1、2.1.1.1 合情推理1 教学目标：(1)知识与技能：掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。(2)过程与方法：通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。(3)情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。2 教学重点：归纳推理及方法的总结。3 教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。4 教具准备：与教材内容相关的资料。5 教学设想：提供一个舞台 , 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究” ，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。6 教学过程：学生探
2、究过程：引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？从而引入两则小典故：（图片展示-阿基米德的灵感）A：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？B：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。思考：整个过程对你有什么启发？启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明” 。生活 观察 猜想 证明归纳推理的发展过程(2)皇冠明珠追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 “歌德巴赫猜想”
3、 。世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690 年， 1725 年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742 年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于 6 的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如 633，1257 等等。公元 1742 年 6 月 7 日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个6 之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个9 之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在 6 月 30 日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他
4、不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 =5 + 13, . . . . 等等。有人对 33108 以内且大过 6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但验格的数学证明尚待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。
5、200 年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠 ”。到了 20 世纪 20 年代，才有人开始向它靠近。1920 年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99） 。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（ 9 十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫” 。思考：其他偶数是否也有类似的规律？讨论：组织学生进行交流、探讨。检验：2 和 4 可以吗？为什么不行？归纳：通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。数学建构把从个别事实中推演出一
6、般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).注: 归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。归纳推理的一般步骤：师生活动例 1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。例 2 前提：三角形的内角和是 1800，凸四边形的内角和是 3600，凸五边形的内角和是5400，结论：凸 n 边形的内角和是（n2）180 0。例 3 ,32,3,1探究：上述结论都成立吗？强调：归纳推理的结果不一定成立！ “ 一切皆有可能！”例 4 已知数列 的第 1 项 ，且 （n=1,2,3
7、，） ，试归纳出这个naa1nna数列的通项公式探索：先让学生独立进行思考。活动：“千里走单骑” 鼓励学生说出自己的解题思路。活动：“圆桌会议” 鼓励其他同学给予评价，对在哪里？错在哪里？还有没有更()abm+由 此 我 们 猜 想 ： 均 为 正 实 数 。实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论好的方法？【设计意图】：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究” ，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。【一点心得】：在“千里走单骑”和“ 圆桌会议”的探究活动中，教师一定要以“鼓励和表扬”为主，
8、面带微笑，消除学生的恐惧感，提高学生的自信心分析：数列的通项公式表示的是数列 的第 n 项 与序号 n 之间的对应关系为此，a我们先根据已知的递推公式，算出数列的前几项解：当 n=1 时， ;1a当 n =2 时， ；2当 n =3 时， ；312a当 n=4 时， 413观察可得，数列的前 4 项都等于相应序号的倒数由此猜想，这个数列的通项公式为na在例 4 中，我们通过归纳得到了关于数列通项公式的一个猜想虽然猜想是否正确还有待严格的证明，但这个猜想可以为我们的研究提供一种方向另解：因为 ，1nna所以 ，即 。1nna 1na所以数列 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，故，即 ()n
9、an能力培养（例 4 拓展）例 4 拓展： ，求12341,2aa?n思考：怎么求 ？组织学生进行探究，寻找规律。n归纳：由学生讨论，归纳技巧，得到技巧和。技巧:有整数和分数时,往往将整数化为分数.技巧:当分子分母都在变化时,往往统一分子 (或分母),再寻找另一部分的变化规律.7教学反思：(1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。(2)归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）（3）合情推理使学生熟悉了掌握知识的过程和方
10、法，提高了观察与分析问题的能力，使得教学过程变成了学生积极参与的智力活动的过程，锻炼和培养了他们深刻的思维能力，从而促进创造能力的提高。1 （ 2006 年 上海卷）已知函数 有如下性质：如果常数 0 ，那么该函数yxaa在 0， 上是减函数，在 ， 上是增函数(aa)（1 ）如果函数 （ 0 ）的值域为 6， ，求 的值；yxb2)b（2 ）研究函数 （常数 0 ）在定义域内的单调性，并说明理由；2c（3 ）对函数 和 （常数 0 ）作出推广，使它们都是你所推广的函yxayx2a数的特例研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明） ，并求函数 )(xF （ 是正整数）在区间 ，2上的最
11、大值和最小值（可利用你的研nx)1(2n)(2 1究结论） 解(1) 函数 y=x+ (x0)的最小值是 2 ,则 2 =6, b=log29.xbbb(2)设 0y1, 函数 y= 在 ,+)上是增函数；4c2x4当 00),其中 n 是正整数 .nxa当 n 是奇数时,函数 y= 在(0, 上是减函数,在 ,+) 上是增函数,2na2在(, 上是增函数, 在 ,0)上是减函数.na2na当 n 是偶数时,函数 y= 在(0, 上是减函数,在 ,+) 上是增函数,nx2n2在(, 上是减函数, 在 ,0)上是增函数.n2nF(x)= +x)1n)(2= )1()1()1( 323220 nn
12、rnrrnnnn xCxCxC 因此 F(x) 在 ,1上是减函数,在1,2上是增函数.所以,当 x= 或 x=2 时, F(x)取得最大值( )n+( )n；21294当 x=1 时 F(x)取得最小值 2n+1.2 （ 2003 年全国高中数学联赛第一试选择题 5）已知 都在（-2，2）内，且yx、，1xy则函数 u = 的最小值是 （ ）2294yx（A） （B ） （C） （D） .581712512这是一道结构简单，表达简洁的很自然的最值问题，但这个看起来简单的问题可难住了许多优秀学生，经过探索，笔者发现本题用 Cauchy 不等式来求解较为方便简捷，现介绍如下：解一：原不等式可变形
13、为 u = = 2294yx22)3(1)(yx对此运用 Cauchy 不等式及二元均值不等式及已知条件得 22)3(1)(yx 51324324)3(2 xyyx等式成立的条件是 且 ，所以 ，但 x、y 异号.,)(21,这一解法的优越性在于过程简捷，思路自然简单明了.本题还可以用无穷递锁等比数列以及不等式证明.证明：由题设知道 ，故由无穷递缩等比数列求和的公式知道)1,0(3,)2(2yx4624621)(1)()33()()xyyx246()()332yy 21xx253xy本题可能来源与如下一个问题的退化情形：本题的历史渊源本题昨天的表现形式本题的籍贯：命题的延伸 1：设 ，求函数3
14、61),(xyzzyx且、的最小值.22294u这是数学教学2001 年第 5 期数学问题解答栏 540 题，原作者给出的解答有很高的技巧性，通过配凑获得解决，是一种不太自然的想法，下面用 Cauchy 不等式给出一种较好的解法.解：根据 Cauchy 不等式及三元均值不等式知 35108)(639)(2(31)()2(1942 22222 xyzzyx zyxu通过上面的解法可以看出，本题的减元情形就是上述竞赛题的表现形式.本题还可以用构造等比数列的方法证明， 数理天地2004.10. 23 页实际上，本题还可以推广为命题的延伸 2： ，求 的最21)!()2,.3,1(), ixnixnii 且 niix12小值.
