1、椭圆一 重点难点：椭圆的定义，性质二 知识要点小结：知识点一：椭圆的定义平面内一个动点 到两个定点 、 的距离之和等于常数 ,这个动P1F2 )2(211FaPF点 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若 ，则动点 的轨迹为线段 ；)(2121P21若 ，则动点 的轨迹无图形.FPF知识点二：椭圆的标准方程1当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其中x 12byax)0(a22bac2当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其中 ；注意：y2)( 221只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程；2在椭圆的两种标准方程
2、中，都有 和 ；)0(ba22bac3椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在 轴上时，椭圆的焦点坐标为 ， ；x),(),当焦点在 轴上时，椭圆的焦点坐标为 ，y0c知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆： 的简单几何性质12bax)0(a（1）对称性：对于椭圆标准方程 ：说12byx)0(a明：把 换成 、或把 换成 、或把 、 同时换成 、xyx、原方程都不变，所以椭圆 是以 轴、 轴为y 12byaxy对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线 和 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 ，axby ax。by（3）顶点：
3、椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 12byax)0(a， ， ， )0,(1A),(,1B,(2b线段 ， 分别叫做椭圆的长轴和短轴， , 。 和 分别21 aA21bB21a叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用 表示，记作 。eace2因为 ，所以 的取值范围是 。 越接近 1，则 就越接近 ，从而)0(cae)10(越小，因此椭圆越扁；反之， 越接近于 0， 就越接近 0，从而 越接近于 ，这时2becb椭圆就越接近于圆。 当且仅当 时， ，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为
4、bac。注意： 椭圆 的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）ayx2 2yx； ；)(21PFePMF21；)(221caM（2） ； ； ；(21BF)(21cOF221baBA（3） ； ； ；caAaA1 cPFc1知识点四：椭圆 与 的区别和联系12byx2bx)0(标准方程 12byax)0(a 12bxay)0(ba图形焦点 ，)0,(1cF),(2 ，),0(1cF),(2焦距 22范围 ，axby，bxay对称性 关于 轴、 轴和原点对称顶点 ，)0,(),( ，),0(a),(轴长 长轴长= ，短轴长= a2b离心率 )10(ec准线方程 cax2cay2性质焦半径 ，01
5、ePF02exaPF，01ePF02eyaPF注意：椭圆 ， 的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系2byax2bxa)(都有 和 ， ；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐)0()1(ec2c标也不相同。规律方法：1如何确定椭圆的标准方程？ 任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件 ；一个定位条件焦点坐标，由焦点ba,坐标的形式确定标准方程的类型。2椭圆标准方程中的三个量 的几何意义cba,椭圆标准方程中， 三个量的大小与坐标系无关，是由
6、椭圆本身的形状大小所确定的。分,别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为： ，)0(ba，且 。)0(ca)(22cba可借助右图理解记忆： 显然： 恰构成一个直角三角形的三条边，其中 a 是斜边，,b、c 为两条直角边。3如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看 ， 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。2xy4方程 是表示椭圆的条件均 不 为 零 ）CBA,(2方程 可化为 ，即 ，所以只有 A、B、C 同号，且 AByAx2 12yx12BCyAxB 时，方程表示椭圆。当 时，椭圆的焦点在 轴
7、上；当 时，椭圆的焦点在 轴上。CAxy5求椭圆标准方程的常用方法： 待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数 的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；cba,定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则 c 相同。与椭圆 共焦点的椭圆方程可设为12byax)0(a 122mbyax，此类问题常用待定系数法求解。)(2bm7判断曲线关于 轴、 轴、原点对称的依据： xy 若把曲线方程中的 换成 ，方程不变，则曲线关于 轴对称；xy 若把曲线方程中的 换成 ，方程不变，
8、则曲线关于 轴对称；x 若把曲线方程中的 、 同时换成 、 ，方程不变，则曲线关于原点对称。y8如何求解与焦点三角形PF 1F2（P 为椭圆上的点）有关的计算问题？ 思路分析：与焦点三角形PF 1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式 相结合的方法进2121sin21 PFPFSF行计算解题。将有关线段 ，有关角 ( )结合起来，建立211PF、 212121B、 之间的关系. 21P9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？ 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率 ，因为 ，)10(eac22bac，用 表示为 。0caba、 )10()12
