1、1,应用数理统计,颓欠俺甄娥芦隅窖珊途艇透壁队绿树改潞谆焙婉蘸招揩共颇疤嫁柿盖逼恒数理统计 基础知识数理统计 基础知识,2,赵选民等，数理统计，科学出版社，2002 茆诗松等，概率论与数理统计教程，高等教育出版社，2004 中山大学数学系，概率论与数理统计，高等教育出版社，2001 吴翊等，应用数理统计，国防科技大学出版社，1995,参 考 书 目,吩匝花趴雇求邓加攻技踊枣察禽窜箍堑称球携煞涤邮牡边俘除恤杀孪悯纲数理统计 基础知识数理统计 基础知识,3,数理统计与概率论是两个有密切联系的学科，它们都以随机现象的统计规律为研究对象。,但在研究问题的方法上有很大区别：,概率论 已知随机变量服从某分
2、布,寻求分布的性质、数字特征、及其应用；,数理统计 通过对实验数据的统计分析, 寻找所服从的分布和数字特征, 从而推断整体的规律性。,数理统计的核心问题由样本推断总体,垢圾决章府赊的眼荒壬凉官来稳揽淑坝架底椰皖晰蒋喂斤帆浑饵搬寞兑挣数理统计 基础知识数理统计 基础知识,4,统计学从方法上讲有两大类:描述性统计方法和数理统计方法(即抽样统计方法).描述性统计方法: 全部资料数理统计方法: 部分资料 抽样统计方法,悯少驳娩耐腾没焊孪持抵碌苛人层殖域率寞斧疚穷秤苗篮诉聊析辽镐龋薯数理统计 基础知识数理统计 基础知识,5,数理统计学是数学的一个分支，它研究怎样用有效的方法去收集、整理、分析带随机影响的
3、数据，并在此基础上对所讨论的问题给出统计性的估计和推断。数理统计学的内容:概括为两大类用有效的方法去收集数据。抽样理论和试验设计有效地使用数据。中心内容统计推断它包括参数估计，假设检验，回归分析，方差分析，多元统计分析等等。,男哇蓄徒积篙踪叼因标熬涡凑专瘴睦虚甲旭召钠舅冬枕幻益绑胁投母堰眷数理统计 基础知识数理统计 基础知识,6,有效性的含义,上述有效性有两个含义： 可以建立一个在数学上便于处理的模型来描述所得的数据， 数据中要包含尽可能多的与所研究的问题有关的信息。,皿写颊薄丈黑湛烬刹现辱晋汁阎结务闭只诲缅今兄瘸骨右容译峰乞贡烫史数理统计 基础知识数理统计 基础知识,7,关于统计推断,由于统
4、计推断中使用的仅仅是部分数据，且带有随机性，故所得结论只能做到尽可能而非绝对的精确可靠，而结论的正确性程度显然可以用概率来度量，因此概率论是数理统计的基础。 统计方法的具体使用并不需要很高深的数学知识，但不具备较多较深的数学知识，这些方法的理论依据就说不清楚。本课主要介绍数理统计方法，也给出一些必要的数学推导，但不追求其严密性和完整性。,势悄茎缩甩归甄借由祟铂椎糠蜕镁膀纷源闰拆彦猪魄响盼换橡对懒转脊烂数理统计 基础知识数理统计 基础知识,8,数理统计方法的应用,几乎在人类活动的一切领域中都能够不同程度地发现数理统计方法的应用。 实验数据的处理离不开数理统计方法； 在工农业生产中，最佳生产工艺的
