1、解答题的解法1.内容概要：在高考数学试卷中，主观题包括计算题、证明题、应用题等。其基本架构是：给出一定的题设( 即已知条件)，然后提出一定的要求(即要达到的目标)，让考生解答。考生解答时，应把已知条件作为出发点，运用有关的数学知识和方法，进行推理、演绎或计算，最后达到所要求的目标，同时要将整个解答过程的主要步骤和经过，有条理、合逻辑、完整地陈述清楚。 纵观近几年高考命题情况，可以发现，主观题在高考卷中的考查呈现以下特点：对基础知识的考查，要求全面又突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合。 对数学思想和方法的考查，数学思想与方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，在高考中，常将它们与数学知识的
2、考查结合进行考查时，从学科整体意义和思想含义上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧。 对能力的考查，以逻辑思维能力为核心，全面考查各种能力，强调探究性、综合性、应用性，突出数学试题的能力立意，强化对素质教育的正确导向。 在强调综合性的同时，注重试题的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查。出现一些背景新颖的创新题、开放题、富有时代特色的应用题，并有越演越烈的趋势.高考解答题基本题型说明：高考解答题为个，一般排列于 1722 题，其中：17、18 题为基础题，平均理科得分为 910 分，难度系数 0.70.8，可由教材例题或习题改编，或重新编拟；19、20 题为中档题，平均得分 58 分
3、，难度系数 0.40.6，多在知识交汇点、学生易错点出题，题源广泛；21、22 题为难题，21 题平均得分 36 分，22 题平均得分 24 分，主要由较难内容，或与高等数学相关问题，或由高数学竞赛题改编；20、21、22 三题内容可以相互调整，调整时，相应难度也应作调整。高考解答题具体知识点要求如下：第 17 题：三角函数式化简、求值；三角函数或化简，求周期，单调区间，最值；三角式待定系数计算，求相关量；与三角形、正余弦定理相关的三角化简问题；与向量相关的三角函数化简问题；解斜三角形；三角函数的应用问题。第 18 题：古典概率 + 随机概率分布列 + 数学期望； 二项分布 + 分布列 + 数
4、学期望；由条件求出概率 P + 分布列 + 数学期望；由期望、方差求待定系数 + 由分布列求相关问题；互斥、独立事件概率 + 分布列 + 期望。第 19 题：以正方体为载体；以长方体为载体；以三棱锥、四棱锥为载体；以三棱柱为载体；以多面体为载体；图形翻折；以二面角为载体等解答下列问题：求证：线线、线面、面面平行与垂直关系；计算：异面直线所成角、二面角；计算：距离、体积等。第 20 题：求椭圆方程 + 直线截椭圆弦长 + 三角形的面积问题；向量 + 椭圆方程 + 弦长 + 三角形的面积； 椭圆方程 + 对称问题+范围；椭圆方程 + 范围 + 最值（几何问题） ； 双曲线方程 + 几何问题 + 最
5、值；抛物线方程 + 焦点弦 + 三角形的面积；抛物线方程 + 切线 + 三角形的面积；抛物线方程 + 对称问题 + 范围；求曲线轨迹问题（圆、椭圆、抛物线、双曲线）+ 其它问题。第 21 题：等差、等比数列性质、求 ， 等；递归数列等差、等比问题求naS， ；函数递归数列 或几何图形递归数列；数列 + 概率；数naS列 + 数学归纳法 + 不等式或数列求和 + 证明不等式； 数列 + 二项式定理 + 不等式；数列 + 三角函数 +；由高等数学改编数列问题。第 22 题：求函数的单调区间、最值 + 不等式或含参数的函数单调区间、最值；求函数的单调区间 + 线性规划；函数的单调性 + 二项式定理+
6、不等式；函数的单调区间、最值 + 参数取值范围； 含三角函数的复合函数单调区间 + 最值； 函数 + 组合恒等式 + 不等式；二次函数+含绝对值不等式 + 函数单调区间；由高等数学改编问题（函数问题） 。2.典例精析：例 1.（08 年全国卷）设 的内角 所对的边长分别为 ，且ABC ， ， abc， ，3cos5aBbAc（）求 的值；tanot（）求 的最大值()【解析】 （）在 中，由正弦定理及 ，得BC 3cos5aBbAc3sincosicsini()insosin5AA B即 ，则 ；4tt4（）由 得tata02n3t()11tncotan4BBB当且仅当 ， ， 时，等号成立，
