1、共 13 页 第 1 页2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷三题 号 一 二 总 成 绩13 14 15 16得 分评 卷 人复 核 人考生注意：1.本试卷共三大题（16 小题） ，全卷满分 150 分. 考试时间：120 分钟. 2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.3.解题书写不要超出装订线.4.不能使用计算器.一、选择题（本题满分 36分，每小题 6分）得 分 评卷人 本题共有 6 小题，每题均给出 A、B、C、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的. 请将正确答案的代表字母填在题的括号内. 每小题选对得 6 分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内） ，一律得 0 分.1
2、. 已知函数 ，则 答： 2sinyx（A）有最小正周期 （B）有最小正周期（C）有最小正周期 （D）无最小周期2. 关于 的不等式 任意两个解的差不超过 ，则 的最大值与最小值x220ax9a的和是 答： （A） （B） （C） （D ） 113. 已知向量 a、b，设 a b， a b， a b，则一定共线的A25B67C2三点是 答： （A） 、 、 （B） 、 、DA（C） 、 、 （D） 、 、4. 设 、 、 为平面， 、 为直线，则 的一个充分条件是 答： mn（A） ， ， （B ） ， ，m共 13 页 第 2 页O（C） ， ， （D ） ， ，mnm5. 若 、 ，其中
3、， ，并且m2100nxaa1234567i， ， ， ， ， ， 012i， ，则实数对 表示平面上不同点的个数为 答： 63(,)n（A） 个 （B） 个 （C） 个 （D） 个 0796. 已知 （ R） ，()12071207fxxxxx x且 则 a 的值有 答： 2(3)(),faf（A） 个 （B） 个 （C） 个 （D）无数个4二、填空题（本题满分 54分，每小题 9分）得 分 评卷人本题共有 6 小题，要求直接将答案写在横线上. 7. 设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则公差为 .nSna510S58. 设 且 的图象经过点 ，它的反函数的图象经过点()log()fxb0
4、)(2)，则 等于 . 2，9. 已知函数 的图象如图，则满足 的()yfx221()(lg60)xffx的取值范围为 . x10. 圆锥曲线 的离心率是 .261030xyxy11. 在 中，已知 ， ， ，则 的面积为ABCtan3B2sinC6AABC.1 xy共 13 页 第 3 页12. 设命题 : ，命题 : 对任何 R，都有 . 命题 与 中P2aQx2410xaPQ有且仅有一个成立，则实数 的取值范围是 .a三、解答题（本题满分 60 分，共 4 小题，每题各 15 分）得 分 评卷人13. 设不等式组 表示的平面区域0xy，为 . 区域 内的动点 到直线DP0xy和直线 的距
5、离之积为 . 记点 的轨迹为曲线 . 过点 的直线 与0xy2PC(2)F， l曲线 交于 、 两点. 若以线段 为直径的圆与 轴相切，求直线 的斜率. CABAByl14. 如图，斜三棱柱 中，面 是菱形， ，侧面1ABC1AC160AC， . 11求证：（1） ；1（2）求点 到平面 的距离. ABCB1B A1C1AC共 13 页 第 4 页15. 已知数列 中， ， ， . 求 .na13na2na207a共 13 页 第 5 页16. 已知平面上 个圆，任意两个都相交. 是否存在直线 ，与每个圆都有公共点？证明10l你的结论.共 13 页 第 6 页2007年江苏省高中数学联赛初赛试
6、题参考答案及评分标准一、选择题（本题满分 36分，每小题 6分）1已知函数 ，则（ B ）. 2sinyx（A） 有最小正周期为 （B） 有最小正周期为（C） 有最小正周期为 （D） 无最小正周期2解： ，则最小正周期 . 故选（B） )cos1(sin2xxyT2关于 的不等式 任意两个解的差不超过 9，则 的最大值与最小值02aa的和是（ C ）. （A） 2 （B） 1 （C） 0 （D） 1解：方程 的两根是 ， ，则由关于 的不等式02ax14xa25x共 13 页 第 7 页任意两个解的差不超过 ，得 ，即220xa99|21ax. 故选（C） 13. 已知向量 a、b，设 a b
