1、第 10 课时 变化率与导数、导数的计算及几何意义1了解导数概念的实际背景2理解导数的几何意义3能根据导数的定义求函数 yc，yx，yx 2，y 的导数1x4能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数对应学生用书 P35【梳理自测】一、函数 yf(x)在 xx 0处的导数1若函数 f(x)2x 21 的图象上一点(1，1)及邻近一点(1x，1y)，则 等 y x于( )A4B4xC42x D42x 22已知函数 f(x)sin xln x，则 f(1)的值为( )A1cos 1 B1cos 1Ccos 11 D1cos 13曲线 ye x在点 A(0，1)处的切线斜
2、率为( )A1 B2Ce D.1e答案：1.C 2.B 3.A以上题目主要考查了以下内容：(1)函数 yf(x)从 x1到 x2的平均变化率函数 yf(x)从 x1到 x2的平均变化率为 ，f（ x2） f（ x1）x2 x1若 xx 2x 1，yf(x 2)f(x 1)，则平均变化率可表示为 y x(2)函数 yf(x)在 xx 0处的导数定义称函数 yf(x)在 xx 0处的瞬时变化率 _lim x 0 y x lim x 0为函数 yf(x)在 xx 0处的导数，记作 f(x 0)或 y|xx 0，即f（ x0 x） f（ x0） xf(x 0) .lim x 0 y x几何意义函数 f
3、(x)在点 x0处的导数 f(x 0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点(x 0，f(x 0)处的切线的斜率相应地，切线方程为 yy 0f(x 0)(xx 0)二、基本初等函数导数公式1(教材改编)函数 yxcos xsin x 的导数为( )Axsin x Bxsin xCxcos x Dxcos x2下列求导过程 ；( ) ；(log ax) ；(a x)(eln a x)(1x) 1x2 x 12x (ln xln a) 1xln a(e xln a)e xln aln aa xln a.其中正确的个数是( )A1 B2C3 D4答案：1.B 2.D以上题目主要考查了以下内容：原函数 导
4、函数f(x)c(c 为常数) f(x)0f(x)x n(nQ *) f(x)nx n1f(x)sin x f(x)cos_xf(x)cos x f(x)sin_xf(x)a x f(x)a xln_af(x)e x f(x)e xf(x)log ax f(x) 1xln af(x)ln x f(x) 1x三、导数运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3) f（ x）g（ x） f （ x） g（ x） f（ x） g （ x）g（ x） 2【指点迷津】 1二个区别一个是区别 f(x)与 f(x 0)函数 f(x)在点 x0处的
5、导数 f(x 0)是一个常数；f(x)是函数 yf(x)的导函数是针对某一区间内任意 x而言的第二个区别曲线 yf(x)“在”点 P(x0，y 0)处的切线与“过”点 P(x0，y 0)的切线的区别：曲线 yf(x)在点 P(x0，y 0)处的切线是指 P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为kf(x 0)，是唯一的一条切线；曲线 yf(x)过点 P(x0，y 0)的切线，是指切线经过 P点，点 P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条2三个防范(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆(2)要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别(3)正
6、确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏对应学生用书 P36考向一 导数的运算求下列函数的导数(1)ye xln x；(2)yx ；(x21x 1x3)(3)y ；ln xx2 1(4)yxsin cos ；x2 x2(5)y( 1) .x (1x 1)【审题视点】 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导【典例精讲】 (1)y(e xln x)e xln xe x e x .1x (ln x 1x)(2)yx 31 ，y3x 2 .1x2 2x3(3)y（ ln x） （ x2 1） ln x（ x2 1） （ x2 1） 21x（ x2 1） ln x2x
7、（ x2 1） 2 .x2 1 2x2ln xx（ x2 1） 2(4)先使用三角公式进行化简，得yxsin cos x sin x，x2 x2 12y x (sin x)1 cos x.(x12sin x) 12 12(5)先化简，y 1x1x x 1xx x ，1212y x x12 12 12 32 .12x(1 1x)【类题通法】 (1)总原则：先化简解析式，再求导(2)具体方法连乘积的形式：先展开化为多项式形式，再求导根式形式：先化为分数指数幂，再求导复杂分式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导1求下列函数的导数(1)ye xcos x；(2)y .ex 1ex 1解析：