7、4tcotaA故当 ， 时， 的最大值为 .an2Aat()【点评】一道貌似普通的题目既考查了三角恒等变形、解三角形，又考查了利用均值定理求最值等知识知识点“跨度”不算太小，感觉既在情理之中，又在预料之外本道试题的解法很多，为培养学生的发散思维提供了一个很好的机会例 2.（08 江苏）已知函数 ， （ ， ， 为常数）1|1()3xpf22()3xpfR12p函数 定义为：对每个给定的实数 ， .()fx 1122(),()fffxf （1）求 对所有实数 成立的充分必要条件（用 ， 表示） ；1()fxx1p（2）设 是两个实数，满足 ，且 若 ，求证：函数,abab12,(,)pab()f
8、bOyx(a,f(a)(b,f(b)图 1Oyx(a,f(a) (b,f(b)(x0,y0)(p2,2)(p1,1)图 2在区间 上的单调增区间的长度之和为 （闭区间 的长度定义为 ）()fx,ab2ba,mnnm.【解析】 （1）由 的定义可知， （对所有实数 ）等价于()fx1()fxx（对所有实数 ）这又等价于 ，即2f123xppA对所有实数 均成立. （*）13log3xp x由于 的最大值为 ，21212()()()xppxR12p故（*）等价于 ，即 ，这就是所求的充分必要条件123p123log（2）分两种情形讨论（i）当 时，由（1）知 （对所有实数 ）123log1()fx
9、,x则由 及 易知 ， fafbpb2ab再由 的单调性可知，111,()3pxf函数 在区间 上的单调增区间的长度f,ab为 （参见示意图 1）2b（ii） 时，不妨设 ，则 ，于是13plog2,p213logp当 时，有 ，从而 ；x11()3()xxff 1()fx当 时，有2 31212122log()ppppxpfA从而 ； ()fx当 时， ，及 ，由方程12p11()3xpf22()3pxf123xppx解得 图象交点的横坐标为()fx与1203log显然 ，1022132()lpxpp这表明 在 与 之间。由易知0x1p210022(),()pxff综上可知，在区间 上， （
10、参见示意图 2）,ab012(),()axff b故由函数 及 的单调性可知， 在区间 上的单调增区间的长度之和为1()fx2f ()f,，由于 ，即 ，得0(pb()fab123pabp123log故由、得 012123()()log2axpp综合（i） （ii）可知， 在区间 上的单调增区间的长度和为 .f,abb【点评】本题考查考生阅读理解能力及综合运用函数、不等式、简易逻辑等知识进行推理论证的能力第(1)问注重考查学生数学语言的翻译能力以及等价转化能力，本小题事实上就是考查学生对 定义的理解，将问题等价转化为 恒成立，进而等()fx12fxf价转化为求函数 的最大值. 第(2)问重点考
11、查了学生分类讨论和数形12yp结合的能力例如对 与 大小的讨论，来源于对第(1)问的认识又如在(2)3log中当 时，对“ ”，“ ”， “ ”的分类讨论，考123plog1x2xp12xp查学生对含绝对值函数的基本处理思想和技能的掌握程度，通过对含绝对值函数转变为分段函数进行分析.本题以函数知识综合为载体，在初等解法中追求完美地体现数形结合、等价转化、分类讨论等思想例 3.（年陕西）已知数列 的首项 ， ， na13512nna12， ，（）求 的通项公式； 全 品 高 考网na（）证明：对任意的 ， ， ；0x21()3nnaxx12， ，（）证明： 2121na【解析】 （） ， ，即
12、，13nn13nna113nna又 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列123na1na231则 ， 1nnn（）令 ，则 ，于是作差：txt213nnxa2223110.nnnnntttatttat所以对任意的 ， ， ；x21()3nnaxx12， ，（）由（）知，对任意的 ，有0122211()3()na xxx 21()3nx22()nx取 ，211333nn nn则 2212 113n nna 原不等式成立【点评】数列不等式的证明是历年高考的热门话题，这类问题往往有着数学竞赛题目的味道，其难度是比较大的，适度的放大或缩小，其技巧性是很高的，能够有效地检查考生的分析问题与解决问题的
