1、第一章 概率统计基础知识,北京理工大学珠海学院 吴浩然,第一章 概率统计基础知识,概率基础知识,1,随机变量及其分布,2,统计基础知识,3,参数估计,4,假设检验,5,第一节 概率基础知识,事件与概率,1,概率的古典定义与统计定义,2,概率的性质及其运算法则,3,1.事件与概率,确定性现象,随机现象,在一定条件下必然会发生的现象。 【如】：水100C沸腾。,在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象。 【如】： （1）掷一枚硬币，出现正面或反面？ （2）一批产品中，不合格品的数量； （3）机械加工中出现的误差；,样本空间,随机现象一切可能结果（样本点）构成的全体，称为样本空间 。 【如】：（1）
2、掷一枚硬币。 正面，反面 ；（2）一批产品中，不合格品的数量。 0，1，2，3， ；,随机事件,随机现象的某些样本点构成的集合，称为事件，用大写英文字母A、B、表示。表示。 【如】：（1）掷一颗骰子，出现奇数点。 A 1，3，5 ；,事件之间的关系及运算,若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作 。用图形表示为：,掷一颗骰子，A表示点数为1，B表示点数小于3，则 。,若 且 ，则称事件B与事件A相等，记作 。,掷一颗骰子，A表示点数小于3，B表示点数为1或2，则 。,若事件A与事件B同时发生，则为事件A与事件B的交，记作 。 用图形表示：,掷一颗骰子，A表示点数为1、2或3
3、,B表示点数为1、3或5，则 表示点数为1或3。,两个事件A，B中至少有一个发生，即“A或B”是一个事件，称为A与B的并（和），记作 。 用图形表示：,A=1,2,3,B=1,3,5，则 1,2,3,5。,A,B,事件A发生而事件B不发生，称为A与B的差，记作AB 。 用图形表示：,A,A=1,2,3,B=1,3,5，则 AB2，,概率,事件A发生可能性的数量指标，以P(A)表示。 【如】： 1.如果一个骰子是公平的 ，那么掷一次骰子会以等可能(概率1/6，6种可能之一)得到1至6点的中的每一个点。 2.抛一个公平的硬币，则以等可能(概率1/2)出现正面或反面。,2.概率的古典定义与统计定义,
4、利用等可能事件， P(A)k / n，其中k 为事件A的样本点数目，n为 的样本点数目。 【如】： 1.如果一个骰子是公平的 ，那么掷一次骰子会以等可能(概率1/6，6种可能之一)得到1至6点的中的每一个点。 2.抛一个公平的硬币，则以等可能(概率1/2)出现正面或反面。,如果进行N次重复试验，事件A发生的次数为n，我们将频率n /N 看作是事件A的概率。 【如】： 1.刮发票的中奖密封时，大多得到“谢谢”。如果你刮了150张发票，只有3张中奖，你会认为，你的中奖概率大约是3/150=0.02；,；,；,；,；,；,3.概率的性质及其运算法则,条件概率及概率的乘法法则,在事件B已发生的条件下，
5、事件A发生的概率，称为事件A在给定B下的条件概率，记作P(A|B)。 其中：P(A|B),掷一颗骰子，事件A表示点数为3，事件B表示点数为6，则P(A|B)表示第一次骰子的点数为6，第二次点数为3的概率。,独立性和独立事件的概率,如果事件A和事件B有如下关系：则称事件A和事件B相互独立。,如果你有一个固定电话和一个手机，假定固定电话出毛病的概率为0.01，而手机出问题的概率为0.05，那么，两个电话同时出毛病的概率是多少呢？,第二节 随机变量及其分布,随机变量,1,随机变量的分布,2,随机变量分布的均值、方差,3,常用分布及中心极限定理,4,1.随机变量,表示随机现象各种结果的变量，一般大写英
