1、 987 32 1754321江苏省新马高级中学 2011 届高考全真模拟试卷数学试题 2011-5-2一、填空题：共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将正确答案填写在答题纸对应部分。1、已知 为虚数单位，复数 ，则 | z | i 2i1z2、 若实数列 1，a，b，c，4 是等比数列，则 b 的值为3、方程 的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线，则 m 的取值范围是x2m + y24 m = 14、 如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是5、设 为互不重合的平面， 为互不重合的直线，给出下列四个命题：,mn若 ；若 ，
2、则 ；,mn则 ,m,n若 ；若 .,则 ,/n则其中所有正确命题的序号是6、已知函数 ，其图象在点 (1, )处的切线方程为 ,2 1()axbcxff(1f 21yx则它在点 处的切线方程为3,7、设 ，则函数( 的最小值是0,)2x222211sin)(cos)ixx8、设 若 2x2，2y2 ，则 z 的最小值为,yxz9、已知椭圆 的中心为 O，右焦点为 F、右顶点为 A，右准线与 x 轴的21(0)yxaba交点为 H，则 的最大值为|FAO10、 已知数列 满足 ， （ ）， .nb1xb2*N*11|(2,)nnbN若前 100 项中恰好含有 30 项为 0，则 的值为11、在
3、 ABC 中， 6A， D 是 BC 边上任意一点（D 与 B、C 不重合） ，且 22|BC，则 B等于12、已知函数 ， R，则 ， ， 的大小关系为xfsin)()5(f1f）（ 313、设 M1(0，0)，M 2(1，0) ，以 M1 为圆心，| M1 M2 | 为半径作圆交 x 轴于点 M3 (不同于 M2)，记作M 1；以 M2 为圆心，| M2 M3 | 为半径作圆交 x 轴于点 M4 (不同于 M3)，记作M 2；以 Mn 为圆心， | Mn Mn+1 | 为半径作圆交 x 轴于点 Mn+2 (不同于 Mn+1)，记作M n；当 nN*时，过原点作倾斜角为 30的直线与M n
4、交于 An，B n考察下列论断：当 n1 时，| A1B1 |2；当 n2 时，| A2B2 | ；5当 n3 时，| A3B3 | ；2341当 n4 时，| A4B4 | ；345由以上论断推测一个一般的结论：对于 nN*，| AnBn |14、设函数 2()(0)fxabxc的定义域为 D，若所有点 (,),)sftD构成一个正方形区域，则 的值为二、解答题：本大题共六小题，共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15、 （本题满分 14 分）如图,在直三棱柱 1ABC中 , 09AB，,EFG分别是 11,A的中点，且 G.()求证： /CE
5、F平 面 ；习网)求证：平面 平面 .EF1CG1A11BEFGACB16、 （本题满分 14 分）已知向量 )sin,(BAm， )cos,(A， Cnm2si，其中 A、 B、 C为 的内角.()求角 的大小；()若 sin， i， sin成等差数列，且 18)(C，求 的长.B17、 （本小题满分 15 分）已知以点 P 为圆心的圆过点 A（1,0）和 B（3,4）, 线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C、D, 且|CD|= ,410(1) 求直线 CD 的方程; （2）求圆 P 的方程；（3 ）设点 Q 在圆 P 上，试探究使QAB 的面积为 8 的点 Q 共有几个？证明你的结论
6、.18、 （本题满分 15 分）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入乙方在不赔付甲方的情况下，乙方的年利润 （元）与年产量 （吨）满足函数关系 若乙方每生产一吨产品必xt tx20须赔付甲方 元（以下称 为赔付价格） ss（1 ）将乙方的年利润 （元）表示为年产量 （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年wt产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 （元），在乙方按照获得最大利20.ty润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格是多少？s19、 （本题满分 16 分）设数列 的
