1、2016 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛12016 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛考试时间：2016 年 5 月 8 日（星期日） 上午 8001000试题构成：类别 题号 章节 知识点 适用阶段 难度1 不等式 解不等式 高一 易2 概率与计数原理 计数原理 高二 易3 函数 估值，周期 高一 易4 导数 导函数，基本不等式 高二 易5 解析几何 圆，直线 高二 易6 平面向量 线性关系 高一 易7 立体几何 共面问题 高一 中8 数列 零点存在性定理 高一 难9 不等式 基本不等式，数的收拢 高二 中填空题10 初等数论 整除问题 竞赛 难11 三角函数 基本运算 高一 易12 平面几何
2、几何证明 竞赛 易13 解析几何 双曲线的离心率 高二 中解答题14 初等数论 三角等式，数的轮换 竞赛 难解题建议：放弃 10，12，142适当放弃 7，8试题正文与答案：一、填空题（每小题 7 分，共 70 分）1若关于 的不等式 的解集为 ，则 的值是 xab24xab解析 由题设 ，不等式 等价于 ，0bxx从而 ，解得 ，所以 故填 24a31ab3ab2从 中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率是 1,35,6789解析 取出两数之和为偶数（两数均为奇数或均为偶数）的概率为 故填 2549C93已知 是周期为 的奇函数，且当 时， ，则 的fx40,2x2160fx210
3、f值是 解析 注意到 ，即 ，所以 ，360961782,所以 故填 218ff2036f评注 因为 或 24fx1xf或2821081036f学会观察，选用合适的方法进行计80算4已知直线 是函数 图象的切线，当 的斜率最小时， 的方程是 l2lnfxxll解析 由题意从而 ，当且仅当 时等号成立24fx1x2016 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛3所以直线 的斜率最小值为 ，此时切点为 ，切线方程为 故填l41,430xy430xy5在平面直角坐标系 中，如果直线 将圆 平分，且不经过第四象限，xOyl2xy那么 的斜率的取值范围是 l解析 圆的标准方程为 ，2215xy由题设直线 过点
4、，其方程为 ，即 ，l, 1kx2ykx注意到 不经过第四象限，则 ，解得 故填 l 02k0,6已知等边 的边长为 ，若 ， ，则 的面积ABC 13APBC12AQPBCAPQ是 解析 由 得点 是等边三角形 的中心，所以 ，13P 3又由 得 ，且 ，因此 的面积为 故填 2AQBC12PQAPQAP 3AB CPQJC2016T06D评注 若找不到方向，此题也可以建系考查7已知正方体 的棱长为 ，点 在棱 上，点 为棱 的中点若过点1ABCD1PBCQ1的平面截该正方体所得的截面为五边形，则 的取值范围为 ,PQ解析 先作出基本图形如下图左所示，假设能构成五边形，我们需要通过延长和连线
5、的作图方法法得到相应的交点，4如下图右所示，连接 与 的延长线交于点 ，连接 并延长与 交于 ，APCDWQ1CDR则 是所截五边形的第三个顶点R（注：作图方法不唯一） PQABCDA1 B1C1D1 D1 C1B1A1DCBA QPRWJC2016T07D通过同样的方法，可以作出其余的点，如下图所示， 1-ttt WRPQABCDA1 B1C1D1XSJC2016T07D若存在这样的五边形，则每个顶点都存在，设 ，通过相似可以得 ，BPt1tRCW从而只需 ，解得 故填 01t2t1,2评注 如下图所示，由于是正方体，也可采用极端思想，需要几何动态的观点2016 年全国高中数学联赛江苏赛区初
6、赛5X()D1 C1B1A1DCBA QPWJC2016T07D当点为 中点时，有 ，即 时，截面为四边形 ；BC1PQD 2P1APQD当 移向 时， 远离 ， 点向 点靠拢，此时可形成五边形，PWX即当 时，截面为四边形；当 时，截面为五边形102B12BP因此 的取值范围为 故填 P,8已知数列 的奇数项依次构成公差为 的等差数列，偶数项依次构成公差为 的等差数列，na1d2d且对任意 ，都有 若 ， ，且数列 的前 项和 ，则*N1naa2na101075S8解析 分析知 ，即 ，102125075Sd126d从此点无法解决根本，按照题目的设想，可求出 ,首先，可以得到该数列的奇偶项表
7、达式（分段通项） ，设 ，则 ， ，*nN211nad221nad其次，因为对任意 ，都有 ，*即只需满足 （或 ） ，2121nna212nna因此 对 恒成立，ddd*N分析左边，若需 ，则必须满足 ；12n1206分析右边，若需 ，即 ，121nd12125ndd则必须满足 120因此分析得 d最后， ， 故填 123821ad评注 若不然，若 ，则令 ，解得 ，120d12nd12nd若令 ，则有 与题意矛盾012n012的理由同类似事实上，在解决问题“不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围 ”的时候，210axxRa就没将问题讲清楚，而是直接根据主观论断，否定 的情形，本质上否定就是
