1、 第四章 谓词逻辑及演算4.1 谓词与个体4.2 量词4.3 函词（函数）4.4 自由变元与约束变元习题及参考答案袍腮赖己索臼抄较扳扮掏奴卫氛拜滑矽晕景睁肇戌僧伞兵锡托唯逞定辩海第四章谓词逻辑及演算第四章谓词逻辑及演算Date 1 4.1 谓词与个体我们知道，命题演算的基本研究单位是 原子命题 ，在命题演算中，原子命题是不能再分割的了。这对研究命题间的关系是比较合适的。但是，在进一步研究时就会发现，仅仅命题演算对我们是很不够的并且也不充分，比如：三段论在命题演算系统中是无法完成的。例如 ： 所有的科学是有用的。数理逻辑是科学。所以，数理逻辑是有用的。又 例如 ：凡人必死。张三是人故张三必死。煞
2、谁癸碉惟鞋赎密吮抹蛹抗奉匡醉映介撑滦铣削杠塑谰庇框贡德胰涨两仰第四章谓词逻辑及演算第四章谓词逻辑及演算Date 2上述两个例子的主要原因就是在于这种推理中 需要对原子命题作进一步分解 ，在上述两个例子中，每个例子三个命题间，具有必然的内在逻辑关系，只有对这种内存逻辑联系深入研究后，才能解决形式逻辑中的一些推理问题。谓词演算正是为了这样的目的， 换言之也就是对原子命题进行进一步的分解。在谓词演算中，将原子命题分解为谓词与个体两部分，在上例中， “数理逻辑是科学 ”即 主语 “数理逻辑 ”与谓语 “是科学 ”， “张三是人 ”中的 “张三 ”是主语， “是人 ” 为谓语 。换言之在数理逻辑中将主语
3、称为个体，将谓语称为谓词。所谓个体既是可以独立存在的物体。它可以是抽象的，也可以是具体的，如：鲜花代表团，自行车，自然数，唯物主义等等都是个体。谓词是用来刻划个体的性质或关系。如“3整除 6”这里 3与 6是个体，关系 “整除 ”是谓词。一个谓词可以与某个个体相联，此种谓词称为一元谓词。上例中张三， 3， 6等也可以是抽象的，比如 x， y。由个体组成的集合称为个体域（或论述域），以某个个体域 I为变域的变元叫做个体变元。岗硝拴侗坷畸茬圃括刑垄职社钮颇臀尘括倚声径迈颖华哑琢哪脸售壶片娶第四章谓词逻辑及演算第四章谓词逻辑及演算Date 3一个单独的谓词是没有含义的，如： “ 是大学生 “ ，这个
4、谓词必须跟随一定数量的个体后才有明确的含义，最重要的是能分别其 真假 。个体谓词中的 次序 有时也是很重要的，如 “ 上海位于南京与杭州之间 ” ，此命题为真，其中 “ 上海 ” 、 “ 南京 ” 、 “ 杭州 ” 三个个体间次序不能随便颠倒 ，如果写成 “ 杭州位于南京和上海之间 ” ，则此时命为 假 。所以，由谓词以及跟随它的若干个有一定次序的个体便可构成一个完整的命题。下面我们一般用大写拉丁字母 A， BE 表示谓词，用小写拉丁字母 a， b， cz 表示个体（或叫个体变元），这样 x， y间具有关系 B可记作 B（ x， y）， x， y， z具有关系 C，记作 C（x， y， z），
5、上述是二元谓词和三元谓词，当然也可以表示为n元谓词就是有 n个个体变元的谓词，并约定 0元谓词是命题。并记为 P， Q， R。n元谓词当然需要赋于 n个个体变元才有意义，我们把谓词后填以 个体称为谓词填式 。有了谓词的概念后我们可以将一些日常用语及命题更深刻地刻划出来，下面我们以几个例子说明： 庆予轿琐埋撤脓凰率钒颗走叶练光扛忍绩谎蚊栓暂淮守巾芦运瘸斜营蔡淑第四章谓词逻辑及演算第四章谓词逻辑及演算Date 4例 1：王强是大学生李华也是大学生。解： F表示大学生， F（ x）表示 x是大学生。a表示 “ 王强 ” ， b表示 “ 李华 ” ，则此式可表示为：F（ a） F （ b） 例 2：我
6、国 领导 人 访问 美国 。解： F（ x， y）表示 x访问 y， a表示我国 领导 人， b表示美国， 则此式可表示 为 ：F（ a， b）吗权未耳曙陆吕肋起尤购及勋含蛇挤蜡肥侵循恃漏捉臀蔚糯聘牟乃馆栅件第四章谓词逻辑及演算第四章谓词逻辑及演算Date 5例 3：这座大楼建成了。解 ： F（ x）表示 “x 建成了 ” ， G（ x）表示 “x 是大的 ” ， H（ x）表示 “x 是大楼 ” ， 则此式可表示为：F（ a） G （ a） H （ a） 例 4： 这 个人正在看那本 红 皮面的 书 。解： F（ x， y）表示 “x正在看 y”， G（ x）表 示 “x是人 ”， H（ y
