1、【引用】培训笔记三角函数、向量、三角【引用】培训笔记三角函数、向量、三角恒等变换2011年03月05 日近期参加了新教材的培训，聆听了关于三角函数本质的解读，茅塞顿开，收获颇丰，下面是听课笔记，不一定全面，仅供参考。 改变习惯从理解内容开始以三角函数为例 一、强调“函数的角度”，强调刻画周期现象的数学模型。 三角函数与其他学科的练习与结合非常重要。最重要的是它与振动和波动的联系。“可以它几乎是全部高科技的基础之一”，这是当前数学教学的薄弱环节。 振动和波动都是周期现象，可以三角函数刻画，比如手机、电视机、网络、核磁共振、航天没有三角函数的不行的。 强化发挥单位圆的作用，强调利用 向量 方法，淡
2、化三角恒等变形的技巧内容。 高考中恒等变换以前占的比例大，现在占的比例顶多是中下。 三角函数16课时，三角恒等变形8课时，解三角形8课时。诱导公式2课时，比以前少。 教材编写顺序的变化：和差角独立成章，不是三角函数的核心环节。解三角形不是任意角三角函数的应用。任意角三角函数有它自己的应用。如果要调整，要把 向量 调整到任意角三角函数之前，而不是调整到后面。 思考：为什么这样变化？三角函数与其他函数的不同点到底在哪里？为什么要强调单位圆的作用？ 二、强调单位圆作用的理由 三角函数的本质。过去对三角函数本质的理解是不到位的。 三角函数是匀速旋转这个最简单的圆周运动的本质表现。用数学的模型表达出来就
3、是三角函数。这与三角函数的起源有关系： 匀速旋转运动及其数学研究自古以来就是重大问题，三角学源自天文学。 正弦函数、余弦函数是一对起源于圆周运动、密切配合的周期函数；它们的基本性质则是圆的几何性质（主要是对称性）的直接反应。项武义 圆有哪些几何性质，代数化以后就是三角函数的性质。而且核心是对称性。为什么？因为圆是中心对称图形，而且关于任意一条直径对称。这是唯一的图形。把这个对称性表达出来就是三角函数的性质。 你如果不注意单位圆的作用，你落后了。 三角函数是以角为自变量的函数，角是什么呢？角是“转”出来的。初中不讲方向，也不讲超过一周怎么刻画。高中要在初中的基础上进行拓展，拓展在哪里？高中所讲的
4、角就是转出来的，且要进行定量刻画，于是涉及到，始边和终边必需区分开来，于是必需有方向。大小的问题相对好解决，核心是方向。所以讲任意角是讲方向。带上方向后有什么好处？ 任意角不仅仅是可以取任意值的角，还有方向：将任意角a旋转任意角b，得到的一定是a+b。 有向线段的长度对角的性质无影响，所以只讨论单位有向线段旋转所成的角。把它的起点置于（0,0），终点是（x,y），x2+y2=1于是角就是单位圆上的点在去圆周上旋转所成的，称为任意角。 因此用弧度表示角是必要的。在高等数学中，不用弧度制就会引来麻烦。 三、匀速旋转的研究内容 首先是角，a=wt+a0，a0是角的初始位置。这有数学意义，更重要的是有
5、物理意义。 课程衔接上，物理中的匀速运动在数学之后，于是在数学学习中没有突出其物理意义。 研究单位圆上的点的运动规律这就是三角函数的任务，这也是为什么采用单位圆定义法，它直接体现了单位圆上点的运动规律。与原来的定义完全等价，但是原来的定义绕了一个弯子。只要给出单位圆上的一个点，就给出了正、余弦函数，因此“正弦函数和余弦函数是天造地设的一对圆满姻缘。”两个函数除了相位的差别之外没有其他差别。因此只要研究清楚了正弦函数，余弦函数就清楚了。 而且在这个定义下，三角函数的性质都是定义的推论。这句话要认真琢磨。所有的恒等变形公式也是从定义推出来，包括和差角，它们也是三角函数的性质。诱导公式解决三角函数的
