1、高中数学新题型选编（共 70 个题）1、 （）已知函数： 求函数 的最小1()2()(),0,)nnfxaxnN ()fx值;（）证明: ；()(0,)nnabbN（）定理:若 均为正数,则有 成123,k 123123()nnn nk kaaa 立(其中 请你构造一个函数 ，证明：,)kN为 常 数 ()gx当 均为正数时，1231,kaa 1231231()nnn nk kaaa 2、用类比推理的方法填表等差数列 中n 等比数列 中nb32ad q2345a 54123433、10定义一种运算“*”：对于自然数 n 满足以下运算性质：（i） 1*1=1， （ii） （n+1）*1= n*1
2、+1，则 n*1 等于多少？4、若 为 的各位数字之和，如： ， ，则)(nf*)(12N1974217;记 _71 )8(*,),()(,)(, 20112 fNkfffff k 则5、下面的一组图形为某一四棱锥 S-ABCD 的侧面与底面。（1）请画出四棱锥 S-ABCD 的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；（2）若 SA 面 ABCD，E 为 AB 中点，求二面角 E-SC-D 的大小；（3）求点 D 到面 SEC 的距离。6、一个计算装置有一个入口 A 和一输出运算结果的出口 B，将自然数列 中的(1)n各数依次输入 A 口，从 B 口得
3、到输出的数列 ，结果表明：从 A 口输入 时，从naa a aaa a 22aaa aB 口得 ；当 时，从 A 口输入 ，从 B 口得到的结果 是将前一结果 先13a2nnna1na乘以自然数列 中的第 个奇数，再除以自然数列 中的第 个奇数。试问：1n1（1） 从 A 口输入 2 和 3 时，从 B 口分别得到什么数？（2） 从 A 口输入 100 时，从 B 口得到什么数？并说明理由。7、在ABC 中， ，给出ABC 满足的条件，就能得到动点 A),(0,),(yxACB的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：条件 方程ABC 周长为 10 ：125yABC 面积为 10 ：2C)0(4y
4、xABC 中，A=90 ：31592则满足条件、的轨迹方程分别为 （用代号 、 、1C2填入）3C8、已知两个函数 和 的定义域和值域都是集合1,2,3,其定义如下表. )(xfg填写下列 的表格,其三个数依次为)(xfg多少？9、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“ ”如下：当 时， ；aba当 时， 。b2则函数 的最大值等于多少？fxxx()()12，（“”和“”仍为通常的乘法和减法）10、已知 ， x表示不大于 x 的最大整数，如 ， ， ，则R3120_；使 成立的 x 的取值范围是_ 313x 1 2 3f（ x） 2 3 1 x 1 2 3g（ x） 1 3 2x 1 2
5、 3g (f（ x） ) 11、为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线 上”这个课题，我们可yx以分三步进行研究：（I）首先选取如下函数：， ，yx21yx2yx1求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标：与其反函数 的交点坐标为（1，1）与其反函数 的交点坐标为（0，0） ， （1，1）yx21yx2与其反函数 的交点坐标为（ ） ，1， ()521，（1，0） ， （0，1）（II）观察分析上述结果得到研究结论；（III ）对得到的结论进行证明。现在，请你完成（II）和（III） 。12、设 M 是由满足下列条件的函数 构成的集合：“方程 有实数根；)(xf )(xf0函数 的导
6、数 满足 .”)(xf)(xf 1)(0f（I）判断函数 是否是集合 M 中的元素，并说明理由；4sin2（II）集合 M 中的元素 具有下面的性质：若 的定义域为 D，则对于任意)(xf )(xfm，n D，都存在 m，n，使得等式 成立” ，0)(0xfmnn试用这一性质证明：方程 只有一个实数根；0)(xf（III ）设 是方程 的实数根，求证：对于 定义域中任意的1x)(f )(xf2|)(|,1|,|, 33232 fxfxx 时且当13、在算式“2+1=30”的两个口中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，则这两个数应分别为 和 .14、如图为一几何体的的展开图，其中 ABC
7、D 是边长为 6 的正方形，SD=PD6， CR=SC，AQ=AP，点 S,D,A,Q 及 P,D,C,R 共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使 P，Q，R， S 四点重合，则需要 个这样的几何体，可以拼成一个棱长为 6 的正方体。15、用水清洗一堆蔬菜上残留的农药的效果假定如下：用 x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与这次清洗前残留的农药量之比为 21()f（）试解释 的实际意义； (0)f（）现有 a（a0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成 2 份后清洗两次哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少？请说明理由16、直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数
8、f(x)的图象恰好通过k(kN*)个格点，则称函数 f(x)为 k 阶格点函数。下列函数： f(x)=sinx； f(x)= (x1) 2+3； ，;)31(xfxf6.0log)(其中是一阶格点函数的有 .17、一水池有 2 个进水口,1 个出水口,一个口进出水速度如图甲、 乙所示.某天 0 点到 6 点,该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口),给出以下 3 个论断：进水量 出水量 蓄水量甲 乙 丙（1）0 点到 3 点只进水不出水；（2）3 点到 4 点不进水只出水；（3）4 点到 6 点不进水不出水。则一定不确定的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上)。18、已知等比数列a
9、 n的前 n 项和为 Sn.() 若 Sm，S m2 ，S m1 成等差数列，证明 am，a m2 ，a m1 成等差数列；() 写出()的逆命题，判断它的真伪，并给出证明.19、2005 年底，某地区经济调查队对本地区居民收入情况进行抽样调查，抽取 1000 户，按本地区确定的标准，情况如右表：本地区在“十一五”规划中明确提 出 要 缩 小 贫 富 差 距 ， 到 2010 年要实现一个美好的愿景，由右边圆图显示，则中等收入家庭的数量在原有的基础要增加的百分比和低收入家庭的数量在原有的基础要降低的百分比分别为 ( )A25% , 27.5% B62.5% , 57.9% C25% , 57.
