1、第九章 多元函数的微分法及其应用 1 多元函数概念 1、设 .答案： 2、求下列函数的定义域：(1) (2) 3、求下列极限：(1) （0）(2) (0) 2 偏导数1、设 z= ,验证 证明： ，2、求空间曲线 在点（ ）处切线与 x 轴正向夹角( )3、设 , 求 ( 1)4、设 u=(x2+yz3) 3，求 及 .解: =3(x2+yz3)2 2x=6x(x2+yz3)2 ， =3(x2+yz3)2 z3=3z3(x2+yz3)23(x2+yz3)2 3yz2=9yz2(x2+yz3)25、设 ，证明 : 6、设 ，求 。解：7、设函数 在点 处 的偏导数存在，求 3 全微分1、单选题（
2、1）二元函数 在点 处连续是它在该点处偏导数存在的 D .(A) 必要条件而非充分条件 (B)充分条件而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件（2）对于二元函数 ，下列有关偏 导数与全微分关系中正确的是 B 。(A)偏导数不连续， 则全微分必不存在 （B）偏导数连续，则全微分必存在(C)全微分存在，则偏导数必连续 （D）全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分：(1) 设 求 dz解: (2) 设函数 ( 为常数且 ）求 .解: ；(3) 解：3、设 ，求 dz(1,1)解: ,4、设 ,求：5、讨论函数 在(0,0)点处的连续性 、偏导数、可微性。解： ，所以
3、 在(0,0)点处连续。，所以可微。4 多元复合函数的求导法则、设 ，求解：2、设 ，求3、设 ,，其中 具有二阶连续偏导数，求 。解： ；4、设 ，其中 具有二阶连续偏导数，求 ， ， 解： , ,=,5、设 ，其中 对各变元具有二阶连续偏 导数，求 。解：6、设 ， ，证明： 。证：；类似可求得 ； 。所以 。 5 隐函数的求导公式1、设 ，求解：令 ，2、设 是由方程 确定，求 。解：=3、设 ,其中 可微。 证明: 解： ;= +y =4、设 ，求 ，( ， )5、设 由方程 所确定， 可微，求解：令 ，则6、设函数 是由方程 所确定，求 。解： 7、设 由方程 所确定， 证明： 。证
4、： ；所以6 微分法在几何中的应用1、求螺旋线 在对应于 处的切线及法平面方程解：切线方程为法平面方程2、求曲线 在（3， 4，5）处的切线及法平面方程解：切线方程为 ，法平面方程： 3、求曲面 上点(1,1,1)处的切平面和法线方程。解：设 ，则； ； 。在点(1,1,1)处 ； ； ，所以法向量切平面方程是： ，即 ；法线方程是：7 方向导数与梯度1、设函数 ，(1)求该函数在点(1,3)处的梯度。2)在点(1,3) 处沿着方向的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向解：梯度为 , 方向导数达到最大值的方向为 ，方向导数达到 最小值的方向为 。2、求函数 在(1,2,-1) 处沿方向角
5、为 的方向导数，并求在该点处方向导数达到最大 值的方向及最大方向 导数的值。解：方向导数为 ，该点处方向导数达到最大 值的方向即为梯度的方向，此 时最大值为 3、求函数 在(1,1,-1)处沿曲线 在(1,1,1) 处的切线正方向(对应于 增大的方向)的方向导数。解： ， ，所以该函数在点(1,1,-1)处的方向 导数为 。4、求函数 在(1,1,-1) 处的梯度。解： ，8 多元函数的极值及求法1、求函数 的极值。答案：（ ， ）极小值点2、设函数 由方程 确定，求函数的 驻点。解：设 驻点是(0,0)。3、求 的极值。解： ； 。令 =0, =0，得=2； =-1； =1；在(1,0)点处
6、 =2， ， =1， 0,函数在(1,0) 点处有极值，且由于A=20 取极小 值 。4、求函数 在条件 下的条件极 值。解：，极小值为5、欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为 3 元/平方，侧面造价均为 1 元/平方， 现想用 36 元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。（长和宽 2 米，高 3 米）6、旋转抛物面 被 截成一椭圆，求原点到椭圆的最大与最小距离。解：设 为椭圆上的点，原点 到 的距离为 ，且 满足条件：, 。设令 得方程组：解得： ，, ,根据实际问题，最大距离和最小距离存在，所以 为最小距离； 为最大距离。7、在第一卦限内作椭球面 的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四
