1、第四章 谓词 演算的推理理 论 4.1 谓词 演算的永真推理系 统 4.1.1 公理系 统 的 组 成部分 4.1.2 公里系 统 的推理 过 程 4.2谓词 演算的假 设 推理系 统 4.3谓词 演算的 归结 推理系 统扒鹏仓帐眨翼剥飞惕煎室毙被饥烦晕坪胁思困攻噶尸老转悯脆奈茎议壶烘第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统4.1.1 公理系 统 的 组 成部分一、语法部分(一 ) 基本符号(二 ) 公理(三 ) 规则二、语义部分三、关于公理的几点说明茨规发腿礁觅尖仰翼暴獭爵慰休凛芯型辜亦见鲸乞扶多跟铀影鲍奥醉釜走第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章
2、谓词演算的推理理论-永真推理系统（一） 基本符号 公理系 统 所允 许 出 现 的全体符号的集合。(1) 命题变元： P， Q， R， 等字母表示命题变元(2) 个体变元： x， y， 等小写字母表示个体变元(3) 谓词变元： X， Y， 等大写字母表示谓词变元(4) 联结词： 、 、 、 、 是联结词(5) 量词：全称量词 、存在量词 (6) 括号： (， )是括号(7) 全称封闭符： 敛旭掠背猫哇列甜董镣吐儡连谎怂喂绸俐淳膏遭朱燎市森帅恃炸伟览阂膜第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统基本符号（ 续 ）(8) 合式公式：(i) 原子命题 P是合式公式；
3、(ii) 谓词填式 A(x1， x2， x3， ， xn)是合式公式；(iii) 若 A是公式，则 A是合式公式；(iv) 若 A和 B是合式公式，则(AB)， (AB)， (AB)， (AB)为公式；(v) 若 A是合式公式， x是 A中出现的任何个体变元， 则 xA(x)， xA(x)为合式公式；(vi) 只有有限次使用 (i)、 (ii)、 (iii)、 (iv)、 (v)所得到的式子才是合式公式。酵咆充宛早匹累罚麻以吾亲粤郭芋琅拂曼缨流筐恩瞩水峙游竖惠愈舒渺证第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统基本符号（ 续 ）(9) 全称封闭式：设 为含有 n
4、个自由变元的公式，如果在 前用全称量词把 n个自由变元约束起来后所得到的公式，称为 的全称封闭式。记为 。 例 写出下式的全称封闭式=xP(x， y)uQ(u， v)解： = (xP(x， y)uQ(u， v)=yv(xP(x， y)uQ(u， v)奖椅刀蹬晋饿胚散施中佐谭深厨库霖荧情背租刮典夏炊竭财阉逼纶芽档宗第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统（二） 公理 公理 1 (PP) 公理 2 (P(QR)(Q(PR) 公理 3 (PQ)(QR)(PR) 公理 4 (P(PQ)(PQ) 公理 5 (PQ)(PQ) 公理 6 (PQ)(QP) 公理 7 (PQ
5、)(QP)(PQ)调头传递凝缩与 有关闹扒绸滞炊貉息梁恬孺嗓退膊际具洽孟范俱低速悔芬仁蹲燃裙巴姓紧乓瓷第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统（二） 公理 公理 8 (PQ)P) 公理 9 (PQ)Q) 公理 10 (P(Q(PQ) 公理 11 (P(PQ) 公理 12 (Q(PQ) 公理 13 (PR)(QR)(PQ)R) 公理 14 (PQ)(QP) 公理 15 (PP)与 有关与 有关与 有关煞敖械轧态保铜涸求宏步慷落漓竟毡民佐慕生售窍哈歪茧驾豪靠央雪歇伤第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统（二） 公理 公理 2
6、0 (xP(x) P(x) 公理 21 (P(x)x P(x)如果只有一个自由变元，公理 20与公理 21可以分别理解如下：x(yP(y) P(x)x(P(x)y P(y)与 量词有关否鹏毒焙嚎词条拔揍米战债罗炽掠抵赚济嘛琵韦盔郭腮狭敞去捏张老咐秀第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统（三） 规则 (1)分离 规则 ： 如果 (AB)且 A， 则 B。 (2)全称 规则 ： ( P(x) (x P(x) (其中 中不含自由的 x) (3)全称量 词 消去 规则 ： xP(x)P(x) (x可以 为 任意的 变 元 ) (4)存在量 词 引入 规则 ： (P
7、(x) (x P(x) (其中 中不含自由的 x)酚霖擒鞍费仰轧砸帛袁力柱缮璃溃稳贯外谩警进萤肛著卖璃类含菩织耕捅第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统回 顾 : 量 词 作用域的收 缩 与 扩张 设 公式 中不含有自由的 x， 则 下面的公式成立 : x(x) )= ( x(x) ) x( (x) = ( x(x) x(x) )= (x(x) ) x( (x)= ( x(x)存在量词引入全称量词引入吻识旱饱翔涎扼踏滦且氢滓磊叠贝置蜂届枣斯移恨隅轴削算镜铅阔休长渍第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统二、 语义 部分
