1、应用性问题的解法 1.内容概要：高考对数学应用和实践能力的考查要求是：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题；能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能够对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述、说明。解答数学应用题是分析问题和解决问题的能力的高层次表现，反映出考生的创新意识和实践能力。从 2000 年新课程的试卷，突出新增加的向量，概率，导数等知识的应用性。但是应用题的范围是很广泛的，除以概率为模型之外，建立函数，数列，三角，曲线等模型解决实际问题也
2、应该成为复习的重点。要想掌握好高考试题中应用问题的求解,重点在于提高整理分析实际问题中的数据,抽象概括出数学模型的能力和数学中的综合推理演算的能力.2.典例精析：类型一：函数应用题例 1：（2008 年湖北卷理科）水库的蓄水量随时间而变化，现用 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，t某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于 的近似函数关系式为124(0)5,10,)432.xtetVtt（）该水库的蓄求量小于 50 的时期称为枯水期.以 表示第 1 月份（1iti）,同一年内哪几个月份是枯水期? 全 品高考网1,2i（）求一年内该水库的最大蓄水量（取 计算）.27e分析：本小题主要考查
3、函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.解析：（）当 时， ，化简得01t124()0)50xVtte,214t解得 ，或 ，又 ，故 .tt01tt当 时， ，化简得012()4)(350V,(1)34tt解得 ，又 ,故 .4103t012t012t综合得 ,或 ；故知枯水期为 1 月，2 月，3 月，11 月，12 月共 5 个月.()()知：V(t) 的最大值只能在（ 4，10）内达到.由 V （t）= ),8(21)24(1 tctctt令 V (t)=0,解得 t=8(t=-2 舍去).当 t 变化时，V (t) 与 V (t)的变化情况如
4、下表：t (4,8) 8 (8,10)V (t) + 0 -V(t) 极大值由上表，V(t )在 t8 时取得最大值 V(8)8e 2+50-108.52(亿立方米 ).故知一年内该水库的最大蓄水量是 108.32 亿立方米类型二：数列应用题例 2：（2007 年安徽卷理科）某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为 a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 d（d0） ，因此，历年所交纳的储务金数目 a1，a 2，是一个公差为 d 的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为 r（r0） ，那么，在第 n 年
5、末，第一年所交纳的储备金就变为 a1（1r） a1 ，第二年所交纳的储备金就变为 a2（1r） a2 ，以 Tn 表示到第 n 年末所累计的储备金总额.（）写出 Tn 与 Tn1（n2）的递推关系式；（）求证：T nA nB n，其中A n是一个等比数列， B n是一个等差数列.分析：本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力解析：（）我们有 1()(2)nnTra（） ，对 反复使用上述关系式，得1a2 21()()()nnnnTrrr， 112a在式两端同乘 ，得r12121()()()()
6、()nnn nnrTarrarr ，得 1nda1()()nndrr即 122naraT如果记 ， ，()nAr1rdBn则 nnB其中 是以 为首项，以 为公比的等比数列； 是以12()ard1(0)rnB为首项， 为公差的等差数列12r类型三：其他类型的应用题例 3：（2008 年湖南卷理科）在一个特定时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 且与点 A 相45距 40 海里的位置 B，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 + (其中 sin =2 ， )且与点
7、 A 相距 10 海里的位置 C. 609 13（I）求该船的行驶速度（单位：海里/ 小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解: （ I）如图，AB =40 ，AC=10 ，2136,sin.BAC由于 ,所以 cos =09 2561().由余弦定理得 BC= 2cos10.ABCA所以船的行驶速度为 （海里/ 小时）.10523（II）解法一 如图所示，以 A 为原点建立平面直角坐标系，设点 B、 C 的坐标分别是 B（ x1，y 2）, C（x 1，y 2）,BC 与 x 轴的交点为 D.由题设有，x 1=y1= AB=40,2x2=ACco