7、面体体积最小，求切点坐标。解：椭球面上的点 。设 ，则在 点的切平面法向量是 ，切平面方程：切平面在 轴上的截距是： ；切平面在 轴上的截距是： ；切平面在 轴上的截距是： ；三坐标面与切平面所围的四面体的体积是： 。要求体积的最小值，只要求在条件 下的最大值即可。设：, , ,令 =0, =0, =0，并与条件联立解得 由于根据实际情况，体积的最小值存在，且所求得驻点唯一，所以 即为所求。第九章 自测题一、选择题：（每题 2 分，共 14 分）1、设有二元函数 则 B A、 存在；B、 不存在；C、 存在， 且 在(0,0)处不连续；D、 存在， 且 在(0,0)处连续。2、函数 在 各一阶
8、偏导数存在且连续是 在 连续的 B A、必要条件； B、充分条件；C、充要条件； D、既非必要也非充分条件。3、函数 在(0,0)点处 D A、极限值为 1； B、极限值为-1 ；C、连续 ； D、无极限。4、 在 处 ， 存在是函数在 该点可微分的 A （A）必要条件； （B）充分条件；（C）充要条件； （D）既非必要亦非充分条件。5、点 是函数 的 B （A）极小值点； （ B）驻点但非极值点；（C）极大值点； （D）最大值点。6、曲面 在点 P(2,1,0)处的切平面方程是 C （A） ； （B） ；（C） ； （D）7、已知函数 均有一阶连续 偏导数，那么 B (A) ; (B) ;(
9、C) ; (D) 二、填空题：（每题分，共 18 分）1、 （ 0 ）、设 ，则 （ ）、设 则 ( 0 )、设 ，则在点 处的全微分 dz=( )。、曲线 在点 处的切线方程为( )、曲线 在点(1,1,1) 处的切线方程为( )三、计算题（每题 6 分）1、设 ，求 的一阶偏导数。解：2、设 ，求 的二阶偏导数。解： , , ,3、设 具有各二 阶连续偏导数，求 解：、设 求 和 。解： 不存在，故 不存在，同理， 也不存在。当 时，有5、设 ，求： 。解：1+ 6、设 ，且 具有二阶连续偏导数，求： ， ， 。解：，7、 ，求： 。解： ，=四、试分解正数 为三个正数之和，而使它们的倒数
10、和为最小。解：设三个正数为 ，则 ，记 ，令则由解出 。第十章 重积分 1 二重积分的概念与性质1、设 D 由圆 求 的值 解：由于 D 的面积为 , 故 =2、由二重积分的几何意义求二重 积分的值其中 D 为： ( 解： = )3、 设 f(t)连续 ，则由平面 z=0，柱面 和曲面 所围的立体的体积可用二重积分表示为 （ ）4、设 D 为圆域 若二重积分 = ，求 a 的值。解： = 5、设 D： ， ，比 较 与 的大小关系解：在 D 上， ,故 2 二重积分的计算法1、设 ，其中 D 是由抛物线 与直线 y=x-4 所围成的平面闭区域区域，则 I=（ A ）A ： B ： C： D ：
11、 2、设 D 是由不等式 所确定的有界区域， 则二重积分 为 （ B ）A ：0 B： C： D： 13、设 D 是由直线 x=0,y=2 及 y=x 所围成的区域，则二重积分的值为（ C ）A： B ： C ： D：4、 设 f(x,y)是连续函数，则二次积分 交换积分次序后为（ D ）A B C D 5、设有界闭域 D1、D2 关于 oy 轴对称， f 是域 D=D1+D2 上的连续函数，则二重 积分 为（ A ）A B C D 6、设 D1 是由 ox 轴、oy 轴及直 线 x+y=1 所围成的有界闭域，f 是域 D:|x|+|y|1上的连续函数，则二重积分 为（ B ）A B C D
12、7、设 f(x,y)为连续函数，则 交换积分次序的结果为( C )A B C D 8、设 I= ,交 换积分次序后 I 为：( D )9、改变二次积分的次序： （ = ）10、求 ，其中 由 x=2,y=x,xy=1 所围成. （ )11、设 D=(x,y)|0x1,0y1 ,求 的值解： =12、计算二重积分 ，其中 D=(x,y)| 0x1,0y1解： =13、计算二重积分 ，其中 D 是圆域解： =14、设 I= ,其中 D 是由 x2+y2=Rx 所围城的区域，求 I （解：I= )15、计算二重积分 ，D： 围成的闭区域（ 解：= ） 3 三重积分1、设 是由 x=0，y=0，z=0