6、旋转对称，和角公式解决旋转任意角的公式与原来角的关系。 三角恒等变形可以进一步简化已没有太大用处了，因为过去是为了制作三角函数表，应付天文学、测量学的需要，现在这种计算用微积分的方法可以轻松完成（有人认为是“培养能力”） 一篇文章：对三角函数定义修改的感悟，湖北阳新实验中学 修改两字不合适选择了另一种定义。数学上任何对象的定义都是不唯一的。任何定义都不是十全十美的。选择了就习惯了。 传统定义概念具有一般化，这种认识是不对的。终边上的点是任意的，单位圆上的点是特殊。这是理解是不对的。单位圆上的点是一般性的，与终边上点了任意性没有任何差异。二者是一致的。 具有很强的知识继承性和发展性。与锐角三角函
7、数。这也是不对的，锐角三角函数是讨论解三角形，任意角是研究周期变化。二者不完全一样。当然借助锐角引入也是可以的。 不从单位圆出发，又要学生养成用单位圆研究的习惯是不容易的。要利用好“先入为主”。 实际教学中用了新的定义之后，学生对定义的应用深入人心。 特殊角三角函数值的理解和记忆带来方便。因为都是轴线角，用坐标很好理解。 有利于三角函数的符号的认识。比如正弦函数值就对着坐标。 加深了对诱导公式的理解。 有利于三角函数图象的教学。 数形结合。 四、三角函数中需要加强的内容 重要的是三角函数的图象与性质的教学。 要充分应用它来解释三角函数的奇偶性、周期性，解释诱导公式的几何意义变换的角度。加强变换
8、的思想的渗透。 诱导公式公式也有几何意义的：圆的对称性，从图形表达就是图象的平移和轴对称。 五、诱导公式 希望在新的处理方式下面，对诱导公式的教学有所变化。变化的核心在于希望能体现诱导公式是圆的对称性的解析表示表现了三角函数的对称性，变化中的不变性和规律性，几何意义是圆的对称性（这是圆的最重要的性质。） 基本不等式其实是表现了两个非负实数两种基本运算（两个实数的加法运算和乘法运算）之后的基本关系。现在有不等式研究会，这属于一生二，二生三的问题。 先让学生讨论终边的关系。 核心思想：充分利用单位圆，把诱导公式处理为圆的性质。 以前诱导公式是怎么讲的？我们会求锐角三角函数的值，能不能将任意角三角函
9、数转化为锐角三角函数呢？可见是将诱导公式看做一中转化的工具。不要机械的记公式，让学生认识诱导公式就是圆的性质。这样教可以教的很简捷、很精彩。如果学生的思考能力比较强的话，可以提问：三角函数反应了单位圆的性质，圆最重要的是对称性，能不能利用圆的对称性，借助于单位圆，与角a的终边关于x轴对称的角b与a之间有什么关系呢？他们的三角函数值之间有什么关系呢？后者是前者的推论。如果学生思考一般，可以采取从具体到一般的方法：/3的函数值我们知道，那么sin(-/3)=?可以做出两个角，先画出终边，观察其关系，多举几个例子，探讨一般的a与-a的关系。这些方法都是一线教师和教研员设计的。后者是薄弱校老师研讨设计
10、出来的。这种设计思路就是教概念如何教。体现了对诱导公式本质的认识。 进一步可以从变换的角度从代数的角度将之固定下来。所有变换aak/2都可以有aa/2和a-a生成。后者是前者的基础，-a是轴对称，/2旋转。这里反应了现代数学核心思想概念之一：变换。传统内容新的处理方法。 为学生负责？迈进大学门槛。迈进大学门槛又怎么样？厌学的遍地都是。我们要教给学生什么东西让他持续发展。 变换是整个数学概念的核心之一。 坐标旋转很好解释aa/2，画个图就可以明白。也可以用 向量 ：ij,j-i，所以 向量 xi+yj变为-yj+xi 该变换的三角函数表达就是a/2的三角函数表达。 讲过复数的三角形式的教师这是很