6、文字母X、Y、Z表示。,抛一枚硬币， X表示正面出现的次数，它是随机变量，可取0或1两个值。,2.随机变量的分布,随机变量取一切可能值的概率称为概率分布(probability distribution ) ，简称分布。概率分布可以用各种图或表来表示；一些可以用公式来表示。,掷一颗骰子，随机变量 X 表示出现的点数，X 可取1、2、3、4、5和6六个值，则 X 的分布为：X 1 2 3 4 5 6P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6,离散型随机变量的分布,如果随机变量X只取有限个或可列个可能值，而且以确定的概率取这些不同的值，则称X为离散型随机变量。一般列成概率分布表：X x1
7、x2 xk P p1 p2 pk ,1. 2.,一批产品的废品率为5，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量描述废品出现的情况。 解：用X 1表示产品为废品， X 0表示产品为合格品。则：X 0 1 P 0.95 0.05,连续型随机变量的分布,随机变量 X 如果能够在一区间内取任何值，则该变量称为在此区间内是连续的，其分布称为连续型概率分布，用密度函数 表示。,逐渐增加矩形条数目的直方图和一个形状类似的密度曲线。,3.随机变量分布的均值、方差,均值用来表示分布的中心位置，用 表示。其中如：X 0 1 P 0.95 0.05,，离散分布,，连续分布,方差用来表示分布的离散程度，用 表示。其中如：
8、X 0 1 P 0.95 0.05,，离散分布,，连续分布,（1） （2） （3） （4）,4.常见的离散分布,如果随机变量 X 的密度函数为：X 0 1 P p 1-p则称随机变量 X 服从二项分布，记为： 其均值、方差分别为： 、,1.每一个进入某商场的顾客是否购买某商品； 2. 每一个新出婴儿的性别；,如果随机变量 X 取 x的概率为：则称随机变量 X 服从泊松分布，记为：其均值、方差分别为： 、,1.在一定时间内，操作系统发生的故障数； 2. 一平方米玻璃上气泡的个数；,常见的连续分布,如果随机变量 X 的密度函数为：则称随机变量 X 服从正态分布(normal distributio
9、n)，记为：,正态分布的曲线及性质,（1）标准差不变，不同的均值，正态分布曲线的形状相同，位置不同；均值不变，不同的标准差，正态分布曲线的位置相同，形状不同； （2） （3）,正态分布曲线,其它连续分布,如果随机变量 X 的密度函数为：则称随机变量 X 服从均匀分布，记为： 其均值、方差分别为：,如果随机变量 X 的密度函数为：则称随机变量 X 服从指数分布，记为： 其均值、方差分别为：,中心极限定理,不论总体服从何种分布，只要样本容量足够大，样本均值 的分布都大致服从正态分布：,第三节 统计基础知识,总体与样本,1,直方图,2,统计量,3,抽样分布,4,1.总体与样本,总体：研究对象的全体；
10、 个体：构成总体的每个单位；,某饮料生产企业用自动罐装机罐装饮料，每罐标准含量为500ml，为保证产品的稳定性，需要每隔一定时间检查每罐饮料的含量情况。 总体：某一批饮料； 个体：该批中每一罐饮料；,从总体中抽取部分个体所组成的集合。 如： 某饮料生产企业用自动罐装机罐装橙汁饮料，每罐标准含量为500ml，为保证产品的稳定性，需要每隔一定时间检查每罐饮料的含量情况。现抽得10罐，测得其含量为(单位:ml) 495, 510, 498, 503, 492, 502, 505, 512, 497, 506。 样本： 10罐饮料的含量。,2.直方图,频数（频率）表,2007年某地区农村居民家庭纯收入