7、前 项和为 ，满足 ( ， ，tnanS1ntS2n*N为常数) ，且 .1a（）当 时，求 和 ；2t2a3（）若 是等比数列，求 t 的值；n（）求 .S20、 （本题满分 16 分）设 ，函数 .0a2()|ln1|fxax（）当 时，求函数 的单调增区间；2a()f（）若 时，不等式 恒成立，实数 的取值范围.1,)xaxf)(a江苏省新马高级中学高考全真模拟试卷(加试部分）B矩阵与变换已知矩阵 ， ，求满足 的二阶矩阵 2143A41BAXBXC.选修 4 4 参数方程与极坐标若两条曲线的极坐标方程分别为 = 1 与 = 2cos( + ),它们相交于 A，B 两点，求线段 AB 的
8、3长.【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.（本小题满分 10 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形， PA底面 ABCD，点 M 是棱PC 的中点，AM平面 PBD.求 PA 的长；求棱 PC 与平面 AMD 所成角的正弦值.23 （本小题满分 10 分）用 四个不同字母组成一个含 1n*)(N个字母的字符串，要求由 开始，相邻,abcd a两个字母不同. 例如 1n时，排出的字符串是 ； 2n时排出的字符串是,abcd， 如图所示.记这含 1个字母的所
9、有,acbda字符串中，排在最后一个的字母仍是 的字符串的种数为 n.PB CDAM（1）试用数学归纳法证明： ；*3(1),1)4Nnna（2）现从 四个字母组成的含 个字母的所有字符串中随机抽取一,abcd2个字符串，字符串最后一个的字母恰好是 的概率为 ，求证： .P193数学试题一参考答案一、填空题1、 2、2 3、 4、20 0m95、 6、 7、 8、42519、 1/4 10、6 或 7 11、 12、13、 14、 -4二、解答题15、证 :()连接 AG交 BE于 D,连接 ,FEG. ,E分别是 1,的中点， A B且 = ,四边形 AEGB是矩形. D是 的中点(3 分)
10、又 F是 C的中点, C(5 分)则由 B面 , GEF面 ,得 EF面 (7 分)(注:利用面面平行来证明的, 类似给分)() 在直三棱柱 1A中， 1底面 1ABC, 1 1A.abcdn=1abcdn=2acdabdabc又 019ACB,即 1CB 1A, 1面 1BC(9 分)而 G面 , 1 G(11 分)又 1,由() DF ， 11,DFG 平面 AC(13 分)F平面 ，平面 平面 . (14 分)DBE1AC16、解：( ) )sin(cosincosinBBm (2 分)对于 CACi0, ，.si(4 分)又 nm2i， .3,21cos,insi C(7 分)()由
11、BABCAsin,si 得成 等 差 比 数 列 ，由正弦定理得 .bac(9 分)18,18)( CA，即 .36,cosCab (12 分)由余弦弦定理 abab3(cos222 ，,42cc， .6(14 分)17、 17、解：（1） ,AB 的中点坐标为（1,2）1ABk直线 CD 的方程为： 即2()yx30y（2 ）设圆心 ，则由 P 在 CD 上得 -(,)abab又直径|CD|= ，|PA|=410210 -2()代入消去 得 ，a2b解得 或6b2当 时 ，当 时3ab5a圆心 (-3,6)或 （5,2）P圆 P 的方程为： 或 ，2()(6)40xy22()()40xy（3
12、 ） |AB|= ，24当QAB 面积为 8 时，点 Q 到直线 AB 的距离为 ，2又圆心到直线 AB 的距离为 ，圆 P 的半径 ，且 ，210r4210圆上共有两个点 Q，使QAB 的面积为 8.18、解：(1)乙方的实际年利润为： stw200，当 时， 取得最大值ststw221)(20 21stw所以乙方取得最大年利润的年产量 (吨) 7 分20st(2)设甲方净收入为 元，则 v20.tt将 代入上式，得： 210st 43210sv又令 ，得 0v2s当 时， ；当 时， ，所以 时， 取得最大值s0sv20sv因此甲方向乙方要求赔付价格 (元吨) 时，获最大净收入 215 分