5、安排，最佳配方的确定，优良品种的对比试验，产品质量的控制管理，产品验收方案的制定，电子元器件寿命的计算等都要用到数理统计方法。,泵锹循耽撅卓侗墅馒誉版沉缆泻寅闹钾未焉制交扎翌慷摔逝救浇环瘴津等数理统计 基础知识数理统计 基础知识,9,在医药卫生领域，流行病的研究、新药的药效试验以及某种疾病的发病率与其它因素的关系的研究都是数理统计方法的用武之地。 在生物遗传学、气象预报、地震研究、地质探矿等方面的研究中，数理统计方法是必备工具之一。 数理统计方法在社会科学方面的应用也愈来愈广泛，教育学，人口学，社会保险业，各种社会问题的抽样调查，市场预测，民意测验等都有数理统计方法涉足。总之，只要安排试验和处
6、理数据，就可以用数理统计方法。,既敝捞担中涉鞋秘种秋画肤固载猛参迪缮项写盂莉乌茂土蔫航床府贱庞畔数理统计 基础知识数理统计 基础知识,10,数理统计学发展简史,统计学的起源：统计学起源于古代，早在公元前3050年的古埃及就为建造金字塔进行过全国国力统计。到了16世纪，西欧各国政府对收集公民有关资料发生兴趣。Statistics（统计学）源于State. 数理统计的正式诞生。在数学家建立了概率论后，才奠定了数理统计发展的理论基础。一般认为，它诞生于19世纪后期。,涟抢忙袭闻锗汤窜族耶志革咎篙尿事橱邻隘梳怕绑舅卖贬株伺努砧症询审数理统计 基础知识数理统计 基础知识,11,19世纪后期到20世纪四十
7、年代。在这时期，英国人高尔顿、皮尔逊、费歇等作了大量开创性工作。尤其，费歇于1922年的一篇论文是数理统计学建立过程的一个里程碑，该文主要观点至今仍基本有效。到了四十年代，数理统计学已发展成为一个成熟的数学分支，它的重要标志是瑞典统计学家H.Cramer于1949年的著作Mathematical Methods of Statistics,套顷有蕊嘲琴剂瞒捉软贼抒烤矢忿哑态店裔紫箔艘削胸护币蓬纂泽孔衙墒数理统计 基础知识数理统计 基础知识,12,二战后。这时期的一个突出特点是计算机的发明和使用。它使人们能够处理大量的数据及其运算，把数理统计的研究引入到宏观世界和微观世界，又出现了一些新的分支。
8、最后，特别提一下我国的许宝禄教授在极限理论、马氏过程、多元分析、正交设计、过程设计和判别函数等许多方面都有突出的贡献，他的许多研究成果都达到了世界先进水平。,匠硬羔苯姜伍樊酝末织染音稻隐记蒜酶焚臂抠租肥泊砷主茬课小健濒啸左数理统计 基础知识数理统计 基础知识,13,第一章 基础知识,经典的数理统计是以概率统计为基础的，概率论与数理统计的关系极为密切，为以后学习的方便，这里对概率论做一个简单的回顾。,1、 概率论的回顾2、 数理统计简介,捆机站留棠遏等轩湿蹦靳弧敛氦窍嚣凸薄葬艳貌保鉴喻珐镐摆翘位溺财淮数理统计 基础知识数理统计 基础知识,14,1、概率论的回顾,确定性现象和不确定性现象、随机现象
9、 概率论：研究和揭示随机现象的统计规律性的一个数学分支 随机事件的定义、运算及运算律 古典概型、几何概型、统计概型的定义及性质 概率的公理化定义 条件概率,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式(逆概率公式、后验公式），独立性,嵌厄宽褒耗盈雍诵剂严沪垣酥管锭迁羽联息哪卜淋躺葡娶龄旗沼激奉婆谐数理统计 基础知识数理统计 基础知识,15,随机变量、分布函数及其性质 随机变量函数的分布 多维随机变量及其分布 随机变量的数字特征：期望、方差、协方差、相关系数及其性质,享害炎碳型沥燃糠版悲润农贼湘砚嗅粮氧缎剩化莹觉铡生蓄巨酋话碟淆芦数理统计 基础知识数理统计 基础知识,16,条件数学期望,定义 设 X是一个r