13、技能. 从参考答案提供的解答方法来看，第（）题是用“倒数变换” ，构造等比数列求解的；第（）题是用证明不等式最有效的通性通法，那就是作差比较法求解的；而第（）题是借助（）的结论，对 取特殊值，这个值的选择，没有一定的数学悟性，是比较难想x到的. 例.（年江西）设动点 到点 和 的距离P(10)A， ()B，分别为 和 ， ，且存在常数 ，使得1d2AB2sin（1）证明：动点 的轨迹 为双曲线，并求出 的方程；PCC（2）过点 作直线交双曲线 的右支于 两点，试确定 的范围，使 ，BMN， OMN0A其中点 为坐标原点O【解析】 （1）在 中， ，即 ，A 2B22112cosd，即 （常数）
14、 ，224()4sindd124sind所以点 的轨迹 是以 为焦点，实轴长 的双曲线PC， a方程为： 21xy（2）设 ， ，直线 的方程为： ，代入1()M， 2()Nxy， MN1xky=+，得 ，1xy20kkllll+-+ ，1221l=-221yl=-从而 ，1212122()()xkyky 122 ， ，则 ，OMN0A120xy22()1k2kyyPB1d2点 在双曲线的右支上， ，即 .MN， 210k210注意到 ，解得 .015123【点评】：这是一道解析几何与三角的综合题在第()小题中，应用直线 的方MN程： ，一是避免了对直线 的斜率是否存在的讨论；二是直接由xky
15、=+MN建立了关于 的不等式，回避了对曲线范围的讨论在解析几何的复习中，210对于学有余力的学生，适当进行一些加深拓宽，有助于减少解析几何的运算量，提高学生的解题能力3.跟踪练习： 练习 1.已知 的三个内角 所对的边分别为 ,且ABC,ABCabc.tan3(tant)1()求角 的大小；()现给出三个条件： ； ； .2sinb(31)0cb试从中选择两个条件求 的面积(注：只需选择一个方案答题,如果用多种方ABC案答题,则按第一种方案给分). 练习 2.如图，已知 平面 ， 平面 ，三角形 为等边三角形， 学科网DEACD， 为 的中点2ADEBF（1）求证： 平面 ；/（2）求证：平面
16、 平面 ；C（3）求二面角 的大小。练习 3.已知函数 ()|2|fx.（）写出 的单调区间；（）解不等式 ()3fx；（）设 0a，求 在 0a， 上的最大值.练习 4.已知点 P 在曲线 上，设曲线 C 在点 P 处的切线为 ，若 与函数)1(:xyCl的图像交于点 A，与 x 轴交于点 B，设点 P 的横坐标为 t，设 A、B 的横坐标)(kxy分别为 、A .)(,Btf记（）求 的解析式；)(tf（）设数列 数列 满111,),()2,n nnaNafa满 足 (1,)nbN足 ，求 和 的通项公式；3nbknb（）在（）的条件下，当 123813,: .nkkaa时 证 明 不 等
17、 式练习 5.已知 ,12()|3|,()|9|(0),xxffaxR且 .122(),()fff()当 时,求 在 处的切线方程；ax()当 时,设 所对应的自变量取值区间的长度为 (闭区间92()f l的长度定义为 ),试求 的最大值；mnnml()是否存在这样的 ，使得当 时, ?若存在,求出 的取值ax2()fxa范围；若不存在，请说明理由. 练习 6.圆、椭圆、双曲线都有对称中心，统称为有心圆锥曲线，它们统一的标准方程为.圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中,如圆的“垂径定理”的逆21xymn定理:圆的平分弦（不是直径）的直径垂直于弦. 类比推广到有心圆锥曲线：“已知直线 与
18、曲线 ： 交于 两点， 的中点为 ，若直线lC21xymn,ABM和 ( 为坐标原点) 的斜率都存在，则 ”，这个性质称为有心圆锥ABOMOMnkm曲线的“垂径定理”.（）证明有心圆锥曲线的“垂径定理” ；（）利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题： 过点 作直线 与椭圆 交于 两点，求 的中点 的轨迹(1,)Pl214xy,ABM的方程；W 过点 作直线 与有心圆锥曲线 交于 两点，是(,)l 2:1(0)CkxykE、 F否存在这样的直线 使点 为线段 的中点？若存在，求直线 的方程；若不lPEFl存在，说明理由.参考答案1.()由 ,得tan3(tant)1BCBC,所以1t3(则