8、s ,03cos(45)30CADy2=ACsin 1in2.所以过点 B、 C 的直线 l 的斜率 k= ,直线 l 的方程为 y=2x-40.10又点 E（0 ，-55）到直线 l 的距离 d= |54|357.所以船会进入警戒水域.解法二: 如图所示，设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q.在ABC 中，由余弦定理得，22cosABC= = .2224015013从而 2910sincos.ABCABC在 中，由正弦定理得， QAQ=1042sin4.(45)ABC由于 AE=5540=AQ，所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间，且 QE=AE-AQ=15.过点 E 作 EP B
9、C 于点 P，则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离.在 Rt 中，PE =QEsinQsinsin(45)QCABC= 5137.所以船会进入警戒水域.3、知识整合1求解应用题的一般步骤是（四步法）：（1） 、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；（2） 、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；（3） 、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；（4） 、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证.2在近几年高考中，经常涉及的数学模型，有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模型等等.函数模型 函数是
10、中学数学中最重要的一部分内容，现实世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决. 根据题意，熟练地建立函数模型； 运用函数性质、不等式等知识处理所得的函数模型.数列模型 在经济活动中，诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年（月）份有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时，是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合一定的规律，可先从特殊的情形入手，再寻找一般的规律 几何模型 诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图
11、形的性质，或用方程、不等式或用三角函数知识来求解.4、跟踪练习1.因液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说非常小.为减少汽车尾气对城市空气的污染，促进城市的健康发展，某市决定对出租车进行使用液化气替代汽油的工作.请根据以下条件： 当前汽油价格为 2.8 元/升，一升汽油大约能跑12 千米；当前液化气价格为 3 元/ 千克，一千克液化气平均可跑 1516 千米；一辆出租车平均日行程 200 千米。（）说明使用液化气比使用汽油更经济（即省钱）;（）假设出租车改装液化气设备需 5000 元，请问多长时间省出的钱可以等于引进设备的钱。2. 通过研究学生的学习行为，专家发现
12、，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设 f(t)表示学生注意力随时间 t（分钟）的变化规律（ f(t)越大，表明学生注意力越集中） ，经过实验分析得知：)402(387140)(2tttttf（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（2）讲课开始后 5 分钟与讲课开始后 25 分钟比较，何时学生的注意力更集中？（3）一道数学难题，需要讲解 24 分钟，并且要求学生的注意力至少达到 180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？3. 某公司全年
13、的利润为 元,其中一部分作为奖金发给 位职工,奖金分配方案如下:bn首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同 )从大到小, 由 1 到 排序,第一位职工得奖金元, 然后再将余额除以 ,发给第二位职工 ,按此方案将奖金逐一发给每位职工, 并将最nbn后剩余部分作为公司发展基金.(1) 设 为第 位职工所得奖金额,试求 并用 .(不必ka1k,32akan表 示,证明)(2) 证明 ,并解释此不等式关于分配原则的实际意义 ;,1,21nk4. 关于某港口今后 20 年的发展规划，有如下两种方案：方案甲：按现状进行运营。据测算，每年可收入 760 万元，但由于港口淤积日益严重，从明年开始需投资进行清淤