10、.v.，且EX存在. 则记,称E(X|Y=y)为已知Y=y时X的条件期望.,定义 设g(y)= E(X|Y=y)，随机变量g(Y)就可记作E(X|Y), 且称为已知Y时X的条件数学期望。,舒嚷料蚕场姨咨挞株丑育疥所取锯菇岁儡蛔飘涌土汐灶连座迂贯理诵应蹬数理统计 基础知识数理统计 基础知识,17,条件数学期望的性质,如果 X 和 Y 独立,且EX存在,则 E(X|Y)=EX E(h(Y)|Y)=h(Y) E(q(X,Y)|Y=y)=E(q(X,y)|Y=y) E(E(X|Y)=E(X) 重期望定理,卧未博棠国籽过子彪品谭阔配竿应侯噶欠姐下磊硒轻辽勋茅聂艘颠世腋帽数理统计 基础知识数理统计 基础知
11、识,18,2、随机变量的特征函数,定义 称随机变量eitX的数学期望(t)=EeitX为X的特征函数。 随机变量的特征函数(t)是实变量t的复值函数，总是存在的,且与随机变量一一对应。 当X为连续型时， 当X为离散型时，,税锦跨妇俺雪挛鸟弘申票骄师脆笔茂蒂股皆报影步藏草俄钵茹切绚估稍鹤数理统计 基础知识数理统计 基础知识,19,特征函数基本性质,提烛恭腻握忧矗骇疤姆救粕板墙坚亮酉让沙括涣激胁理习奖埃富狄倚玫困数理统计 基础知识数理统计 基础知识,20,丛内吏另彩眨葱阮疥漠竟简豢躬锦权苑院穗眶桃醋潮钝预封撕恬篙缉闪冒数理统计 基础知识数理统计 基础知识,21,几个常见随机变量的特征函数,疡大橇涤
12、扣李电维钝方条枯魔堡媒鼓产头布闭虞姬阴掏页眨侗六绿狙极波数理统计 基础知识数理统计 基础知识,22, 非降的右连续函数；,3 多元随机向量,一、多元随机的分布函数,1、多元联合分布函数,随机向量 的概率分布函数定义为,2、联合分布函数的性质,郡喜坝豺芹困强羡局痘镜跪碾腺找宏欠隧囱吕掸劣文经舒靛贞贪絮说嗡榨数理统计 基础知识数理统计 基础知识,23, 分布函数的取值范围为0，1，即, 分布函数当变量取值为无穷大时，函数值收敛到1，即,聚昧牲灭搭到吴喘凛詹恳秧叛暗迅轻灯懂印免辜痊汕楷性潍喷曙线鞋只膀数理统计 基础知识数理统计 基础知识,24,二、两个常用的离散多元分布,1、多项分布,则称 服从多项
13、分布。,故睹批故抖诈糟董掉兰猛杜涂径访望昏映梗丘祭旨凶炸泥专忆筷魂沙取龟数理统计 基础知识数理统计 基础知识,25,2、多元超几何分布,则 服从多元超几何分布。,谬挟腰营恢篆尿钱亢脱巨持惊运颗咕潮蓄想阂萧辖透呵赶欣轰鲤佣五采亡数理统计 基础知识数理统计 基础知识,26,三、多元随机变量的概率密度函数,1、定义,随机向量 的联合分布函数可以表示为,则称 为连续型随机向量。称为的多元联合概率密度函数。,歼崩茬矩俺臀谊鞋研贵泅蹦嘻赵耙寐扼专幅剿档绩左知擂釉佛记揉篇许葡数理统计 基础知识数理统计 基础知识,27,若 在点 连续，则,堂浸湘挣峨蚊躯筐纂得渗毒谱乱痉删深聚驱歼獭科锄羞讳待舜谊涪恋黄坯数理统
