1、高三数学题型解析（4）27(08 年厦门适应性考试理）(14 分)已知函数 xfln)(1)求证： )0(1(2) 若关于 的方程 在 上有解，求实数 k 的取值范围；x12xkf ),0(求证： n3l4l3n2l)65*Nn答案：解析：()令 ，则 1 分)0(l1)(xxg xxg1(令 ，得0)(xg根据此表可知，当 时， 的最大值为 01x)(xg故当 x0 时，都有 ，即 3 分0)(.1ln(2)解法一： ，则 4 分)(l12xxkhkxxh21当 k0 且 x 趋近于零时， .)(xh此时 在(0，+)上有解5 分(h当 k0 时，令 ，得0(x)0(xk根据此表，当 ，h(
2、x)的最小值为kxkln21分6依题意，当 ，即 时，关于 x 的方程0ln21ek12)(xkf在(0，+)上有解，7 分综上：k0 时， ，等价于 4 分12lnx2ln1xk令 ，则 5 分012xF3l)(F令 ，得)(e根据此表可知，当 时， 的最大为 6 分ex1)(xF2e又当 ，且 趋近于零时， 趋向于负无穷大0x依题意，当 ，即 k1 时， x1ln令 )2,(*kNx则 9 分k1ln于是 n3l4l32l )31()41(3)21( n10 分12(nn又当 时，Nmmm321313mmm321321 m3111于是 65)(4132nn故 )31(nn 653n所以原不
3、等式成立14 分且 在-1,0和0，2的相反的单调性xf(1)求 c 的值：(2)若函数 在0,2和4,5上也有反的单调性， 的图象上是否存在一点 M，使得)(f )(xf在点 M 的切线斜率为 3b?若存在，求出 M 的坐标，若不存在，请说明理由xf(3)求|AC|的取值范围答案：解析：(1) 在-1，0和0,2上有相反的单调性，xfcbxf,23是 的一个极值点，故 得 c=00x)( 0(2)令 ，得 ， ，f2x1.32bx因为 ，在0，2和4，5上有相反的单调性，)(x在0，2和4,5上有相反的符号，故 7 分f 3642假设在点 ，使得 在点 M 的切线斜率为 3b，则0,yxMx
4、f bxf0即 320b)(4),9(4362bb而 ,6，故不存在点 使得 在点 M 的切线斜率为 3b9 分00,yxM)(xf(3) 的图象过点 B(2，0)，)(xf，设bdb486,48)0,(,CA依题意可令 )(2)()xxf 2)2(23 xx则 ，即 12 分2db2db4)(|sAC1622bsdbs36b当 时， ，当 时， ，3|mac3|minAC故 14 分4|29.(06 年天津卷理)(12 分)已知函数 ，其中 为参数，且cos163)(23xf ,Rx.20(1)当 时，判断函数 是否有极值；0cos)(f()要使函数 的极小值大于零，求参数 的取值范围；xf
5、()若对()中所求的取值范围内的任意参数 ，函数 在区间 内都是增)(xf),12(a函数，求实数 的取值范围。a答案：解析： ()当 时， ，则 ，在（-，+）内是增函数，0cos34)(xff故无极值。() ，令 ，得612)(xxf )(f 2cos,01x由()，只需分下面两种情况讨论。当 时，随 x 的变化， 的符号及 的变化情况如下表：0cos)(xf)(f因此，函数 在 处取得极小值)(xf2cos),2cos(f且 .16342cosf要使 ，必有0)(.0)143(cos2可得 3cos0由于 ，故 或2026613当 时，随 的变化， 的符号及 的变化情况如下表：cosxx
6、fxf因此，函数 住 x=0 处取得极小值 ，且xf 0fcos163f若 ，则 矛盾。所以当 时， 的极小值不会大于零。0)(f.0coscos)(x综上，要使函数 在(-，+)内的极小值大于零，参数 的取值范围为xf).61,23(),6()由()知，函数 在区间 与 内部是增函数(xf)0,(),2cos(由题设，函数 在 内是增函数，则 须满足不等式组)f,1aa012a或 cos21a由（)，参数 时， ，要使不等式)61,23(),6(23cos0cos21a关于参数 恒成立，必有 ，即4312aa8综上，解得 或0a84所以 的取值范围是 )1,3,(30(06 年四川卷理)（1
7、4 分)已知函数 ， 的导函数是 对任意两个不相等的正0ln2(xaxf )(f)(xf数 ，证明：21x、(I)当 时，0a)2(2)(11xfxff(II)当 时，4|)| 11f解析：证明：(I)由 ，得xaxln(2)2211xff )l(212121321ln)( xa2l41212xxf 而 21212121 )(4)( xxxx又 212121 42121xx|2lnl121x0all121x由、得 212121ln)( xaxx 212121ln4xax即 )(fff()证法一：由 xaxln)2得 xf2 |)2()(| 1211 xaxff |2| 21121 xa|)(|