7、， a b， a b，则一定共线AB25C67D的三点是（ A ）. （A）A、B 、D （B）A、B、C （C ）B、C、D （D）A、C、D解： a b ，所以 A、B、D 三点共线. 故选（A ） 44设 、 、 为平面， 、 为直线，则 的一个充分条件是（ D ）.mn（A） ， ， （B ） ， ，m（C） ， ， （D ） ， ，n解：（A）选项缺少条件 ；（B）选项当 ， 时， ；（C）选m/项当、 、 两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角） ， 时， m；m（D）选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行本选项为真命题. 故选（D ） 5. 若 、 ，其中 ， ，并且210
8、0nxaa1234567i， ， ， ， ， ， 012i， ，则实数对 表示平面上不同点的个数为（ C ） 63(,)mn（A） 个 （B） 个 （C） 个 （D） 个079解：由 及题设知，个位数字的选择有 5 种. 因为 51423 321，故76（1） 由 知，首位数字的可能选择有 种；3210（2） 由 及 知，首位数字的可能选择有 种. 051348于是，符合题设的不同点的个数为 种. 故选（C） (08)96已知 （ R） ，()1271207fxxxxx x且 则 a 的值有（ D ）. 2(3)(),faf（A）2 个 （B）3 个 （C）4 个 （D）无数个解：由题设知 为
9、偶函数，则考虑在 时，恒有()fx1x共 13 页 第 8 页O()213207)8207fx所以当 ，且 时，恒有 213aa(3)(1)fafa由于不等式 的解集为 ，不等式21352的解集为 因此当 时，恒有1a0aa. 故选（D ） 2(3)()ff二、填空题（本题满分 54分，每小题 9分）7设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则公差为 .nSna105S51d解：设等差数列 的首项为 ，公差为 . 1d由题设得 即 解之得 .， 54105da， 1921a1d8. 设 且 的图象经过点 ，它的反函数的图象经过点()log()fxb0)(2)，则 等于 .2，解：由题设知 化简得
10、 l(2)1og8ab， 2()8.ba，解之得 （舍去）. 13b，； 24，故 等于 4.a9已知函数 的图象如图，则满足 的()yfx221()(lg60)xffx的取值范围为 x21)，解： 因为 ，所以2 2lg60lg(3)1lgxx1 xy（第 9 题）共 13 页 第 9 页. 于是，由图象可知， ，即 ，解得2lg60x21x201x. 故 x 的取值范围为 1)x，10圆锥曲线 的离心率是 0|3|10262 yy 2解：原式变形为 ，即 |)()3(2xx 2(3)(1)xy所以动点 到定点 的距离与它到直线 的距离2|yx,y(31)， 0之比为 故此动点轨迹为双曲线，
11、离心率为 211在 中，已知 ， ， ，则 的面积为ABC3tanB3sinC6AABC8362S解：在 中，由 得 由正弦定理得 tan60sin8因为 ，所以角 可取锐角或钝角，从而 603arcsi C31cosC故2ini()sincosin36ABBi83622CSA12. 设命题 : ，命题 : 对任何 R，都有 . 命题 与 中有PaQx2410xaPQ且仅有一个成立，则实数 的取值范围是 或 .a1解：由 得 由 对于任何 R 成立，得210042xx，即 因为命题 、 有且仅有一个成立，故实数416aPQ的取值范围是 或 2a12a三、解答题（本题满分 60分，每小题 15分
12、）13. 设不等式组 表示的平面区域为 . 区域 内的动点 到直线0xy， DP0xy共 13 页 第 10 页和直线 的距离之积为 . 记点 的轨迹为曲线 . 过点 的直线0xy2PC(20)F，与曲线 交于 、 两点. 若以线段 为直径的圆与 轴相切，求直线 的斜率. lCABAByl解：由题意可知，平面区域 如图阴影所示D设动点为 ，则 ，即 (,)Pxy2xy由 知24，xy 0，即 x2 y200所以 y2x 24(y 0)，即曲线 的方程为C 1(y0)5 分y24 x24设 ， ，则以线段 为直径的圆的圆心为 . 1(,)A2(,)BAB1212()xyQ，因为以线段 为直径的圆