11、好理解的其中的复数乘法的几何意义。 由此可以导出所有“公式”，由变换导出的！ 如+就是a/2/2。 诱导公式是圆的对称性的表现。 必须抓住三角函数是刻画匀速匀速圆周运动的数学模型，这样才真正抓住了要领，才能以简驭繁：只要让学生真正懂得两个变换所表示的意义，再放手让他们逐步学着由此推导出需要的公式，当然还要在理解的基础上记住。 诱导公式的三要点： 依据三角函数定义 思想方法变换（旋转、对称），数学4讲完，或者在高考复习时研究旋转应该是一个好素材。 工具单位圆 奇变偶不变是强加于人的，增加学生负担的坏东西。 六、如何认识“和（差）角公式” 归根到底是圆的对称性的解析表示：“诱导公式”解决了旋转一直
12、角问题，这里要解决旋转任意角的问题。 圆上任意一点在圆周上任意旋转，结果仍住圆上。 =单位 向量 转任意一个角a到，点B仍住圆上。 单位圆转来转去仍是单位圆，这是他的不变性，也就是它的对称性。 设单位 向量 对于任意角a，将任意转一个b角成，点B仍在圆上，对此有两种看法： 一是与终边对应的角为a+b,所以有：=cos(a+b) i+sin(a+b) j 二是是所以以为横轴建立坐标系，记其上单位 向量 为i,与之垂直的几位j，于是=cosb i +sinb j 接着建立I,j与I,j的关系，代入第二个式子，根据系数相等即可求得公式。 统一在变换下的三角函数公式：关于x轴对称a-a 绕原点的旋转变
13、换：整数周：2k+aa 把公式串起来。所以公式组织在和角公式的麾下。所有公式和和差角公式的变形。 一个老师的改革：只讲和角公式，其他让学生自己推，一般到特殊。 七、更上位地看 函数及其图象、函数的变换（映射）与坐标系德尔变换及其关系、对称性与不变性等都是1819世纪以后的新思想，而且是当代的主流我们应该交给学生先进的东西。 用现代数学教学生传统内容是真正的新。 解题有成就感，但是数学不仅仅是解题。解题不叫教数学，解法一、解法二、题型一、题型二与数学没有关系。 从联系的观点、发展的眼光看。 这样处理三角函数，可以充分利用单位圆发挥 向量 的作用，并充分体现了变换的思想、对称性思想、不变性思想，使
14、三角函数简单、好懂 向来就是复数，复数就是 向量八、三角函数定义的教学过程设计 核心思想是：充分利用单位圆，照顾传统处理，从锐角到任意角。 聚焦于思想性和方法性：如复习的问题：任意角概念与锐角概念的不同是什么？反复体会旋转。引进象限角有什么好处？数学的标准化处理，对角的讨论转为对中变得讨论。弧度制的好处？长度，单位圆上角的运动就是弧长，单位圆的半径是1，于是与实数有了天然的联系。 强调坐标化。 显性组织者：我们知道，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型这个设计解决学习的必要性问题。 从锐角三角函数引入，不熟复述定义，而是画一个锐角，借助于三角板确定正弦值，这个过程中就是在角的终边上任意取一
15、点。 借助于象限角，放到坐标系中，藐视锐角三角函数可以吗？ 这个问题就是要将比值坐标化。 但是比较繁杂，于是提出：能不能把坐标表示的形式简单化？于是引入单位圆，实现单位化。 然后给出定义。没有必要让学生给，老师讲就行，因为定义是一种规定，是一种选择。更多精力放在对定义合理性的理解。 然后讲定义的辨析。第一是用一般函数概念解析定义的合理性。第二，用定义求函数值。 合理性：a给定，终边唯一确定，与单位圆交点确定，x，y唯一确定，函数值唯一确定，所以是符合函数的定义的。 例1例2的作用：例1让学生熟悉定义，从中概括用定义解题的步骤。这样的题目在学生学习定义的过程中是重要的，是落实双基的重要的环节。但
