1、（一）中值问题1. 设 在 上连续，且 ， 试证：在 内)(xf,00)(dxf ,0cos)(0xdf ,存在不同的点 ，使 。证明：法一：由积分中值定理知， ， 利用条件），（),()(0ff知 。,0)(0dxf)(f（反证法）若在 内仅有 ，使 ，则连续函数 分别在 ， 内)(f )(xf,0,不会变号（否则用零点定理可再找到函数的零点）（1）若 在 ， 内都为正（或都为负） ，则有 （或0)的连续函数，证明： 也是周期Txdtftfg00)(为 的函数T证明： TxTTx tfxtfdtfxdtfg 000 )()(令 ， 。tuT uuf0(所以 。)(x17. 设 ，求 。dtg
2、0cos)xg)lim解 （注意罗必达法则失效）因 以 为周期，考虑 ，tcos)1(nx， ，ntxn2)(0 )1(2)()1(0ndn所以 ，由夹挤准则得 。xg)1 2limxg（五）积分方程求解函数18. 设 连续，且 ，求 。)(xf 20)(cos)(dtff )(f解 令 , 方程 两边积分得20Adt20stx，即 ,所以 。2020cs)( Axxf A12故 。xfcos)(219. 设 连续，且 ，求 。xdtfcos1)(0 )(f解 方程两边求导： ，即 ，tfxin)(00 xdtfxsin)(0再求导得 。fcos)(20. 设 ，求,1lndtx )1(xf解 ，1,)(ln)( utdtfxx。xttx211 lnll21. 设 连续，且 ，已知 ，求 。)(xf 20arcn)2(dtxtf 1)(f21)(dxfI解 令 ，则u xxxx ufdufufdttf 2220 )()()()2(方程两边求导得 14fxfx令 ，得 。3I还有不等式证明，定积分几何应用、反常积分内容也是重点哦！