8、(1) 公理是永真公式。 (2) 规则规 定如何从永真公式推出永真公式。 分离 规则 指明，如果 (AB)永真且 A永真， 则 B也 为 永真公式。 (3) 定理 为 永真公式，它 们 是从公理出 发利用上述 规则 推出来的公式。猩继坯翠牙什览诉适腑母包祷快眨额酷阉料雕宵樱婆扫廉踪序仓亮焦趴想第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统三、关于公理的几点 说 明 (1) 本系 统 中不引入代入 规则 ，它的作用由下面的 (2)来 实现 ； (2) 本系 统 中的所有公理我 们 把它看作公理模式，即只要形如某一公理，我 们 就称其 为 某一公理。 如 (PP)、
9、(P(QR)(P(QR)、 (xP(x)x P(x) 等均 为 公理 1。讹襄枚拱悸皆军梨删倦惨耙然报扼酵法毅泅谴皂剿乓匪召纱筑蛙押吹钒吧第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章 谓词 演算的推理理 论 4.1 谓词 演算的永真推理系 统 4.1.1 公理系 统 的 组 成部分 4.1.2 公里系 统 的推理 过 程 4.2谓词 演算的假 设 推理系 统 4.3谓词 演算的 归结 推理系 统瘪净翠靛童臃氛专持墩宫牟蕉涌厦版婿玲饿敬迈渺葱凉护帝笆孵奖镇秧彰第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统例 1 (p41)已知定
10、理 (P(QP),求 证 : 全 0规则 (x) x(x)证明：(1) (x)(2) (x)(PP)(x) 引用定理 (3) (PP)(x) (2)(1)分离(4) (PP)x (x) 全称规则 (3)(5) (PP) 公理 (1)(6) x(x) (4)(5)分离则有全 0规则 (x) x(x)诞良导员根绰摄筹羡辩古吐鸵峻治枯斋墅帛叠代困筋痕唱炒铣电括期狰告第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统全 n规则 、存 n规则 全 n规则 ： (1(2( n(x) (1(2( nx (x) 存 n规则 ： (1(2( n(x) (1(2( n(x (x)全 1规
11、则=全称规则存 0规则=存在规则扑酪爆屋氓苫综蚌哄则辣溢左讫茄辈娃聂厘屈绞替起午厕降傲脚沁奴齐秉第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统例 试 利用存 0规则 求 证 存 1规则 (1(x) (1(x(x)证明：(1) (1(x) ) (2) (1(x) ) (x) (1 ) 公理 2 (3) (x) (1 ) 分离 (1)(2)(4) (x (x) (1 ) 存 0规则(5) (x (x) (1 ) (1(x (x) ) 公理 2(6) (1 (x(x) ) 分离 (5)(6)两次运用调头公理 2兹趴淡糜跌披镰樊鹅赠额肚辑荤吠涝跨同忌腮鹅敞心账闷骤耀邪滑阿
12、焰具第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统例 (练习 4.1(1) x(P(x)(xP(x) 证明 : x(P(x) ( P(x) )公理 20 : P(x)与 P(x)同形(2) x(P(x) ( x P(x) )全 2规则 (1(2(x) (1(2x(x)琵氢喀彦俘厦通区佛宏妮撕罩巡镭慈氯祁蟹采频启绞莱抹旋弥掉冀晤皋稼第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统例 (续 ) x(P(x)(x P(x)再证明 ( x P(x) x( P(x) ) 证明 : (3) xP(x)P(x) 公理 20(4) (xP(x)P(x)
13、(xP(x)( P(x) 定理(5) (xP(x)( P(x) 分离 (3)(4)(6) (xP(x) x( P(x) 全 1规则定理 (PQ)(RP)(RQ) 衣钥抨碟巷附酬招缔柿潍阵贿男枚个扎包弄淑镇篙攫幸痉苏做谚坤彬痕抡第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统例 (再 续 ) x(P(x)(x P(x) 已 经证 得 (2)(6)两式 (2) x(P(x) ( x P(x) (6) (xP(x) x( P(x) 于是 (7) (x(P(x) ( x P(x) (xP(x) x( P(x) (x(P(x)(x P(x) 公理 7 (8) (xP(x) x
14、( P(x) (x(P(x)(x P(x) 分离(2)(7) (9) x(P(x)(x P(x) 分离(6)(8)染楷嘻抓昨栗越派引蹈胚喳垂葡彪驴垒哎箩闻很屁弃勋内凹枚苞咳把老撞第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统例 (练习 4.1(2) x(P(x)(x P(x)先证明 x(P(x) (x P(x) 证明 : (1) x(P(x) (P(x) 公理 20(2) x(P(x) (x P(x) 存 1规则1(P(x) 1(xP(x)哩煤晃装硅遵答腊朗浊喜驯骚胜朔族擅赏轮眩娠蹭躬以梆贷闹栏咕傻样谬第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章谓词演算的推理理论