7、）表示 “y是 红 皮面的 ”， U （ y）表示 “y是 书 ”， a表示 “这 个 ”， b表示 “那 本 ”， 则 此式可表示 为 ：F（ a， b） G （ a） H（ b） U（ b） 亩跃饵楚拌武卸费筷救氮石绳袁汲粉杆歧廊缄涤胳渺炯哄喊术胰歧税产薯第四章谓词逻辑及演算第四章谓词逻辑及演算Date 6一般地讲，对日常的语句，我们可给出一个大体的准则，根据这些准则可写出其逻辑表达式来。名词：专用名词（如王强，美国等）为个体用名词（如楼房，人等）一般可为谓词代名词：人称代词（如：你，我，他），指示代词（如这个，那个）为个体。不定代词（如任何，每个，有些，一些等）为量词。形容词：一般为谓词
8、数词： 一般为量词动词： 一般为谓词副词： 与所修饰的动词合并为一谓词，不在分解。前置词：与其它有关字合并为一，本身不独立表示。连接词：一般为命题联结词。以上准则只供参考，在具体应用时常常也有许多例外。 骗哪噬贷仑回域曙绍邑眨纸钳愤桶捅移孤箕绅杉台然赔仇徘川以反闲股辜第四章谓词逻辑及演算第四章谓词逻辑及演算Date 7 4.2 量词在数学上或日常生活中经常碰到 “ 对一切 ” 、 “ 所有的” 、 “ 存在一个 ” 、 “ 至少有一个 “ 等的概念。我们以上学过的方法与技巧是无法表达清楚的，一个谓词演算中的表达不一定是确定的，个体域中不同而个体代入后可得到不同的真假值。如我们考察下面两个式子（
9、它们均以整数作为其个体域）：（ 1）（ X+1） 2=X2+2X+1（ 2） X+6=5对于（ 1）我们发现任何整数代入后等式总是正确，但是对（ 2）分析则不然，它只存在一个整数即（ -1）代入后使得等式成立。又如： “q 或者大于 0，或者等于 0，或者小于 0” ，当然该句可写成： q 0q=0q0a=0a（ x， 0）， =（ x， 0）， （ x， 0） =（ x， 0） y） 。该式中的约束变元 x不能改名 y（ y是作用域中的约束变元），但可改名为 z（ z也是作用域中的约束变元），因为该公式x （ x20 y （ x= y z（ zy） 的意思是 “ 对于任何个体，其平方必 0
10、，并且对于任何新个体，原个体都于新个体相等，并且存在一个个体，它大于该新个体 ” 。而改名为 y后的结果式为： y（ y20 y （ y=y z（ zy)涣巩因乖竞十裙铀咏脂读封人躲确烂穆铰疏硷陨沿沼侣户凉溅苞对牌逃窄第四章谓词逻辑及演算第四章谓词逻辑及演算Date 27其意思是 “ 对于任何个体，其平方必 0 ，并且对于任何新个体，新个体必与自己相等并且存在一个个体，它大于该新个体 ” ， 显然它们的意思不相同 ，从约束关系看，结果式的约束关系显然与原来的约束关系不相同，但是： z（ z20 y （z=y z（ z=y） 意思与原式相同 ，从约束关系看，结果式的约束关系与原式一样。例如 ：上
11、面这个例子中，如果将原式的约束变元 y改名为其它变元，如改名为 t，再将约束变元 x改名为 y结果式为：y（ y20 t （ y=t x（ z t） 显然与原来 的约束关系完全相同 ，所以说这是正确的改名。 是否不改 变 原 约 束关系的改名都是正确的改名呢？确 实 如此。壹晒杂檄赚告呢围阻烙挟八狡番棍的勉洼映凌唤旱鸦磷纤况灯戒翰匝睫缨第四章谓词逻辑及演算第四章谓词逻辑及演算Date 28总之改名规则用更加简单的途述为：（ 1）改名时需要更改的变元符号范围是量词中的变元以及该量词辖域中此变元所有约束出现处，而在公式之其余部分不变。（ 2）改名时所更改的符号一定不能出现在量词的辖域内。 钻轨椰鹅据剐翼圈舟疥牡供竣俱圾儡来福避踢毁葡俄烟球其将脐钳里翁娜第四章谓词逻辑及演算第四章谓词逻辑及演算Date 29接下来我们在讨论代入问题。第一 . 代入是对自由变元而言 ，也就是说对自由变元可施行代入。第二 . 特别注意代入是有条件的，不能盲目代入，不则将发生错误。 岗尺亲翱赞镊淑照饿辞俱冀适留隔皂箔河瘫摇逊羞溶达格署将惭检隘惮储第四章谓词逻辑及演算第四章谓词逻辑及演算Date 30
