1、1全国高中数学联赛江苏赛区 2006 年初赛试题答案班级 姓名_一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）1已知数列 的通项公式 ，则 的最大项是na245nana_A、 B、 C、 D、1 34a解：分母先减后增，以 为最小值点，所以 最大，故选 2B2函数 的图像是3logxy_xy1Oxy1Oxy1Oxy1OA B C D解：变式： ，故选 3log,1 0xxyA3已知抛物线 ， 是坐标原点， 是焦点， 是抛物线上的点，使得 是直角三角2pOFPPOF形，则这样的点 共有P_A、0 个 B、2 个 C、4 个 D、6 个解：只须考虑直角的可能情形：由抛物线的光学性质：平行与抛物线
2、对称轴的光线射到抛物线上，反射后必经过抛物线的焦点；这样反射点的切线与法线垂直；因此，旋转可知： 不可能是直角；而 显然不OPFPOF可能是直角，所以只有 可能是直角；故选 B4设 是定义在 上单调减的奇函数若 ， ， ，则()fxR120x230x310x_A、 B、123()0ffx()()fffC、 D、f123解：由 ；121212 120()()()()0xffxffxffx同理可得： ， ；3()0fxf310三式相加可得： ；故选 12()xfB2PDCBA5过空间一定点 的直线中，与长方体 的 12 条棱所在直线都成等角的直线一共P1ABCD有 _A、0 条 B、1 条 C、4
3、 条 D、无数条解：由于 12 条棱是由三组棱构成，每组 4 条互相平行；而这三组恰可由过一顶点 的 3 条棱代表；过这个P顶点 的 3 条棱，两两互相垂直；又空间一点可以P通过平移，看成过这个顶点 的情形；考虑正方体如右图，绿色正方体是题目中的长方体，其余 7 个正方体是辅助的（因为正方体才会有等角） ；与中间3 条红棱成等角的直线共有 4 条，即过点 的大正方P体的 4 条体对角线；故选 C6在 中， ， ，若 的最长边为 1，则最短边的长为ABC1tan2310cosBABC_A、 B、 C、 D、455255解：构造适合的图形，取 ，点 在 上， ；AkDAB且有 ， ， ；2Dk3于
4、是 最长， 最短， ；而 ；ABC551k因此， ；故选 15二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分）7集合 ， ，则集合 的所有元素3,01AxnN5,06BymNAB之和为 _解： ；,3, 692, 18, 24, 7；5005053Bym； 1A利用容斥原理： 125ABAB8设 ，则 的值是2cos344cosin_解：变式 4422222211in(i)sincosincos83zyx34D1 C1B1A1DCBA9 的展开式中， 的系数为23()x5x_解：展开： ；230122232333()()()CCxx易知， 的系数是 52)710已知 ，则 的最大值是30yx2
5、xy_解： 的几何意义是可行域中的点 到原点的距离的平方；2y(,)x画图便知： 的最大值是 2xy911等比数列 的首项为 ，公比 设 表示这个数列的前 项的积，na120a12q()fnn则当 时， 有最大值_()fn解： ；(1)12(1) 212() 0nnnfaq易知：当 或 是 4 的倍数时 是正数，才可能是最大的；f考察： ，可知：取 ，适合；(1)12()20() 10()2nn nf 12n故当 时， 有最大值12n()fn12长方体 中，已知 ， ，则对角线 的取值范围是1ABCD14AB13DC_解：如图，设 ， ， ；xyz则由已知可得： ， ；2246z229于是 ；
6、21195Az而由图形可知： ；03z所以 ，即 2215(6, )C1(4, )AC三、解答题（本题满分 60 分，第 13 题、第 14 题各 12 分，第 15 题 16 分，第 16 题 20 分）13设集合 ， 若 ，求实数 的取值范围12log3Ax2aBxBa解： ， ；30xa当 时， ，由 ，得： ；0a0BA03a当 时， ，由 ，得： ；3xB14ID E CBA当 时， ，与 不符0a20BxAB综上所述， 1,314椭圆 的右焦点为 ， 为 24 个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中294xyF124,P 1P是椭圆的右顶点，并且 若这 24 个点到右准线的距离123
7、241FP的倒数和为 ，求 的值S2解：在椭圆中， ， ，故 ；所以 ， ；3ab5c(5, 0)53e设 与 轴正方向的夹角为 ， 为点 到右准线的距离；iFPx1idiP则 即 ；2cos1iidec2cos1iieb同理： ；12221si iieb 所以： ；从而 ，于是， 215iicd4165id2180S15 中， ， 、 分别是 边上的高和中线，且 ；ABCADEBCBDEC证明 是直角证明：如图，取 中点 ，连 ；II、则 为中位线，所以 ，且 ；IE/AE而 ，BADC所以 I在直角 中， 为斜边中点，I所以 ，I从而 BADI联合、得 四点共圆；E、 、 、 ， ，即 I
8、C90B90AC16设 是质数，且 的不同正因数的个数不超过 10 个求 p271p p解：当 时， ，有 个正因数；253(1)6当 时， ，有 个正因数；324800所以 、 满足条件；p当 时， ；271()172p5其中 为奇质数，所以 与 是相邻的两个偶数，p(1)p()从而必然有一个 2 的倍数和 4 个倍数，还必然有一个 3 的倍数，从而 是 24 的倍数；(1)设 ，其中 ；2374pmm若 中有不同于 2、3 的质因数，则 的正因数个数 ；271p3110若 中含有质因数 3，则 的正因数个数 ；220若 中仅有质因数 2，则 的正因数个数 ；5所以 不满足条件；p综上所述，所求得的质数 是 2 或 3p