13、 与 轴相切，所以半径 ，即Ly2rAB 10 分12x因为直线 AB 过点 F(2 ，0)，2当 AB x 轴时，不合题意所以设直线 AB 的方程为 yk (x2 )2代入双曲线方程 1(y0) 得，y24 x24k2(x2 )2x 24，即(k 21)x 24 k2x(8k 24) 02 2因为直线与双曲线交于 A，B 两点，所以 k1所以 x1x 2 ，x 1x2 8k2 4k2 1所以|AB| (x1 x2)2 (y1 y2)2 (1 k2)(x1 x2)2 4x1x2 |x 1x 2| |，化简得：k 42k 210，解得 k2 1 （k 2 1 不合题意，舍去） 2 2由(4 k2
14、)24(k 21) (8 k24) 3k 210，2又由于 y0，所以1k 所以 k 15 分解：由题意可知，平面区域 D 如图阴影所示xyO共 13 页 第 11 页设动点 P(x，y) ，则 2，即|x 2y 2|4由 PD 知：xy0，xy0，即 x2y 20所以 y2x 24(y 0)即曲线 C 的方程为 1(y0)5 分y24 x24设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则以线段 AB 为直径的圆的圆心为 Q( ， )x1 x22 y1 y22因为以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切，半径 r |AB| |12 x1 x22即|AB| |x 1x 2| 10 分因为直线 A
15、B 过点 F(2 ，0)，2当 AB x 轴时，不合题意所以设直线 AB 的方程为 yk (x2 )2代入双曲线方程 1(y0) 得，y24 x24k2(x2 )2x 24，即(k 21)x 24 k2x(8k 24) 02 2因为直线与双曲线交于 A，B 两点，所以 k1所以 x1x 2 ，x 1x2 8k2 4k2 1所以|AB| (x1 x2)2 (y1 y2)2 (1 k2)(x1 x2)2 4x1x2 |x 1x 2| |，化简得：k 42k 210，解得 k2 1 （k 2 1 不合题意，舍去） 2 2由(4 k2)24(k 21) (8 k24) 3k 210，2又由于 y0，所
16、以1k 所以 k 15 分14. 如图，斜三棱柱 中，面 是菱形， ，侧面1ABC1AC160AC， .11求证：（1） ；1（2）求点 到平面 的距离. ABCB1B A1C1ACxyO共 13 页 第 12 页B CAE证：（1）设 中点为 ，连 、 . 1ADC因为 ，所以 因为面B1，所以 面 CA11 A1又 为正三角形， ，所以 . 从而11ADC 6 分1AB（2） 由（1） ，有 ， ， 面 设 到面 的1D1B1B1C距离为 ，则h. 113ABCABCDSV因为，11CDBCBS所以 1ABSh又 ，且1.432211 DCSDB设 的高为 ，则ACE，2512212 B，
17、8354.12ABCS于是有 ，即 到平面 的距离为 15 分513h1 515已知数列 中， ， ， . 求 .na13na2na207a解：由题设， ，则2. 5分20750313（第 14 题）共 13 页 第 13 页由 ，得 ，则2na2na. 10分3 231()na于是 2076205091321，87a所以 a2007=2007 易知数列 ， ， ， 符合本题要求 15 分12 na注意：猜得答案 或 ，给 2 分an20716已知平面上 个圆，任意两个都相交是否存在直线 ，与每个圆都有公共点？证0l明你的结论解：存在直线 ，与每个圆都有公共点l证明如下：如图，先作直线 ，设第 个圆在直线 上的正0li0l投影是线段 ，其中 、 分别是线段的左右iABii端点个圆有 个投影线段，有 个左端点，有1010个右端点 5分因为任意两个圆都相交，所以任意两条投影线段都有重叠的部分，设 是最右边的左kA端点，则所有右端点都在 的右边，否则必有两条投影线段无重叠部分，与对应的两个kA圆相交矛盾 10分再设 是最左边的右端点，同理所有左端点都在 的左边. 与 不重合，线段mBmBkAmB是任意一条投影线段的一部分，过线段 上某一点作直线 的垂线 ，则 与kAkA0ll10个圆都相交 15分A1 Ak10A2 B1B2Bm