16、很多老师对此不屑一顾。嘉兴会议上学生算cos的函数值-0.998，说明学生不善于用定义解决问题。老师习惯的做法是：这个题目见过吗？熟悉吗？应该问：这个题目涉及到哪些概念？如何变化适合于这个题目的解决。 三角函数概念的精致过程：函数值符号问题，终边与坐标轴重合的三角函数值，终必那相同的教的同名三角函数值， 课堂小结：加强定义教学的思想性，要从问题是怎么提出来的开始自然、水到渠成，思想高度函数模型；研究的思想方法与锐角三角函数的关系的因袭与扩张的关系，化归为最简单的也是最本质的模型和数形结合；归纳概括概念的内涵 九、一点感想 改变习惯是很困难的，但必须改，否则跟不上时代发展的要求。 更深刻地理解所
17、教的内容是改变习惯的基础。 “教什么”是数学教学的首要问题 在透彻了解内容本质的基础上，在用学生能理解的方式呈现出来，这是提高课堂教学质量的必由之路。 没有例子的理论不要讲，因为你也不懂。教学也是这样。 专业化发展到路：三个理解理解数学、理解学生、理解教学。课教不好首先要从数学的理解、学生的理解找原因。 题型技巧概念、思想、方法，不同的教学内容是有差异。 教学设计点评： 角的概念的推广与数的概念的推广有很强的类比性。 课时教学三维目标，还讲到目标的发展。这是太原市教学设计的首页的体现。建议还是要改成课堂教学目标。三维目标不要和课堂教学目标整在一起。三位目标是课程目标，不是课堂教学目标。课程的目
18、标是总体的，套在课堂中会过于宏观。三维目标有内在的统一性，三者谁也离不开谁。在一堂课里是不可能区分开的。 “紧密结合学生的认知水平，激发学生的学习兴趣”是无效的目标。是被迫无奈写的。这样的目标写一个礼拜不重复是不可能做到的。因为它是宏观的，总体的。 三维目标是统一学习过程的三个维度，可以指导教学过程，思想性的东西就是其理性精神，这就是数学的最基本的思想。三维目标是心中有佛，具体制定时要以学段目标、内容特点和学情来确定。教学是要具体而扎实地把课程内容传递给学生，促进学生健康发展。 课堂教学目标：知识、技能、方法为载体在过程中渗透情感态度价值观教育。写的每一条教学目标都要包含教学内容，如果不能包含
19、内容就不要写了。 第二条很对，但是没有把内容写进去：通过类比让学生理解负角概念的引入。通过类比有理数理解任意角的概念。 目标的制定是体现老师的真功夫的地方，体现了你对内容的理解，理解到位，目标才能制定合适。 教学重点、难点写的不错。 难点具体化一些：本节课的难点有两个地方。方向的引入对定量化描述。终边相同的角的集合。不管逆时针还是顺时针都回到原位，具体而言就是k的引入，a是一个代表。如/3是个代表，也可以是7/3。 重点和难点都是根子上的问题。 具体的教学流程中：情境创设做的不错。老师举例还有学生举例。不好的做法：就是老师举例。具体化一点，举完例子还想让学生干什么？师：谈感受，及时旋转方向。章
20、：就是回扣到任意角产生的过程上。任何时候注意：不要离开概念让学生做事情。让学生用概念思考。 概念构建的过程：整体不错。改进之处：与有理数理解时的区别。方向更加突出。 要确定一个角，唯一的确定一个角的条件，可以再强调一下。 这是两件带有本源性的。不要有歧义，要有唯一性，这是数学中重要的一点。 终边相同的角的表示。设计采取了从特殊到一般，这个思路是正确的。在学生讨论思考，归纳的过程再回扣一下形的问题。取数1,2,3的几何意义是什么。数形结学生就清楚了。 比如学生求-390的终边时，转化是学生可能求的k=-1，而不是-2。 概念教学必须体现概念的形成以平面 向量 起始课为例 什么叫做 向量 法。用
21、向量 法解决平面几何、立体几何问题时存在穿了一件 向量的衣服，用的还是综合几何的方法。根本原因在于所用的方法，给出的方法没有充分的体现应用 向量 的优势。即基 向量 的优势。 一、当前概念教学的问题 不重视章节起始课的教学，没有把本章节要解决的问题、基本过程和主要思想方法等纳入到教学任务中； 概念教学走过场，没有给学生充分的概括本质 特征 的机会，认为让学生多做几道题目更实惠。这是误人子弟的教学 有些老师不知如何教概念。 最难教的是概念课，真正显水平的是把复杂的问题用简单的题目讲清楚。概念教学是衡量老师教学水平的试金石。 二、教概念的意义 李邦河院士：数学根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足