8、寻找一个 ，使a0x得 ，这跟函数的零点以及单调性有关201ax当 时， 恒成立，符合题意；0当 时，只许满足 ，从而 ；a240a4a当 时，易知 ，0易知方程 的两根为 ， ，210ax214ax224ax又 对称轴 ，所以在 上单调递增，2f 21,又 ， ，所以 ，12x10fx01x使 ，与题意矛盾001faf综上所述：实数 的取值范围是 0,42016 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛7这种思想与高考卷或模拟卷中找寻零点个数或极值点（变号零点）个数的思想是一致的9已知正实数 满足 ，则 ,xy2216yxxy分析 若不是以整体 的形式求出，则必定分别求出，这类问题涉及到对代数式变形,
9、解析 解法一：将题设条件式通分并整理，得 ，22160xyxy整理得 ，因此 ，所以 故填 22280xyy4解法二：因为为 正实数，所以 ，, 22816xyxy216xy等号成立的条件为 ，所以 故填 2xy4y解法三：因为 ，2216x所以 ，即 ，所以 故填 2816xyy240y4xy解法四：由 22yx2yxyx，等号成立的条件是 ，124426xy 2所以 故填 评注 常见的不等式链“调和平均数 几何平均数 算术平均数 幂平均数 ”，nHnGnAnQ简记为调几算幂，设 是 个正实数，12,na则 221211212 nnnnaaaaa10设 表示满足下列条件的正整数 的和： 整除
10、 ，且 整除 ，那么 的所有不M2062M8同正因子的个数为 解析 因为 ， ，2016n2n所以 与 的素因子相同，而 ，故可设 52016375237n这样我们由题设条件可得 ，且 ，从而有 ，42xyz1xyz1042xyz故 341034227M381056，335179251所以， 的所有不同正因子的个数为 23评注 算术基本定理：若不计素因数的次序，则每一个大于 的整数 都可以唯一分解成素因数乘1n积的形式，即 ，其中 均为素数， 为自然数12knp 12,kp 12,k有结论如下：（1） 的约数个数为 ；n12kfn（2） 的所有约数之和为；1 222 21 1kkppppp （
11、3）欧拉（Euler）函数 表示不大于 且与 互质的数的个数为nn121kpp二、解答题（本大题共 4 小题，每小题 20 分，共 80 分）11已知 ， ，求 135sinco120,tan解析 解法一：由题设知 ，sinco35sico2016 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛9令 ，则 ，且 ，则 ，sincot1,221sincot2135tt即 ，解得 或 （舍） ，23540t75tt即有 ， sinco12sinco所以 ， 或 ， ，从而 或 4i53i54s4tan3解法二：由题设可得221sinco21sicosicos22222isincosicss，222 11tatan
12、tn211tantantt注意到 ，解得 （舍负） ，进一步解得 或 05tt24312如图，点 在 的边 上，且 ，过点 的直线 与 的外接圆交PABC 4ABPMNABC于点 ，且点 是弧 的中点 求证：,MNN（1） ； （2） 2BAB CPMNJC2016T10解析 （1）因为点 是弧 的中点，所以 ，AMNANM10又 ，所以 ，AMNBANP又因为 ，所以 PB （2）由（1）知， ，又 ，A4A所以 ，从而 ，即 ，NP2BNNP同理 所以 2BMM13在平面直角坐标系 中，双曲线 的右焦点为 ，过点 的直线 与双曲线xOy2:1xyCabFl交于 两点 若 ，求双曲线 的离心
13、率 C,AFAB e解析 解法一（参数方程法）：因为双曲线 的右焦点 的坐标为 ，设直线 l 的倾斜角为 ，,0c则直线 的方程即为 （ 为参数） lcosinxtyt代入双曲线方程，并整理得 ，2224scos0atbt则有 ， ，4122cosbta2221csat 2cosba因为 ，则有 ，OFAB2422cososabba从而 ，即 ，因为 ，故 2acb10e1e解法二（普通计算法）：当 斜率不存在时，由 得 ，ABOFAB22bca故 ，因为 ，故 22acba1e2当 斜率存在时，设斜率为 ，记 ， ，ABk1,Axy2,Bxy2016 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛11则由
14、，得 ，OFAB22211ckxkcxkcx即 212121cxk，消 整理得 ，22ykbaby222220bakxckab故 2224cakc2244abkb 2424ab且 ，由 ，2122ckaxb 212121xkcx得 ，442222221kackbackabcba整理得 ，2224kckab从而 ，因为 ，故 22ab1e14已知凸九边形的任意 个内角的正弦与其余 个内角的余弦之和都等于某个常数值 若九个54内角中有一个角等于 ，试求常数 的值10解析 九个内角中任选 个，记为 ，其余 个记为 ，12345,xx1234,y由题意 ，12sinisinisincoscosx y且 ，3451234yxxy所以 ，即 ，1111sincosincoxy11sincosinco所以 ，2i452i45即 或 ，即有 或 1yx1180x1yx11270x12设 ，由内角的任意可交换性可知，九个角的度数只有两种： 和 120y 1205设有 个 ， 个 ，则由内角和公式知 ，k9k15012099180kk解得 所以 3 3sincos3s