11、,结论：收入较少的家庭占据多数，而收入较高的家庭则占少数。,直方图：1.用于表示连续性变量的频数（频率）分布；2.横轴表示分组，纵轴表示频数或频率。,3.统计量,不含总体未知参数的样本函数称为统计量。 如： 某饮料生产企业用自动罐装机罐装橙汁饮料，每罐标准含量为500ml，为保证产品的稳定性，需要每隔一定时间检查每罐饮料的含量情况。现抽得10罐，测得其含量为(单位:ml) 495, 510, 498, 503, 492, 502, 505, 512, 497, 506。,描述样本集中位置的统计量,（1）样本均值：设样本数据为：x1 ，x2 ， ，xn ，样本均值的计算公式为：（2）中位数：样本
12、数据排序后，处于中间位置上的值，用Me表示；（3）众数：样本数据中出现次数最多的值，用Mod表示；,描述样本分散程度的统计量,（1）极差：样本数据中的最大值与最小值之差：R = max(xi) - min(xi)（2）方差与标准差：（3）变异系数：用于对不同总体或同一总体不同量纲数据离散程度的比较，目的是消除数据水平高低和量纲的影响；,4.抽样分布,某个样本统计量的抽样分布，从理论上说就是在抽取容量为n的样本时，由每一个样本算出的该统计量数值的频数分布或概率分布。,重复抽样分布,一个总体5，8，7，4。对该总体进行容量为2的重复抽样，则样本个数有16个，如下表所示：,样本均值的频数分布表,样本
13、均值的直方图,中心极限定理,不论总体服从何种分布，只要样本容量足够大，样本均值 的分布都大致服从正态分布：,三大抽样分布,第四节 参数估计,点估计,1,区间估计,2,参数估计,某企业某天生产了6000个灯泡，从中抽取10个进行寿命测试，得到的数据如下：(单位：小时)1050 1080 1100 1030 11201200 1210 1130 1170 1040问：该天生产的灯泡平均寿命大约是多少？,根据样本统计量估计总体的未知参数，这类问题称为参数估计。,点估计：以样本的某一函数值作为总体中未知参数的估计值。区间估计：依据样本把总体的参数确定在某一范围内，要求它以足够大的概率包含待估参数真值。
14、,1.点估计-矩估计法,利用样本的数字特征作为总体数字特征的估计，即用样本的均值 估计总体的均值 ，用样本的方差 估计总体的方差 ，其中：,某企业某天生产了6000个灯泡，从中抽取10个进行寿命测试，得到的数据如下：(单位：小时)1050 1080 1100 1030 11201200 1210 1130 1170 1040请用矩估计法估计该天生产灯泡的平均寿命。解：样本的平均寿命： 所以，该天生产灯泡平均寿命的矩估计量为1113小时。,2.区间估计,依据样本把总体的未知参数确定在某一范围内，要求它以足够大的概率包含待估参数真值。,区间,总体未知参数,区间下界,区间上界,单一总体均值的区间估计
15、总结,课堂练习,某商店抽出36名顾客组成一个随机样本，调查他们在一段时间内对某种商品的需求量。根据以往的经验，这种商品的需求量服从正态分布，标准差为2，从调查结果算出样本平均数为20，试求总体平均数为95%的置信区间。（ ）,求解过程,已知 n=36， =2 ； 样本均值 20 ； 由1- =0.95，查标准正态分布概率表得： 在95%的置信水平下的置信区间为：即在95%的置信水平下，该种商品平均需求量的置信区间为19.3520.65,课堂练习,一房地产公司在某日随机抽取16位二手房购买者，得到二手房交易价格如下表所示（万元）。 根据以往交易情况得知：二手房交易价格服从正态分布，但总体方差未知。试在95%的置信水平下估计该日二手房交易平均价格的置信区间。 （ ）,求解过程,已知n=16；计算得到样本均值 ； 样本标准差S=14.175； 由1 =0.95，查表得： 于是在95%的置信水平下的置信区间为：在95%的置信水平下，二手房价格的置信区间为35.923万元51.027万元；即该公司可以有95%的把握认为，二手房交易价格介于35.923万元到51.027万元之间。,Thank You !,