8、(1)y(e x)cos xe x(cos x)e xcos xe xsin xe x(cos xsin x)(2)y（ ex 1） （ ex 1） （ ex 1） （ ex 1） （ ex 1） 2ex（ ex 1） ex（ ex 1）（ ex 1） 2 .2ex（ ex 1） 2考向二 导数的几何意义(1)(2014郑州市高三质检)直线 ykx1 与曲线 yx 3axb 相切于点A(1，3)，则 2ab 的值为( )A2B1C1 D2(2)(2014昆明市高三调研)若曲线 f(x)acos x与曲线 g(x)x 2bx1 在交点(0，m)处有公切线，则 ab( )A1 B0C1 D2【审题
9、视点】 根据导数的几何意义先对函数求导，针对切点求切线斜率【典例精讲】 (1)直线 ykx1 与曲线 yx 3axb 相切于点 A(1，3)，yx 3axb 的导数 y3x 2a. 解得 a1，b3，2ab1.3 k1 13 13 a1 b，k 312 a )(2)依题意得，f(x)asin x，g(x)2xb，于是有 f(0)g(0)，即asin 020b，b0，mf(0)g(0)，即 ma1，因此 ab1，选 C.【答案】 (1)C (2)C【类题通法】 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点 A(x0，f(x 0)求斜率 k，即求该点处的导数值：k
10、f(x 0)；(2)已知斜率 k，求切点 A(x1，f(x 1)，即解方程 f(x 1)k；(3)已知过某点 M(x1，f(x 1)(不是切点)的切线斜率为 k时，常需设出切点 A(x0，f(x 0)，利用 k 求解f（ x1） f（ x0）x1 x02(2014山东烟台二模)设函数 f(x)g(x)x 2，曲线 yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为 y2x1，则曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为( )A4 B14C2 D12解析：选 A.由题意知 g(1)2，又 f(x)g(x)2x，yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为 f(1)g(1)24.对应学生用书 P3
11、7导数的几何意义求切线时，切点易错(2014杭州模拟)若存在过点(1，0)的直线与曲线 yx 3和 yax 2 x9154都相切，则 a等于( )A1 或 B1 或2564 214C 或 D 或 774 2564 74【正解】 设过(1，0)的直线与 yx 3相切于点(x 0，x )，所以切线方程为 yx 3x30 30(xx 0)，即 y3x x2x ，又(1，0)在切线上，则 x00 或 x0 ，20 20 3032当 x00 时，由 y0 与 yax 2 x9 相切可得 a ，当 x0 时，由 y x154 2564 32 274与 yax 2 x9 相切可得 a1，所以选 A.274
12、154【答案】 A【易错点】 (1)审题不仔细，未对点(1，0)的位置进行判断，误认为(1，0)是切点；(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系【警示】 “曲线 yf(x)在 P点处的切线”与“曲线过 P点的切线”不同，前者P为切点，后者 P不一定为切点此类题首先确定点是否为曲线的切点1(2013高考广东卷)已知曲线 yx 4ax 21 在点(1，a2)处切线的斜率为 8，则 a( )A9B6C9 D6解析：选 D.先对函数求导，利用导数的几何意义得出点(1，a2)处的切线斜率，解方程可得y4x 32ax，由导数的几何意义知在点(1，a2)处的切线斜率ky| x1 42a8，解得 a
13、6.2(2012高考新课标全国卷)曲线 yx(3ln x1)在点(1，1)处的切线方程为_解析：y3ln x4，ky| x1 4，y14(x1)，y4x3.答案：y4x33(2013高考江西卷)设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(ex)xe x，则 f(1)_解析：令 ext，则 xln t，所以 f(x)ln xx，即 f(x)1 ，则 f(1)112.1x答案：24(2013高考江苏卷)抛物线 yx 2在 x1 处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为 D(包含三角形内部与边界)若点 P(x，y)是区域 D内的任意一点，则 x2y 的取值范围是_解析：先利用导数的几何意义求出切线方程，然后得到可行域，再利用线性规划问题的一般解法进行求解由于 y2x，所以抛物线在 x1 处的切线方程为 y12(x1)，即 y2x1.画出可行域(如图)设 x2yz，则 y x z，可知当直线 y x z经过点12 12 12 12A ，B(0， 1)时，z 分别取到最大值和最小值，此时最大值 zmax ，最小值(12， 0) 12zmin2，故取值范围是 . 2，12答案： 2，12