8、 2121xff |2121下面证明对任意两个不相等的正数 ，有 恒成立：21,x1221xa即证 成立2121xa212121 4)(x设 )0()(,tut则 ，令 ，得 ，列表如下：24)(txx3tatu41083)( ax2121对任意两个不相等的正数 ，恒有21,x| 212xff证法二：由 ，得afln)(2ax)()| 12121 xxff|22|)(2| 21211 xax是两个不相等的正数21,2121xa 213212121 4)()(4xxa设 ，21xt0)(3tttu则 ，列表：34)(tt，即12738u1)(221xa|21xff |)(| 212212 x即对
9、任意两个不相等的正数 ，恒有21,x|)(| 2.1fxf31(06 年四川卷文)(14 分)已知函数 ，其中 是 的导函数。,3)(axf 5)(afg)(xff(I)对满足 的一切 的值， 都有 求实数 x 的取值范围：10xg()设 当实数 m 在什么范围内变化时，函数 的图像与直线 只有一2a )(fy3y个公共点。答案：本小题主要考察函数的单调性、导数的应用、解不等式等基础知识，以及推理能力、运输能力和综台应用数学知识的能力。解析：(I)由题意 53)(2axg令， 1a对 恒有 ，即10)()(，即 , 解得)(0832x132x故 时，对满足 的一切 a的值，都有1,2x10g(
10、) 23mxf当 m=0 时， 的图象与直线 只有一个公共点1f 3y当 时，列表：01|2|mxff最 小又 的值域是 R，且在 上单调递增|,当 时,函数 的图象与直线 只有一个公共点。|mxxfy3y当 时，恒有|)()m由题意得 ,即 ,解得3|(f 1|2|23)2,0(),(33m综上，m 的取值范围是 )(32(08 年宁夏、海南卷理)(本小题满分 12 分)设函数 ,曲线 在点 处的切线方程为Zbaxf,1(xfy)2,f 3y()求 的解析式：)()证明：函数 的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心：)(fy()证明：曲线 上任一点的切线与直线 和直线 所围三角形的面积为定
11、x1xxy值，并求出此定值答案：【解析】(1) ,于是 ,2)()(bxaf 012ba解得 或1ba38,49因 ，故Z, 1)(xf()证明：已知函数 ,都是奇函数所以函数,1y2 xg1也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形而 ,)(f可知，函数 的图像按向量 平移，即得到函数 的图像，故函数 的图xg1,axfxf像是以点(1，1)为中心的中心对称图形()证明：在曲线上任取一点 ,由 知，过此点的切,00x200)1()(xf线方程为 102xy )()1(020令 ,得 ,切线与直线 交点为1x0x1,0x令 ,得 ,切线与直线 交点为 ,y12xy2,0直线 与直线 的交点
12、为(1，1)1xy从而所围三角形的面积为 |12|1|200xx 2|00x所以，所围三角形的面积为定值 233(08 年宁夏、海南卷文)(本小题满分 12 分)设函数 ,曲线 在点xbaf )(xfy处的切线方程为)2(,f 0147yx(1)求 的解析式；xy(2)证明：曲线 上任于点处的切线与直线 和直线 所围成的三角形面积)(f xxy为定值，并求此定值。答案：【解析】(1)方程 ,可化为 ,01247yx347y当 时， ,又 ,于是 ,解得2x1y2)(xbaf4721baba故 xf3)(2)设 为曲线上任一点，由 ,知曲线在点 ),(0yxP处的切线方程为,0yP231xy，即
13、020031x 0200令 得, ,从而得切线与直线 的交点坐标为0x06xy0x06,x令 ,得 ,从而得切线与直线 的交点坐标为2y)2,(所以点 ),(0yxP处的切线与直线 所围成的三角形面积为 ,x,0 6|10x故曲线 上任一点处的切线与直线fy,所围成的三角形面积为定值，此定值为 6；34(08 年全国卷 2 理)(本大题满分 12 分)设函数 xxfcos2in)()求 的单凋区间；)xf()如果对任何 ,都有 ,求 的取值范围0axf答案：解：(1) 2cosin2)( xxf 2)cos(1x当 时， ,即Zkk33210f当 时 2csx,即x,4.)(x因此 在每于个区间 是增函数，f Zkk),32(在每一个区间 是减函数)(x ,32()令 ,)(xfag则 2)cos(1)(Ax 2)cos(3csxxa 31)cos1(2.ax故当 时， ,又 ，31a0xg(所以当 时， ,即axf当 时令 ，则0xh3sinah3cos)(故当 时，)3co,arx.0因此 在 上单调增加hs故当 时， 即 ,于是，当 时，)arc,0(x ,)(hxax3sin)3cos,0(arxaxxxf 3sinco2i)(当 时，有0a201)(f因此， 的取值范围是 ,3
