxkdxyf，得 1338已知随机变量 X ，则随机变量 的方差为（ D ）),(N12XYA1 B2 C3 D441)(4)(DY9设 X 服从参数为 0.5 的指数分布，用切比雪夫不等式估计 （ A 3|2|XP）A
4、 B C D1943121， ， ，由切比雪夫不等式有25.01)(XE45.0)(2XD3，即 | P94|P10 为 X 的样本， 是 的无偏估计，则 （ 321, 3216kXT)(EkB ）A B C D639421由 ，即 ，得 ， )(XET )()(61)(2XEkXE621k3二、填空题1设 ， ，则 _7.0)(AP3.0)(B)(ABP由 ，即 ，得 ，所以B7.4.0)(ABP6.041)()(2袋中有 5 个黑球，3 个白球，从中任取的 4 个球中恰有 3 个白球的概率为_14835C3在时间 内通过某交通路口的汽车数 X 服从泊松分布，且已知,0T，则在时间 内至少有
5、一辆汽车通过的概率为_3XP,0T由 ，即 ，得 ，所求概率为4ee!3!4121201XP4某地一年内发生旱灾的概率为 ，则在今后连续四年内至少有一年发生旱灾的概率3为_设 为今后连续四年内发生旱灾的年数，则 ，所求概率为XX31,4B816523101 404CP5设随机变量 的概率分布为),(YXYX 0 1 20 4681 12则 _YXP8314,10, YXP6设 的联合分布函数为 ，则 关于),(Y其 他,00,)(),(4yxeyxFyx ),(YXX 的边缘概率密度 _)(xfX， 0,1),()3xexFX )(xFfX0,3xe7设 X，Y 的期望和方差分别为 ， ， ，
6、5.0)(E5.)(Y75.0)(YDX，则 X，Y 的相关系数 _0)(EXY3175.0)()(DEXY8 是正态总体 的样本，则 _ （标明参数）n,21 )4,3(N21niiX因为 独立同分布于 ，所以 23iX)1,0(213nii )(n9设某个假设检验的拒绝域为 ，当原假设 成立时，样本 落入 的W0H),21nx W概率是 0.1，则犯第一类错误的概率为_1.010已知一元线性回归方程为 ，且 ， ，则 _xy136y1已知 ，由 ，即 ，得 30x10631三、计算题1100 张彩票中有 7 张有奖，现有甲先乙后各买了一张彩票，试用计算说明甲、乙两人中奖中概率是否相同解：设
7、 表示“甲中奖” ， 表示“乙中奖” ，则 ，AB107)(AP，936107)|()|()( APPB甲、乙两人中奖中概率相同2设随机变量 X 的概率密度为 ，试求 及 其 他,010,)(xxf )(XE)(D解：注意到 ， ，其 他,01|1)(xf 0|)()()(1dxdxfXE 61432)(2)(2|)()()( 010310122 xddfXE，61)()()2XED四、综合题1设袋中有依次标着 数字的 6 个球，现从中任取一球，记随机变量 X 为3,21,取得的球标有的数字，求：（1）X 的分布函数；（2） 的概率分布2XY解：（1）X 的分布律为X 11 2 3P 1/6
8、1/6 1/6 1/6 1/3X 的分布函数为 ；3,12/,1/,6120)(xxF（2） 的概率分布为2YY1 4 9P 1/3 1/3 1/32设随机变量 X，Y 相互独立，X ，Y ， ， )1,0(N)4,0(YXUV求：（1） ；（2） ， ；（3） )(XYE)(UD(V),cov(VU解：（1） ；0（2） ， ；541)()(UD 541)()(YDX（3），3)()()()()()( 22222 EEYEXYEV，0，)()()3,cov VEUVU五、应用题按照质量要求，某果汁中的维生素含量应该超过 50（单位：毫克） ，现随机抽取 9 件同型号的产品进行测量，得到结果如
9、下：45.1，47.6，52.2，46.9，49.4，50.3，44.6，47.5，48.4根据长期经验和质量要求，该产品维生素含量服从正态分布 ，在 下)5.1,(2N01.检验该产品维生素含量是否显著低于质量要求?（ ， ）3.01.u8.0.u解： : , : 选用统计量 0H510nx/0已知 ， ， ， ， ，算得0.09n1.32.1.u6.47x，xu .8.4/5.67/0拒绝 ，该产品维生素含量显著低于质量要求0H 概率论与数理统计 习题（二）一、单项选择题1设 A 与 B 互为对立事件，且 P（A）0，P（B）0，则下列各式中错误的是（ A ）A BP（B|A）=0 CP（
