1、12017 年全国高中联合竞赛（四川初赛）试题一、单项选择题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）1.已知函数 在 处有极值，则实数 的值是 （ A 2()lnfxa1xa）A. B. C.1 D.222.已知 是方程 的两个根，则 的值是（ B 0,(,)t,230xcos()）A. B. C. D.13 5523.在 的展开式中，所有形如 的项的系数之和是 （ C 8()xyz2(,)abxyzN）A.112 B.448 C.1792 D.143364.已知 为椭圆 的左、右焦点，该椭圆上存在两点 ，使得12,F210()xyab,AB，则该椭圆的离心率的取值范围是 （ C
2、 3AB）A. B. C. D.02(,)03(,)12(,)13(,)5.已知 中， ，则 的最大值是 （ B CCAB|ABC）A. B. C. D.132353526.已知数列 满足： ，用 表示不超过实数 的最大整数，na1()()()nnn Nxx则 的个位数字是 （ A ）2017A.2 B.4 C.6 D.8二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）7.已知函数 ，则 _。25()xf20167()kf答案：1008。8.设 ，复数 ，其中 是虚数单位。若 呈aR1234,zaiizaii123|,|z等比数列，则实数 的值是_。答案：0。9.若 是双曲线
3、上的点，则 的最小值是_。(,)Pxy2184xy|xy答案：2。10.设正方体 的棱长为 1， 为过直线 的平面，则 截该正方体的截面面1ABCD1BD积的取值范围是_。答案： 。62,211.已知实数 满足： ，则 的最大值是123,x2213123xx2|x_。答案：2。12.设集合 ， ，则4567890,M 339(,)|,|()AyzMyz且集合 中的元素的个数是_。A答案：243。三、解答题（本大题共 4 个小题，每小题 20 分，共 80 分）13.已知数列 满足： 。na11*,()naN（1）若 ，求证：数列 成等比数列，并求出数列 的通项公式；324n na（2）若对任意
4、的正整数 ，都有 ，求实数 的取值范围。3a314.1993 年，美国数学家 F.Smarandache 提出许多数论问题，引起国内外相关学者的关注，其中之一便是著名的 Smarandache 函数，正整数 的 Smarandache 函数定义为n，比如 。*()min|,|!SN2363(),(),()SS（1）求 和 的值；6201()S（2）若 ，求正整数 的最大值；7)n（3）证明：存在无穷多个合数 ，使得 ，其中 为 的最大质因数。()Spn15.如图，点 与点 在 轴上，且关于 轴对称，过点 垂直于 轴的直线与抛物线AxyAx交于 ，点 为线段 上的动点，点 在线段 上，满足 。2yx,BCDABEC|EADB（1）求证：直线 与此抛物线有且只有一个公共点；E（2）设直线 与此抛物线的公共点为 ，记 与F4的面积分别为 ，求 的值。ADE12,S116.设 为实数，若对任意的实数 ，有 恒成立，,xyz 22()()axyzMxyz其中 ，求 的最大值和 的最小值。222( )cyMx5