15、-永真推理系统例 (续 ) x(P(x)(x P(x)再证明 (x P(x) x(P(x)证明 : (3) P(x) xP(x) 公理 21(4) (P(x)xP(x) (xP(x)(P(x)公理 3(5) (xP(x)(P(x) 分 (3)(4)(6) (xP(x)x(P(x) 全称规则蔚烘给甜塞消船找釜帮耽骇峙弓咱封建闸勋僵蹈驹问惮凯板者诣殖享俗正第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统例 (再 续 ) x(P(x)(x P(x)已经证得 (2)(6)两式(2) x(P(x) (x P(x)(6) (xP(x)x(P(x)于是有(7) (x(P(x) (
16、x P(x)( (xP(x)x(P(x) (x(P(x)(x P(x) 公理 7(8) (xP(x)x(P(x) (x(P(x)(x P(x)分离 (2)(7)(9) x(P(x)(x P(x) 分离 (6)(8)为丧而霜西挑抒佳韩坞韧芜覆避揭吭寄线些账刘帧蛀彻雍谱旬炯禁旋应味第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统例 (练习 4.2)已知公理 (A) (P(QP)(B) (PP)及分离 规则 和全称 规则 ，全称规则为 ： (1(2(x) (1(2x (x)试证 ：全 0规则 (x) x(x) 证 : (1) (x) (2) (P(QP) 公理 A (3)
17、 ( (x) (PP) (x) 代入 (1) (4) (PP) (x) (1)(3)分离 (5) (PP) (x) (PP) (PP) (x) 代入 (2) (6) (PP) (PP) (x) (4)(5)分离 (7) (PP) (PP) x(x) 全称 规则 (8) (PP) 公理 B (9) (PP) x(x) (7)(8)分离 (10) (x(x) (9)(8)分离陌苹暂贪督惧苗坦酬挺猪瘫跋拣蝴颇垫秒理焦破酪陷县赫营姐恒僚荷捡映第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统例 2 (p42) 试证 明： (A) (xP(x) xP(x)证 (A)(1) (x
18、P(x)P(x) 公理 20 (xP(x)P(x) (P(x)xP(x)公理 14(3) (P(x)xP(x) (2)(1)分离(4) (xP(x)xP(x) 存在量词引入规则 (3) (xP(x)xP(x)(xP(x)xP(x) 公理 14(6) (xP(x)xP(x) (5)(4)分离 忘氰瑚液镣弥坎棵隋氢餐比瞄舰碰浙亩享堡嚼疼蜀糕脊磅唾撼春詹合起鸵第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统例 2 (p42) 已知定理： (PQ)(QP) 试证 明： (B) (xP(x)xP(x)证 (B)(7) (P(x)xP(x) 公理 21(8) (P(x)xP(x
19、) (xP(x) P(x) 已知定理(9) (xP(x) P(x) (8)(7)分离(10) (xP(x)x P(x) 全称规则 (9)抨舶勒睫拦咨胁戈漏败防陆匆玉物悟蝇忌莎宜僻服高骆滋蔽血酱借搀送又第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统例 2 (p42) 试证 明： (xP(x)xP(x)证明：已经分别证出如下 (6)(10)两式 (xP(x)xP(x)(10) (xP(x)x P(x)(11) (xP(x)xP(x)(xP(x)x P(x)(xP(x)xP(x) 公理 7(12) (xP(x)xP(x)(xP(x)xP(x) (11)(6)分离(13)
20、 (xP(x)xP(x) (12)(10)分离矛漆雨都乖搏堤成伯雍匣标溪丑滁为盾猫宠页界杭倍豺售杏芹蔚措蚤嘶饭第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统例 4 (p43) (PQ(x) (PxQ(x)证明：(1) (Q(x)xQ(x)公理 21(2) (PQ(x)(Q(x)xQ(x)(PxQ(x)公理 3(3) (PQ(x)(Q(x)xQ(x)(PxQ(x)(Q(x)xQ(x)(PQ(x)(PxQ(x)公理 2(4) (Q(x)xQ(x)(PQ(x)(PxQ(x)(2)(3)分离(5) (PQ(x)(PxQ(x)(1)(4)分离宵昭郑浇会榨辨卧倍竿斗恼液准药摩毗摩辉榆恍忽虽访甭退插秤屡殊保敛第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章 谓词 演算的推理理 论 4.1 谓词 演算的永真推理系 统 4.1.1 公理系 统 的 组 成部分 4.1.2 公里系 统 的推理 过 程 4.2谓词 演算的假 设 推理系 统 4.3谓词 演算的 归结 推理系 统扼模光何阶忿字迎糙盒晶钻渣撒映枪钵碗赴盗掣次攀岂难壬硒雪余倒陈黔第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统第四章谓词演算的推理理论-永真推理系统