22、道也。 以接替教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正规，对学生的数学素养是没有好处的，是削弱数学育人功能的毒瘤。最终是解题水平也不能真正提高，因为他不会变式。 三道高一摸底测试题： 1.解方程：（x+1）2+1=0 学生都是平方展开，化简后用德尔塔判断。这就是长期训练的结果。而这个问题是靠概念，希望学生用方程的解判断。可见学生不会用概念思维。 有的老师在培训现场，还是带着题来做，你很认真，但是这种认真是会害了你的学生的。解题不能围绕概念的教学对于学生的发展没有太大的作用。 2.求出方程x+y-1=0的两组解。 80%的学生是空着的。学生的回到：老师，你的题目出错了。因为两个未知量只给一个方程
23、，怎么解。 这就是老师教坏了，机械操作。中考试卷中二元一次方程不会解错，但是真正的数学学到了吗？ 3.已知a,b都是正整数，且2ab6,求a+b/ab的最大值和最小值。 大部分学生不会做。只要理解了条件，应该是小学生都会做。为什么？学生说：老师你的题目太奇怪了，我们没有见过。这个题目不考知识点，是考分析能力的。学生丧失了这种能力。 计算能力世界第一，想象能力倒数第一，创造力排名倒数第五。 中国的孩子对自己的好奇心和想象力没有自信，只有4.7%认为自己有好奇心和想象力，希望培养的14.9% 4.求y=(sinx+2)2+1的最大值和最小值。 老师讲了几种解法，重点讲将此函数式展开，换元，化归为二
24、次函数最值型。这是中国老师最典型的题型加技巧。 本题应该聚焦在三角函数的有界性，推出sinx+2的范围，逐渐求解，充分应用三角函数和不等式的性质。 5.求函数y=+的最大值和最小值。 一堂高三复习课上的题目。是一道高考复习填空题。老师依然是讲了四种解法。解法1是函数两边平方，可以忍受，因为要去根号。解法二是三角代换，第三种，令u=,v=,转化为直线和圆的位置关系。第四种可以用导数方法，以你为该方法是程序化了所以课上不讲，课后自己解决。 点评：最应该讲的是导数法。第二、第三种方法纯属雕虫小技。 把概念教好，用概念思维。 三、教概念的核心 概括：将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实
25、里为载体，引导学生展开观察、分析各实例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念。 数学老师要有这样的功力，打开数学家的思维，也就是数学的理解。 有功底还要有例子。 四、概念教学的六环节 典型丰富例证属性的分析、比较、综合。例子不是教辅上的例题。收集例子，这是教师专业化发展的抓手。好老师与一般老师的区别在于前者例子多。比如函数开篇的三个例子，尤其后两个是有意而为之，就是没有解析式的函数。接着是思考问题，这就是第二个环节。 概括共同本质 特征 得到概念的本质属性； 下定义（准确的数学语言描述）； 概念的辨析以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义； 用概念作判断的具体事例形成用概念作判断的
