1、椭圆积分与椭圆函数椭圆函数这个名词我们并不陌生，它是是复变函数论在 19 世纪发展中最光辉的成就之一。它诞生于著名的椭圆积分。椭圆积分是一类相当重要的不定积分。形如：， 。dxcbxaR),(23 dxecxbaxR),(234并且不能通过初等函数表示成有限形状的积分，就称为椭圆积分，其中 R 表示有理式。椭圆积分最初是出现在物理的弹性问题中，后来在解椭圆弧长时，又导致了求解椭圆积分，在单摆问题中，仍有它的身影。数学家逐渐意识到它的重要性，并且开始了专门的研究。椭圆积分的最初研究方法并不是大量针对积分求值，而是将积分简化为椭圆或者双曲线的某些弧长。第一位在这方面做出贡献的是数学家 Guilio
2、 Fagnano。在 1714 年，他开始研究该问题，他发现椭圆有无穷多段弧，它们的弧长差可以用代数式表示，虽然单个弧长不可求。随后，他又着手双纽线的弧长，并且成功找到某些弧长等分点。在 1750 年，数学大师 Leonhard Eular 注意到了 Fagnano 在椭圆积分领域的工作，并且从微分方程的角度重新探索了该问题。Eular 发现 Fagnano 所找到的弧长差仅仅是自己所建立的微分方程的一些特解，并且致力于求解代数形式的通解，还得到了椭圆积分里重要的加法定理。在椭圆积分方面权威性的工作是由 Adrien-Mario Legendre 做出的。Legendre 是我们所熟知的数学家
3、，他的名字存在于各种各样定理中，在他 1825 年的著作椭圆函数研究中，他证明了椭圆函数能化为三种类型： 、 、2sin1kddk2sin1，并且分别称为 Legendre 型第一、二、三22si)sin1(khd类椭圆积分。他还根据参数，造出了庞大的函数值表。然而，Legendre 的工作只是一些积分初等变换的运用，并没有给数学增添任何思想，也未发现这些积分深奥的性质。第一位在椭圆积分上有着卓越贡献的是天才数学家 Niel Henrik Abel。他出生于挪威的一个穷牧师家，一生穷困潦倒，然而他在数学上的杰出思想，可供数学家们工作上百年。1826 年，Abel在 Legendre 所定义的三
4、类椭圆积分上，引进了椭圆积分的反演（即把积分值看做自变量，积分变限看做函数值，相当于求反函数），建立起了椭圆函数。尽管他是从 Legendre 那里取得了自己的研究精华，但 Legendre 仍然对他赞赏有加：“这个年轻的挪威人的智力是多高啊。”当时复变函数论的发展，Abel 便把椭圆函数定义推广到纯虚数上，并且建立了类似于三角函数合角定理的加法定理，有了该工具，Abel 便把实数与纯虚数线性组合，建立了复域上的椭圆函数理论。他的另一伟大发现便是这些函数是双周期的，即存在1，2 两个非零复数 ，对任意整数 n，m ，有 f（z+n1+m2）=f（ z），于是 n1+m2|n、mZ构成 f（ z
5、）的全部周期。事实上，椭圆函数的一个基本周期是平行四边形，将它平行移动n1+m2，对任意整数 n，m，即得到一覆盖整个复平面的周期平行四边形网，每一个周期平行四边形中的性质都和它在基本周期平行四边形中的一样。另一位椭圆函数的发现者是德国数学家 Carl Gustav Jacobi，著名的函数行列式 Jacobi 行列式就以他命名的。他是在 1827 年研究椭圆函数，独立得到了 Abel 所得到的一些结论。Jacobi 还把椭圆函数运用于数论，从而推动其他的分支发展。在 1835 年，受椭圆函数是双周期函数的启发，他证明了亚纯函数不可能有多于两个周期。这个发现开辟了一个新的研究方向：找出所有的双周期函数，该问题推动了复变函数理论的发展。随后，数学家 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass 从级数的角度分析了椭圆函数，完备并美化了这些理论。随后仍有一大批优秀的学者在深入探索，我们就不一一列举。椭圆函数理论在 19 世纪数学领域中占有十分重要的地位。它为改进复变函数理论中的一般定理创造了有利条件。可以说如果没有椭圆函数理论中的一些特例为复变函数理论提供那么多的线索，那么复变函数理论的发展就会很缓慢。