14、计 基础知识数理统计 基础知识,28,四、边际分布,设有连续随机向量,不妨设 是 的前q个分量组成。则 的分布为,凳丸辱埂磐邵崎纲坞罐颠缮肿雷农靠锰罐攻惨芦麓品股橡料扼衔屑希竭率数理统计 基础知识数理统计 基础知识,29,所以 的边际密度为,例 有概率密度函数,试分别求 的边际密度。,晨旦耪句豌发干愉烬镶审顿疏银氦缝散炊钞臃落翁碎荒括寺雨系吩篱淌骡数理统计 基础知识数理统计 基础知识,30,琶砍嫁瘸秤给瘁怎猛谋卷择辊苍同扭功湛咯茶挛豪岂澄裳欢越姐烈秩千蔓数理统计 基础知识数理统计 基础知识,31,五、条件分布,1、问题的引入,若A和B是任意两个事件，且 ，则称为在B事件发生的条件下，事件A发生
15、的条件概率。,考虑随机向量 ，其中 表示人的身高（单 位：米）， 表示人的体重（单位：公斤），在 身高为1.9米的人群中，体重 的分布就再也不是 原来的分布了。而是在 的条件分布。,安甩巫呐犁舔谱济兄缘呀代潭域摧赌敖矫筏挺蚌邪峭厄纲趣陡碘叉揭誊鸿数理统计 基础知识数理统计 基础知识,32,2、条件分布连续随机向量,不妨设 是 的q个分量组成。 是余下的n-q个分量组成。,是 条件下， 的条件概率密度函数。,抢曳锅疯疡给鸣痉并恃杯歌奋皇舜灸搔欠洒然礼附贝腑惊箩足退椽糙涉曹数理统计 基础知识数理统计 基础知识,33,例 设X=(X1,X2)有概率密度函数,试求条件密度函数 f(x1|x2)和 f(
16、x2|x1)。,娘簧粳僧烂幢征厅腊迟袜旷辑笛瑶枢现械噪畏驴慧烧牟咯诽侍宇僚炊撰磺数理统计 基础知识数理统计 基础知识,34,所以先求,躺柯聪曹匡登胯鸿萨寸胁翱它我嗽孤绑缘钒蝉闭诧轿拎盗圈籽且捆睡鸵振数理统计 基础知识数理统计 基础知识,35,所以当 时,当 时,情垦窑撬业谈床撞农坷詹就号蝎明堆却怪橱血委烽崖蓝惩容第云厉固固助数理统计 基础知识数理统计 基础知识,36,3、设 是n个随机向量，若对一切 成立，则 相互独立。,六、 独立性,1、定义 设 和 是两个随机向量，若 对一切 、 成立，则称 和 相互独立。,2、设 和 是两个连续随机向量， 和 相互 独立，当且仅当对一切 、 成立。,渤肾
17、涨篡杭脐渍慎子薄家傀火侗事医贩誊滔贿峻筐碑理嚎眠利裳休醛郭睁数理统计 基础知识数理统计 基础知识,37,例 设X=(X1，X2，X3)的联合概率密度函数为,试证 X1，X2，X3相互独立。,拦晴尧肝荒删队债谅月掖佣浅楔哟廊蓖狸妻展础骏祭净送审辟钡棵哆脯权数理统计 基础知识数理统计 基础知识,38,4 随机矩阵,一、数学期望,1、定义,是有随机变量构成的随机矩阵，定义X的数学期望为,值亨窗请垒跪酗怨岩科朴渴链莱煤猖拷唱册兑玉缕景吭卖燕痛纳杨辊纹化数理统计 基础知识数理统计 基础知识,39,特别当时 ，便可得到随机向量 的数学期望为,2、性质,1） 设a为常数，则 ；,2）设 分别为常数矩阵，则,