26、具体步骤； 概念的精致建立与相关概念的联系。 但是对于教材中简单的题目挖掘不够，简单对答案。接着就补充复杂例题。这是不理解教材编写意图的教学。留下了隐患。 五、“平面 向量 ”起始课的认识 导游图的作用。是本章学习的先行组织者。 应有充分的重视。 根据内容特点确定教学形式： 序言课解析几何 核心概念的引入 从概念的形成角度看内容：重要的不是 向量 的形式化定义及几个相关概念，而是获得数学研究对象、认识数学新对象的基本方法，蕴含了用数学的观点刻画和演技现实事物的方法和途径，这是一个带有“本源”性质的过程，即要使学生从中体会到认识一个数学概念的“基本套路”。 向量 概念的教学： 从具体背景中抽象出
27、共同本质 特征 定义定性表示定量表示：刻画大小就需要“单位元”、“0元”，刻画方向就要定义平行、共线、相反等特殊关系。 什么叫“相等”（这很重要，但往往不备注意），这是分类的需要，数学是研究一类对象的。 六、教学过程简述 1. 向量 概念的形成 引入： 学生举例 向量 的表示 问题：定义概念后通常要用符号表示它。怎样把你所举例子中的 向量 表示出来呢？先让学生自己做，再问学生为什么这么做，最后说明完整地表达是怎样的。 要明确：“既有大小，又有方向”，数与形的统一体，所以只有数或只有形都不足以表示，必须数形结合。 从概念的开始就把它体现出来。 对 向量 几何的认识 问题：你认为在所有 向量 组成
28、的集合中，哪些 向量 较特殊。 追问：大家为什么认为它们最特殊？你们怎么想的？唤醒实数的学习经验，渗透类似实数研究 向量 概念的思想。 注：可以让学生类比1的作用。 2.相等 向量 、平行 向量 、共线 向量 、相反 向量 概念的形成 让学生参与生成。 问题：观察正六边形给图中的一些线段加上箭头表示 向量 ，并说说其关系。 相反 向量 有一些问题，其他学生都能自己解决。 还可以与物理中的矢量进行异同讨论。 3.阅读课本 有没有遗漏，有没有不同。 于是把概念多，又恨容易理解的课上的生动活泼。 4.作业 5.课堂小结 能否画个图将今天的东西梳理一下。 学生：平面 向量 表示方法（几何、代数、模）、
29、特殊对象（0、单位 向量 ）、特殊关系（平行、相等、相反）、 这表示以后还要研究什么呢？ 七、教学反思 1.起始课应把“基本套路”作为核心目标 大家应该好好想一下：什么是真正的 向量 法？ 关于“两角差的余弦公式”的教学分析 一、本节的教学目标 1.体会 向量 法 2.推其他公式 3.进行简单的恒等变形 二、课堂教学的选择 几种方案的比较： （1） 解决好锐角，任意角的推广让学生完成 （2） 用好单位圆的旋转对称性 （3） 直接用 向量 法 （4） 从“锐角问题”引出一般公式的猜想，再用 向量 法证明 教科书用了（4）。理由是：学生感受比较亲切自然，从锐角出发。从特殊到一般、具体到抽象的过程。
30、重点放在用 向量 法。 选择这种方案的代价：三角函数的几何背景削弱；锐角问题并不太容易，要有平面几何的基础；可能导致教学目标的偏差，在解决锐角问题时。 事实上重点放在 向量 法就好了。 三、关于公式教学的思考 讲背景，讲过程。 落实基础。 四、怎样落实基础 五、本课如何落实思维的教学 核心目标：获得公式，在过程中体会“ 向量 法”所有设计都围绕于此。 思维从问题开始： 回到概念去在单位圆上表示出对象 向量 法是如何想到的 由数量积对夹角范围的限制和a-b是任意角的差异，想到讨论a-b取值分布,其中的思维量很大。 数学5中不等式就是讲了3个不等式模型：一元二次、二元一次不等式组、基本不等式。三者相互独立，把其中的线性规划可以放在数学2中讲。 等差数列、等比数列，建议一定要围绕两个数列，其他东西，尤其是递推数列，建议不要搞。 老师的责任是教好基础，剩下的修行在个人。 特别声明： 1：资料来源于互联网，版权归属原作者 2：资料内容属于网络意见，与本账号立场无关 3：如有侵权，请告知，立即删除。