13、19、 （ ）因为 及 ，得2t1nSt1nS所以 且 ，解得 -2 分11()aa23同理 ，解得 -4 分232()7a532532 )8(108s（）当 时， ，3n1nSt得 ， -5 分12t两式相减得： （*） -6 分1nat即 12nt当 t0 时， ，显然 是等比数列 -7 分na1na当 时，令 ，可得t12nbt12btt因为 是等比数列，所以 为等比数列，1nan当 时， 恒成立， -8 分221nb即 恒成立，()()n ntttb化简得 恒成立，221()0ntt即 ，解得2()10tt综合上述， 或 -9 分t2t（）当 时，由（*）得11na数列 是以 1 为首
14、项，1 为公差的等差数列，na所以 -10 分()22Sn当 时，由（*）得1t1nat设 （k 为常数）1()nnakt整理得 tt显然 -12 分1kt所以 1()nnatt即数列 是以 为首项， 为公比的等比数列tt所以 ，1()1nnt即 1nntat所以122()()()11nnnt ttStt所以 -16 分12()()()nttnt20、解：（1）当 时，a（2 分）2()ln1fxx2ln(0)xe当 时， ， 在 内单调递增；0e2()fx ()fx1,e当 时， 恒成立，故 在 内单调递增；x20fxf,的单调增区间为 。（6 分）()f(1,)（2 ） 当 时， ，xe2
15、lnfxax()2afx()e， 恒成立， 在 上增函数。0a()0f ()f,e故当 时， 。（8 分）xe2minyfe当 时， ，1()lnxax2() )2afx(1)e（）当 ，即 时， 在 时为正数，所以 在区间 上10()fx(,)()fx1,)e为增函数。故当 时， ，且此时 （10 分）xmin1ya1fe（）当 ，即 时， 在 时为负数，在 时12ae2e()fx(,)2a(,)2axe为正数，所以 在区间 上为减函数，在 上为增函数。故当 时，()fx1,)a(,)e，且此时 。（12 分）min3l2ay()(2affe（）当 ，即 时， 在 进为负数，所以 在区间 上
16、为e()fx(1,)()fx1,e减函数，故当 时， 。（14 分）x2minyfe所以函数 的最小值为 。()yf 2in221,03l,aaee由条件得 此时 ；或 ，此时 ；或 ，102a0a2lnae2ae2ae此时无解。综上， 。（16 分）ae附加题答案B矩阵与变换：解：由题意得 ，5分132A， 10分XB19412325C.选修 4 4 参数方程与极坐标若两条曲线的极坐标方程分别为 = 1 与 = 2cos( + ),它们相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.3解 首先将两曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,得x2 + y2 = 1 与 x2 + y2x + y = 06 分
17、3解方程组 得两交点坐标(1,0),( , )12所以, 线段 AB 的长为 = 3即 AB = .10 分3【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.解 如图, 以 A 为坐标原点 ,AB,AD,AP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,a). PB CDAMxyz因为 M 是 PC 中点,所以 M 点的坐标为 ( , , )，所以 = ( , , )， = (1,1,0)， = ( 1,0,a).1212
18、a2 AM 1212a2 BD BP 因为 平面 PBD,所以 = = 0.即AM AM BD AM BP + = 0,所以 a = 1,即 PA = 1.4 分12 a22由 = (0,1,0), = ( , , ),可求得平面 AMD 的一个法向量 n = ( 1,0,1).又 = ( 1,1,1).所以AD M 121212 CP cos = = = .CP 所以, PC 与平面 AMD 所成角的正弦值为 .10 分23解（1）：证明：（）当 时，因为 ， ，所以等式正确.n10a3(1)04（）假设 时，等式正确，即 ，那么， 时，k *(,1)Nkk1nk因为 ，13(1)3)3(444kkkkkka 这说明 时等式仍正确.n据（） ， （）可知， 正确. 5 分*(),1)Nnna（2）易知 ，13()13()44nnnP当 为奇数（ ）时， ，因为 ，所以 ，又n()nP27n132()479P，所以 ；13()42194当 为偶数（ ）时， ，因为 ，所以 ，又3()n9n(1)3，所以 .综上所述， .10 分(1)3nPP23P