10、9% D62.5%,42.1%20、一个三位数 abc 称为“凹数” ，如果该三位数同时满足 ab 且 bc，那么所有不同的三位“凹数”的个数是_21、定义运算 ，若复数 ， ，则 。cabcdix32iy14x3y时 间01 时 间01时 间0465高收入 中等收入 低收入125 户 400 户 475 户65%20% 15%22、从装有 个球（其中 个白球，1 个黑球）的口袋中取出 个球1nnm,共有 种取法。在这 种取法中，可以分成两类：一类是取出0,mNmC1mn的 个球全部为白球，共有 ，即有等式：0101nC成立。试根据上述思想化简下列式子：1mmnnC2kmkknC。 。(1,)
11、N23、定义运算 xy= ，若|m1|m=|m1| ，则 m 的取值范围是 )(y24、在公差为 的等差数列 中，若 是 的前 项和，则数列0dnanSa也成等差数列，且公差为 ，类比上述结论，相应地在34230120,SS d10公比为 的等比数列 中，若 是数列 的前 项积，则有 )(qnbnTnb。10304210 , qT且 公 比 为也 成 等 比 数 列25、考察下列一组不等式： 将上述不等式在左右两端仍为 212253342235两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为0,0nmbababamnnm26、对任意实数 ，定义运算 ，其中 为常数，
12、等号右边的yx, cxyyx*cba,运算是通常意义的加、乘运算。现已知 ，且有一个非零实数 ，使得对63*2,41m任意实数 ，都有 ，则 m 等于多少？*27、对于任意实数 ，符号 表示 的整数部分，即 是不超过 的最大整数” 。在实数xxx轴 R（箭头向右）上 是在点 左侧的第一个整数点，当 是整数时 就是 。这个函x数 叫做“取整函数” ，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么x=_1024log4log3l2log1l 222 28、我国男足运动员转会至海外俱乐部常会成为体育媒体关注的热点新闻。05 年 8 月，在上海申花俱乐部队员杜威确认转会至苏超凯尔特人俱乐部之前，各种媒体就
13、两俱乐部对于杜威的转会费协商过程纷纷“爆料”：媒体 A：“, 凯尔特人俱乐部出价已从 80 万英镑提高到了 120 万欧元。 ”媒体 B：“, 凯尔特人俱乐部出价从 120 万欧元提高到了 100 万美元，同时增加了不少附加条件。 ”媒体 C：“, 凯尔特人俱乐部出价从 130 万美元提高到了 120 万欧元。 ”请根据表中提供的汇率信息（由于短时间内国际货币的汇率变化不大，我们假定比值为定值） ，我们可以发现只有媒体-（填入媒体的字母编号）的报道真实性强一些。29、已知二次函数 同时满足：不等式 的解集有且只Rxaxf2 0xf有一个元素；在定义域内存在 ，使得不等式 成立。21021设数列
14、 的前 项和 ，nanfS（1）求数列 的通项公式；（2）试构造一个数列 ， （写出 的一个通项公式）满足：对任意的正整数 都有nbn n，且 ，并说明理由；nab2limn（3）设各项均不为零的数列 中，所有满足 的正整数 的个数称为这个数nc01ici列 的变号数。令 （ 为正整数） ，求数列 的变号数。ncnna1n30、在 R 上定义运算：xy=x(1 -y) 若不等式(x-a)(x+a)0)上变化，求 x22y 的最大值；142yx（3）由 能否确定一个函数关系式 ，如能，求解析式；如不能，210bf再加什么条件就可使 之间建立函数关系，并求出解析式。、32、用锤子以均匀的力敲击铁钉
15、入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的 。已知一个铁钉受击 次后*1Nk3全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的 ，请从这个实事中74提炼出一个不等式组。33、已知 ，记 ， （其中 ） ，NxP,91cdabcf, Pdcba,例如： 4,32f。设 ，且满足 ，01Pyxvu,6,39, vxyufyxvuf和则有序数组 yxvu,是 。 9,16815,710527vyxuv34、 （12=9+3） （理）设 表示幂函数 在 上是增函数的 的集合；P652cy0c表示不等式 对任意 恒成立的 的集合。 （1）求 ；Q21cxRxQP（2）试写出一个解集为 的不等式。Q35、 （理）已知 为正常数。axaxf ,23（1）可以证明：定理“若 、 ，则 （当且仅当 时取等号） ”Rbb2ba推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明） ；（2）若 在 上恒成立，且函数 的最大值大于 ，求实数 的取值0xf2, xf1范围，并由此猜测 的单调性（无需证明） ；xfy（3）对满足（2）的条件的一个常数 ，设 时， 取得最大值。试构造一a1xf个定义在 上的函数 ，使当 时，NkxD,24,2且 g2,x，当 时， 取得最大值的自变量的值构成以 为首项的等差数xfgg1列。