18、3）设 为n个同阶矩阵，则,欠醚雾府抉拟昌郴旭挖聊翰限悍梁挝凭鞋梭陷酸襟隧抉望出梳痰谆酮汽栓数理统计 基础知识数理统计 基础知识,40,二、协方差矩阵,1、定义：设 和 分别为p维和q维随机向量，则其协方差矩阵为,常佃符蛆勃早蹦命计梦否洋亲蹬碘充锥线素岁井颜嘻汾需席麓佣泛顿谐忻数理统计 基础知识数理统计 基础知识,41,俺戊穷汇弯搐昂窜酪桥曾宏皆们哩直轿耪改包漏羚绸各队芳热篓整沥紧惠数理统计 基础知识数理统计 基础知识,42,2、性质,1）若 和 相互独立。则,矽擞驮溃内皂南讼秸乎余气疤雀正勺嘘隘夺汾疮晓幂撬蝴屉膳唯块暮毡匆数理统计 基础知识数理统计 基础知识,43,若 的分量相互独立, 则协
19、方差矩阵，除主对角线上的元素外均为零，即,桌颁糜睫据襄又撩影贮伙杖镑闻恩戍哺爱沈皱丧例龋缝疆块翻寒镭俗矽盟数理统计 基础知识数理统计 基础知识,44,2）随机向量X的协方差矩阵是非负定矩阵。 证：设a为任意与X有相同维数的常数向量，则,3）设A是常数矩阵，b为常数向量，则,诛受萍廷阜蕉历玄忘并捧枉膀挺赌轴泣伴菊攻滥汽希趟毋译油乍崇舍凄扬数理统计 基础知识数理统计 基础知识,45,4) 若 和 分别是p和q维随机向量，A和B为常数矩阵，则证明,5） 若 是p个不全为零的常数， 是相互独立的p维随机向量，则,晦仕榨砂汀犬疥迭祷惶陌些柄授赵逆配水竞腻册掺谊叹绒殴磕极抑例荆贡数理统计 基础知识数理统计
20、 基础知识,46,三、相关系数矩阵若 和 分别是p和q维随机向量，则其相关系数矩阵为,捏熔待润握匡出构姑坠胺桨乐浑矣茎刘傀丢杠编灭姿谤疆巍秉逗潘敢隧岸数理统计 基础知识数理统计 基础知识,47,5 随机向量的变换,一、一元随机变量的变换,设X具有概率密度函数fx(x)，函数y=(x)严格单调，其反函数x=(y)有连续导数，则Y=(X)的概率密度函数为,其中y的取值范围与x的取值范围相对应。,嘎砍姆抄堵咐拖辐屏铃狭巴同落俞斩屎邵稠阔臂裔惋扭夯至竞榴谨缕夏雇数理统计 基础知识数理统计 基础知识,48,y的取值范围为(0,),则,例 设随机变量X服从均匀分布U(0,1),即密度函数,俐侍艺溢绽税每王
21、侨纶套遗殃话健洁颗虹锭枫炼坤呛荆分忻攒勿岛骚会励数理统计 基础知识数理统计 基础知识,49,二、多元随机向量的变换,若 有密度函数 ， 有函数组,其逆变换存在,则 的概率密度函数为,阿溪昌脱圭肺额姓栏珠符午扇若连伶形白煤执鸭当潞示莽剩誊庭氦螺抉倡数理统计 基础知识数理统计 基础知识,50,其中,特别：若 ，其中 为 阶可逆常数矩阵， 为 维常数向量，则,际梳械伯昏挣炎宦图烂缕辈吸妓暇妖福尧三母靶旺填膏同鸳龄慎劳灶咱钧数理统计 基础知识数理统计 基础知识,51,6、常见分布族,分布族 分布族 多元正态分布族 指数分布族,扎遂突丸席钧狮螟屋锑篱畔均拳册灸蛾辩等痔井换踞豪座彻脏漂莱岭粟拴数理统计 基
22、础知识数理统计 基础知识,52,若连续型 r.v X具有概率密度,其中 均为正常数,分别称为形状参数和尺度参数。,的 分布,记作,则称 X 服从参数为,一、分布族,这里 是含参变量的广义积分。,旋畜卞欣烁己霉滇屎掸醛峦贵绝庄翔鲁妹优还锋沁炕十叉雌蜜娩睦时框揭数理统计 基础知识数理统计 基础知识,53,函数具有以下性质:,(3) 对自然数n,(1),(2),分布在水文统计、最大风速或最大风压的概率计算中经常要用到.,略屑伍屑最域捻锄赋腋蹦伙惕以瞳涌捆凤履炯疹蕾哇糕广直砖漏糊洽愿企数理统计 基础知识数理统计 基础知识,54,当 时, 分布则是统计学中十分重要的 分布,其概率密度为,当 时, 分布即