10、AB）=0 DP（AB）=10)|(P2设 A，B 为两个随机事件，且 P（AB）0 ，则 P（A|AB）=（ D ）AP（A） BP（AB） CP（A|B） D13设随机变量 X 在区间2，4上服从均匀分布，则 P20） ，x 1, x2, , xn 是来自该总体的样本，为样本均值，则 的矩估计 =（ B ）xA B C D2x2xx2二、填空题1设事件 A 与 B 互不相容，P（A）=0.2，P（B）=0.3，则 P（ ）= 0.5 .BA2一个盒子中有 6 颗黑棋子、9 颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不同色的概率为 18/35 .3甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲
11、、乙击中飞机的概率分别为0.4，0.5，则飞机至少被击中一炮的概率为 0.7 .420 件产品中，有 2 件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一件产品，则第二次取到的是正品的概率为 0.9 .5抛一枚均匀硬币 5 次，记正面向上的次数为 X，则 PX1= 31/32 .6随机变量 X 的所有可能取值为 0 和 x，且 PX=0=0.3，E（X ）=1，则 x= 10/7 .7设随机变量 X 服从参数为 3 的指数分布，则 D（2X+1）= 4/9 .8设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f (x, y)=,0;101其 他 yx则 PX = 0.5 .219设二维随机变量（X，Y）N（ 1
12、， 2； ； ） ，且 X 与 Y 相互独立，则21, = 0 .10设总体 XN（, 2）,x 1,x2,x3,x4 为来自总体 X 的体本，且服从自由度为 3 的 分布.24141)(,iii xx则 2三、计算题1设二维随机变量（X，Y）的分布律为YX 1 21 992 24试问：X 与 Y 是否相互独立？为什么？解：Y 1 2P 3因为对一切 i,j 有 , jiji YPXYX所以 X，Y 独立。2假设某校考生数学成绩服从正态分布，随机抽取 25 位考生的数学成绩，算得平均成绩 分，标准差 s=15 分.若在显著性水平 0.05 下是否可以认为全体考生的数学平均61x成绩为 70 分
13、？（附：t 0.025(24)=2.0639）X 1 2P 3解： 设 ， t(n-1),70ns/xn=25, 639.2)4()1(025.2tnt,0./76s/x拒绝该假设，不可以认为全体考生的数学平均成绩为 70 分。四、综合题1司机通过某高速路收费站等候的时间 X（单位：分钟）服从参数为 = 的指数分51布.（1）求某司机在此收费站等候时间超过 10 分钟的概率 p；（2）若该司机一个月要经过此收费站两次，用 Y 表示等候时间超过 10 分钟的次数，写出 Y 的分布律，并求 PY1.解： (1)f(x)=0,e51xPX10= 2101055edxex(2) PY1=1- =1-)
14、(P2 4222)()eC2设随机变量 X 的概率密度为.,0;22)(其 他xxf试求：（1）E（X） ，D（X） ；（2）D（2-3X） ；（3）P0X1.解： (1)E(X)= = dx=dxf)(04= = dx=2)(222D(X)= - =2- =)(E2X2(2)34(9（2）D(2-3x)=D(-3x)=9D(X)=9 =2(3)P0x1=101042)(dxxf五、应用题一台自动车床加工的零件长度 X（单位：cm）服从正态分布 N（, 2） ，从该车床加工的零件中随机抽取 4 个，测得样本方差 ，试求：总体方差 2 的置信度为152s95%的置信区间.（附： ）48.0)(,43.)(,216.0)3(,8.9)3( 2975.005.2975.0205. 解： =0.05, =0.025,n=4, = ,s置信区间： 216.053,48.9)3(1,)()1(,)(1 2975.0205.22 snnssn=0.0429，1.8519