9、eabe显然：当 越小时， 越大，椭圆形状越扁；当 越大， 越小，椭0(ab)10(e圆形状越趋近于圆。例题 1. 下列说法中，正确的是 ( C )A平面内与两个定点 F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆B与两个定点 F1,F2的距离的和等于常数(大于F 1F2)的点的轨迹是椭圆C方程 表示焦点在 x 轴上的椭圆)02cayaxD方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆,(2b练习. 设 ，且方程 x2sin y 2cos 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 ),0 ( B )A B C D 4, ),4( ),43()2,47(例题 2. 焦点分别是(0，1)、(0，1)，且经过点 P 的椭
10、圆标准方程是 ( A )6,1A B C D 132yx 123yx942yx 132yx练习 1. 中心在原点的椭圆，一焦点为 F(0,5 )，直线 l：y3x 2 与椭圆交于 A、B 两点，且线段AB 的中点的横坐标为 ，则该椭圆的方程是 【答案】2 1752yx练习 2. 已知 M(2，0)、N(2，0), 若 PM十 PN6,则 P 点的轨迹方程是 192yx若PMPN 4，则 P 点的轨迹方程是 y=0(-2x2)例题 3. 椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为 (A )A B. 23 43C D 2 21练习 1. 若焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，则 m
11、= （ B ）x12myxA B3 3C D8 2练习 2. 若椭圆 的左焦点为 F， ，右顶点为 A，上顶点为 B，且离心率为 ，)0(12bayx 215则ABF 【答案】 例题 4. 椭圆 与 有 ( C )12byax)0(2byaxA相同的焦点 B相同的顶点C相同的离心率 D相同的长、短轴练习 1. 椭圆短轴长是 2，长轴长是短轴的 2 倍，则椭圆中心到其准线距离是 ( D )A. B. 58 54C. D.3 3练习 2. 曲线 与曲线 （kn0”是“方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆的” （）1mxnyA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条
12、件8.椭圆的短轴长是 4，长轴长是短轴长的 倍，则椭圆的焦距是（）32A. B. C. D.5659.关于曲线的对称性的论述正确的是（） 2FF2CcD1FA.方程 的曲线关于 X 轴对称 220xyB.方程 的曲线关于 Y 轴对称3C.方程 的曲线关于原点对称221xyD.方程 的曲线关于原点对称3810.方程 （a b0,k0 且 k1)与方程21xyk（ab0) 表示的椭圆（ ）.21xyA.有相同的离心率；B.有共同的焦点；C.有等长的短轴.长轴； D.有相同的顶点.第 11 题 10二、填空题：（本大题共 4 小题，共 20 分.）11.（ 6 分）已知椭圆的方程为： ，则 a=_，
13、b=_，c=_，2160xy焦点坐标为：_ _，焦距等于_;若 CD 为过左焦点 F1 的弦，（如图）则 CD 的周长为_.2F12.（ 6 分）椭圆 的长轴长为_，短轴长为 _，21540xy焦点坐标为 四个顶点坐标分别为_ ，离心率为 ；椭圆的左准线方程为 13.（4 分）比较下列每组中的椭圆：（1） 与2936xy ，哪一个更圆 1（2） 与 ，哪一个更扁 260xy2936xy14.（4 分）若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.（ 30 分）求满足下列条件的椭圆的标
14、准方程：（1 ）两个焦点的坐标分别为（0 ，-3） ， （0,3） ，椭圆的短轴长为 8；（2 ）两个焦点的坐标分别为（- ,0） ， （ ,0） ，并且椭圆经过点52(,)311（3 ）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 12(6,)(-3,)P、16.（ 12 分）已知点 M 在椭圆 上，M 垂直于椭圆焦点所在的直线，垂直为2159xyP，并且 M 为线段 的中点，求 点的轨迹方程PP17.（ 12 分）设点 A，B 的坐标为 ，直线 AM,BM 相交于点 M，且它们(,0)()a的斜率之积为 求点 M 的轨迹方程，并讨论 值与焦点的关系.(01k、 k18.（ 12 分）
15、当 取何值时，直线 ： 与椭圆 相切，相交，相mlyxm29164xy离？ 1219.(14 分)椭圆 的焦点分别是 和 ，已知椭圆的离心率21(045)45xym1F2过中心 作直线与椭圆交于 A，B 两点， 为原点，若 的面积是 20，3eOO2AB求：（1） 的值（2）直线 AB 的方程m参考答案1.选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B B C D C B C D C A二.填空题：11 10,8，6， （0， ） ，12，40 12 10，8 ， （ ） ， （-5,0）.（5,0）.（0，-4）.3,（0,4） ， ， 13 ， 14 352x 35三.解答
16、题：15.（1）解：由题意，椭圆的焦点在 轴上，设椭圆的标准方程为y1321(0)yxab由焦点坐标可得 ，短轴长为 8，即 ，所以3c2,4b225abc椭圆的标准方程为2156yx（2）由题意，椭圆的焦点在 轴上，设椭圆的标准方程为21(0)xyab由焦点坐标可得 , 6c5222(5)(5)(33a所以 = =9-5=4，所以椭圆的标准方程为2b2a2194xy(3)设椭圆的方程为 （ ） ，因为椭圆过21mxny0,n12(6,)(-3,)P、解得 所以椭圆的标准方程为：132mn193mn2193xy16.解：设 点的坐标为 ， 点的坐标为 ，由题意可知p(,)pxy0(,)xy 因
17、为点 在椭圆 上，所以有00022yxy m2159 ， 把代入得 ，所以 P 点的轨迹是焦点在 轴上，0159x21536xyy标准方程为 的椭圆.236y17.解：设点 M 的坐标为 ，因为点 A 的坐标是 ，所以，直线 AM 的斜率(,)x(,0)a，同理直线 BM 的斜率 .由已知有()AykxaBMykx化简得点 M 的轨迹方程为,kxa21()aak14当 时，表示焦点在 轴上的椭圆；当 时，表示焦点在 y 轴上的椭圆.01kx1k18.解： 229164yxmy 代入得 化简得()122531640xm22(3)57640当 即 时，直线 与椭圆相切；0,ml当 ，即 时，直线与椭圆相交；当 ，即 或 时，直线与椭圆相离.519.解：（1）由已知 ， ，得 ，3cea4535c所以 220mb（2）根据题意 ，设 ，则 ，212ABFBSA(,)xy1212FBSyA，所以 ，把 代入椭圆的方程 ，得 ，所120Fc4y4503x以 点的坐标为 ，所以直线 AB 的方程为B3、 3yx、