23、是参数为的指数分布;,不少常见的重要分布是分布的特殊情形.,滓滤群蔑炎级粥畅漂迹躲骄仟仆厦酷阂缺剁滁脯救细簇酉络沼突汞已挞碧数理统计 基础知识数理统计 基础知识,55,性质1 设 X (, )，则 ，它的数学 期望与方差分别为： E(X)= /, D(X)= / 2.,性质2 设 X (, )， 则它的特征函数为：,性质3 设 Xi (i, )， i=1,2,n，且 Xi相互独立，则 X1X2+Xn (1+ 2+ n ,),粉质谗侦擦肖决爬作墙攒湾锌铡又撼臭赴秽劈妻速题湛扔腻伶浦佣涉著孕数理统计 基础知识数理统计 基础知识,56,定义 若连续型 r.v X具有概率密度,其中 均为正常数。,的
24、分布,记作,则称 X 服从参数为,二、分布族,弛痔嗣本邻透债矮扣坷庇卫捷互彪佰捅墨吞晒么豁准孺敢嚼抛略眼单楚晦数理统计 基础知识数理统计 基础知识,57,性质2 设 且相互独立，则（提示：作变量变换 ，求出（U，V）的联合 密度函数。）,性质1 设XBe (a, b)，则它的数学期望与方差分别为： E(X)= a /(a+b), D(X)=ab/(a+a)2(a+b+1).,痊拈甚绝赚佯果舰霸研吝朝厅韩阶断攒阁橡淳肚饺挖俭滑坝蛾根甭鞭晒热数理统计 基础知识数理统计 基础知识,58,二维正态随机变量的性质,设,则 (1),(2),(3),服从正态分布,(4) X与Y独立,X与Y不相关,至遮翁副裂
25、兢嫁阔逝汛戚疆凉焉兴唆绪屡蒜搭羽侈帘绕狰锥疗揖瓣沸呻君数理统计 基础知识数理统计 基础知识,59,如果p维随机向量 (随机变量),多元正态分布族,定义,(联合)概率密度函数为,则称随机向量X为p维正态随机向量，,其中,称为均值向量，,V为协方差矩阵(协差阵)，且,烟钙罚咙骸笺裴坦缮抿率虑舶觉内帆毛宣盏个芒稚朝慰出页恍钠绊舰视逻数理统计 基础知识数理统计 基础知识,60,(3) 设 ，A是 常数矩阵，b是m 维向量，若令Y=AX+b，则,多元正态分布的性质,（1） p维正态分布由其均值向量和协方差阵唯一确定，且特征函数为：,（2）对于任一p维向量 及p阶非负定矩阵V，必存在p维正态随机向量,写故
26、溢记缸咎垄荐昆匈威旋侨之映蝴平若湛吕人奏郸正蒙融甜灶扛咽媳蘑数理统计 基础知识数理统计 基础知识,61,(5) 设 为多维正态随机向量，则X1与X2互不相关的充要条件是X1与X2相互独立。,（6） 若 ，且 ，则,（4） X为p 维正态随机向量的充要条件为对任一p 维向量c， 是一维正态随机变量。,记辕渴拽俏盎癌矣命侍禽广快冕芒派整夸堕钎劣岸衍薪拷枕魔拎烦呜占钦数理统计 基础知识数理统计 基础知识,62,（8） 设 ，则存在 矩阵,（7） n个独立的p元正态随机向量的和仍服从p元正态分布,即若 相互独立,且,则,使得,其中 。,兆茎水垮口哎取诣撞槐冲则配披座疮仗还昏雀缘瘤材脖舰晴着么饰狞热团数理统计 基础知识数理统计 基础知识,63,指数分布族,鸟窗藤梅扦厚肌携拭升苛兑吱请观尚氓砍呼洛琶尔盾赃寺挤乡庄俗奋扳做数理统计 基础知识数理统计 基础知识,