13、 及 x+2y+z=1 所围成的空间有界域，则 化为三次定积分的结果为( A ) A B C D 2、设 是由曲面 x2+y2=2z , 及 z=2 所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三重积分表示为累次积分， 则 I=（ B ）A B C D 3、设 是由 所确定的有界闭域，求三重积分 解：先二后一法， = =24、设 是由曲面 z=xy, y=x, x=1 及 z=0 所围成的空 间区域，求 () 5、设 是球域： ，求 (利用偶倍奇零法。因函数关于 z 为奇函数，区域 是球域关于 xoy 面对称，所以原式=0) 6、计算 其中 为：平面 z=2 与曲面 所围成的区域 ()7、计算 其中
14、是由平面 z=0,z=y,y=1 以及 y=x2 所围成的闭区域(2/27) 4 重积分的应用1、求由曲面 =2x, =4x,y=x,y=0 所围成的图形面积 A 2、求曲面 包含在圆柱 内部的那部分面 积解：3、求圆柱体 包含在抛物面 和 xoy 平面之间那部分立体的体积解：4、 曲面 将球面 分割成三部分，由上至下依次记这三部分曲面的面积为 s1, s2, s3, 求 s1:s2:s3解： 第十章 自测题一、选择题: （40 分）1、 =( D ) A B C D .2、设 为 ,当 ( C )时, . A 1 B C D 3、设 ,其中 由 所围成 ,则 =( B ). A; B C D
15、 .4、设 是由三个坐标面与平面 =1 所围成的空 间区域,则 =( A ). A B C D .5 、设 为连续函数，则 ( A ).A B C D . 6、计算 , 围成的立体 ,则正确的为(B )和（C）A B C D . 7、曲面 包含在 圆柱 内部的那部分面 积 (D )A B C D .二、计算下列二重积分:（20 分）1、 ,其中 是 闭区域: (原式= )2、 ,其中 是由直 线 及圆周 , 所围 成的在第一象 限内的闭区域 . (原式 )3、 ,其中 是由 围成的闭区域 ( 原式 )4、 ,其中 : . ( )三、作出积分区域图形并交换 下列二次积分的次序: （15 分）1、
16、 （ ）2、 (= )3、 (= )四、计算下列三重积分:（15 分）1、 其中 是由 平面上曲线 绕 轴旋转一周而成的曲面与平面所围成的区域。 ( )2、 : 所围成的闭区域 (原式 )（或用球坐标计算，原式= )五、 （5 分）设 为连续函数，且 ，其中 D 是由所围成的区域，求解：设 ，则六、 （5 分）设 在 上连续 ,试证: = =第十一章曲线积分与曲面积分 1 对弧长的曲线积分1、设 关于 轴对称， 表示 在 轴上侧的部分，当 关于 是偶函数时， A.0 B. C. D.ABC 都不对2、设 是以点 为顶点的正方形 边界,则 = A. 4 B.2 C. D. 3、有物质沿曲线 ：
17、分布，其 线 密度为 ，则它 的质量 A. B. C. D.4求 其中 L 为由 所围区域的整个边界。解：5 其中 L 为双纽线 。解：原积分=6 其中 L 为 。原积分7 其中 L 为球面 与平面 的交线。解：将 代入方程 得 于是L 的参数方程： ，又原积分=2 对坐标的曲线积分1.设 关于 轴对称， 表示 在 轴上侧的部分，当 关于 是偶函数 时， A.0 B. C. D.ABC 都不对2设 为 的正向，则 A.0 B.4 C.2 D.-23 为 的正向， A.2 B.-2 C.0 D. 4 ，其中 由曲线 从 到 方向解：5 其中 是正向圆周曲线解： 由奇偶对称性 ， ：6 其中为从点
18、 到 的有向线段解： 方程： ，7、过 和 的曲线 族 ，求曲线 使沿该曲线从 到的积分 的值最小解：。 最小，此 时 8、将积分化为对弧长的积分,其中 L 沿上半圆周解：，于是3 格林公式及其应用1.若 是上半椭圆 取顺时针方向,则 = A.0 B. C. . D 2. 设 为 的正向， 则A2 B.-2 C.0 D.3.设 为曲线 的正向， 则A9 B.-18 C. -9 D.0 4.设 是圆 取逆时针方向， 则 解：将方程代入被积函数在由格林公式得5 其中 为点 到 的抛物线 的弧段解：因 故积分与路径无关，取6求 ， 为(1) (2) 正方形边界 的正向解：(1)直接用格林公式=0(2) 设为圆周： 取逆时针方向，其参数方程原积分为 所以7、验证 在 面上是某函数 的全微分，求出解： ， ， 8、设曲线积分 与路径无关，其中 具有 连续的导数，且 ，计算 的值解：取路径：沿 从 到 ；再沿 从 到 则或4 对面积的曲面积分1、计算曲面积分 ，其中 是平面 在第一卦限的部分 解：2、求曲面积分 ，其中 是界于平面 z=0 和 z=H 之间的圆柱面