14、，第一年投资 50 万元，以后逐年递增 20 万元。方案乙：从明年起开始投资 6000 万元进行港口改造，以彻底根治港口淤积并提高吞吐能力。港口改造需用时 4 年，在此期间边改造边运营据测算，开始改造后港口第一年的收入为 320 万元，在以后的 4 年中，每年收入都比上一年增长 50%，而后各年的收入都稳定在第 5 年的水平上。（1 ） 从明年开始至少经过多少年，方案乙能收回投资（累计总收益为正数）？（2 ） 从明年开始至少经过多少年，方案乙的累计总收益超过方案甲？（收益收入投资）5. 学校决定对教学楼部分房间配制现代化的电了教学设备，并对其两种电子装置配一个外壳，现有 A 种电子装置 45
15、台，B 种电子装置 55 台，需用用到两种规格的薄金属板：甲种薄金属板每张面积 2m2，可做 A、B 的外壳分别为 3 个和 5 个，乙种薄金属板每张面积3m2，可做 A、B 的外壳分别为 6 个，求两种薄金属板各用多少张，才能使用料总的面积最小6. 舰 A 在舰 B 正东 6 公里处, 舰 C 在舰 B 北偏西 30的 4 公里处.某时刻某海洋动物在 P 处发出信号,信号传播速度为 1 公里/秒. A 舰接到信号 4 秒后 , B, C 舰同时接到信号.问从 A 舰观察 P 点的方位角是多少 ?(方位角 :从指北方向按顺时针旋转到目标方向线的水平角 )P 与 A舰的距离是多少?【练习题参考解
16、答】1. (）设出租车行驶时间为 天，所耗费的汽油费为 W 元，耗费的液化气费为 W元，t则由题意可知 2.8140(,)3WN07.540(,)6ttt即即 所以使用液化气比使用汽油省钱。（）设 解得137.50,tt,5.t设 解得470所以，若改装液化气，则一年半到两年左右的时间省出的钱可以等于引进设备的钱.(2)当 时，函数 在 时是减函数 ,在 时是增cbaabySv0avbavcb函数,所以 有最小值 .va2min2. 解：（1）当 ， 是增函数，且时10t 24)1(04)(2 tttf； ， 是减函数，且 .所以，讲240)(f 时当 43870f课开始 10 分钟，学生的注
17、意力最集中，能持续 10 分钟.（2 ） ，故讲课开始 25 分钟时，学生的注意力比讲课开始后 5205)(,19)5(ff分钟更集中.当 时， ；当 ，0t 4,1804)(2tttf 则 402t（3）令 ，则学生注意力在 180 以上所持续的时间57.,1837)(2f 则28.57 4=24.5724 ，所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题.3. () 解法 1., ,nba1 bn12.23 由此而得, .bnakk1解法 2. ,b1,1Skk于是, , ,nkSa两式相减, ,kka11从而 ,nk11121 = nkkabba n() 0121 bn
18、kkkk所以 .此不等式表明工作业绩越好,分配越高, 体现了按劳分配,按优分配的原则.4. 解：（1 ）设从明年开始经过第 n 年，方案乙的累计总收益为正数。在方案乙中，前 4 年的总收入为=26006000， 解得 n6 ,故 n 的最小值为 7，881答: 从明年开始至少经过 7 年，方案乙能收回投资。 （2 ）设从明年开始经过 n 年方案甲与方案乙的累计总收益分别为 y1,y2 万元，则y1=760n-50n+ n(n-1)20=-10n2+720n, 12当 n4 时，则 y10,y2y2. 当 n5 时，y 2=2600+3201.54(n-4)-6000=1620n-9880，令
19、y1-10n2+720n,即 n(n+90)998, 由 10(10+90)998,9(9+90)998,可得 n 的最小值为 10.答：从明年开始至少经过 10 年，方案乙的累计总收益超过方案甲。 5. 解：设用甲种薄 金属板 x 张，乙种薄金属板 y 张，则可做 A 种产品外壳 3x6y 个，B种产品外壳 5x6y 个，由题意可得3x 6y 455x 6y 55x 0， y 0)所有的薄金属板的总面积是 z2x3y可行性区域如图所示的阴影部分，其中 l1：3x6y45； l2：5x6y55，l 1 与 l2 的交点为 A(5，5)，因目标函数z2x3y 在可行域上的最小值在区域边界的 A(
20、5，5)处取得，此时 z 的最小值为 253 525即甲、乙两种 板各 5 张，能保证制造 A、B 的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小6.解：以 A,B 所在直线为 x 轴, 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系( 如图).A 为(3,0), B 为(3,0), C 为(5,2 ),3由题意知|PB|PA|=4, 且 |PB|=|PC|,点 P 为以 A, B 为焦点,实轴长为 4 的双曲线靠近 A 点的一支与线段 BC 的垂直平分线的交点.双曲线的 a=2,c=3,b2=5,方程为 =1(x2), 25yBC 的中点 D(4, ),斜率为 k= ,33BC 的垂直平分线方程为 x y+7=0.将 y2= (x+7)2 代入 =1 得3124511x256x256=0,由 x2,解得 x=8,y=5 .3交点 P 为(8,5 ).xAP=60,|PA|=10,从 A 舰观察 P 点的方位角是 30, P 与 A 舰的距离是 10 公里.xyo图Al2:5x6y55l1:3x6y45