19、,所以at()3A6A()方案一：选择.A=30,a=1,2c-( +1)b=0，所以 ，则根据余弦定理，312cb得 ，解得 b= ,则 c=22311()bb 26 .41326sinAcSABC方案二：选择. 可转化为选择解决,类似给分(注：选择不能确定三角形).2.（1）证明：取 的中点 ，连 ，EGFB、 为 的中点 FD ，而 平面 ， 平面 ，/GACDAC故 ，又 ，AB2四边形 为平行四边形 ,又/ ,BEFBE平 面 平 面所以 平面 F（2） 为等边三角形， ，而CDACDAF故 平面A ， 平面/BG所以平面 平面 E（3）在平面 内作 交 于 ，在平面 内作 交 于H
20、EBEHMBE，连 平面 平面 平面 ，由三垂线定理得MFBC 为二面角 的平面角 C设 ，则 ，2ADa2Aa 25BCEFGHaF， ， ，又 ，其中 HMG 3BaE， 365M 15tan9F所以二面角 的大小为 （或 ）.FBEC15arctn936arcos8方法二：设 ，则 ；由已知得2ADa2A2AC建立如图所示的坐标系 xyz， 则： 00,30,3,CBaDEa， ， ,， ， 为 的中点， F3,2F（1）证明： ,0,3,2,0AaBEaBCa ，A 不在平面 内， 平面2FBEC/AFE（2） 3,0,30,2aDaa ， ,AFDE ,AFCED 平面 ，又 平面C
21、/B平面 平面 B（3）设平面 的法向量为 11,nxyz由 可得： 110,nE32设平面 的法向量为BF22,xyz由 可得： 220,n253,n 1212 6cos, 83n二面角 的大小为 . FBECarcos83.（）22(1) 2()| .xxfxx， ， ， ()fx的单调递增区间是 (1 2)， 和 ， ； 单调递减区间是 1 2， . （）解： 22 |2|3 23 23030xxx x， ， 或 或 ， ，学不等式 ()f的解集为 |. （） （1）当 1a时， ()fx是 0a， 上的增函数，此时 ()fx在 0a， 上的最大值是 ()2)f；（2）当 时， (fx在
22、 0 1， 上是增函数，在 1a， 上是减函数，此时()fx在 0a， 上的最大值是 )； （3）当 时，令 2()(0faa， 解得 2. 当 21a时，此时 1)ff， (fx在 ， 上的最大值是 (1)f；当 时，此时 ()a， 在 0a， 上的最大值是 2a. 综上，当 01a时， fx在 0， 上的最大值是 (2)；当 1时， ()fx在，上的最大值是 ；当 12a时， ()fx在 0a， 上的最大值是 (2)a. 4.（） ，又点 P 的坐标为 ，,xyx,t曲线 C 在 P 点的切线斜率为 2t，则该切线方程为 ，txytyB2,0),(1得令由 ,142)(1 222 kttk
23、txttykx BAA得因此， ).1(4)()(2ttftf的 解 析 式 为（） 4,1,2 11kakakan nnnn 时即 11()3434n nnb b当 ； 13,00,1n nkbbaa 时 数 列 是 以 为 首 项 的 常 数 数 列 则当 为公比等比数列，1,1,34nk时 数 列 是 以 为 首 项 11(1)(,343nnn nkbakk解 得综合、得11 4(1)(,343nnn nbakk解 得（） .,)(911 kkannn 114340,93nnk29n ka 8)3()3()(821321 kakaa nn 484)4(9 221 kk n2) 0)(,3
24、故不等式 .831 成 立knaa5. ()当 时, 2()|9|xf.因为当 时, , ,30log5x1()3xf2()93xf且 ,log512()0010xf所以当 时, ,且 ，3,l)()xf3(,log5)由于 ,所以 ,又 ,()nxf13lnk 2f故所求切线方程为 ,2(l)yx即 .(3l)30x() 因为 ,所以 ,则9a339logl2a当 时,因为 , ,3logxx10x所以由 ,解得 ,21()()()(80xff38log1xa从而当 时,3398logl1xa2()fx当 时,因为 , ,090x31所以由 ,解得 ,21()()()()30xxfxfaa3
25、10loga从而当 时, 33logloga2f当 时,因为 ,0x21()(93)(1)8(1)xxxfx从而 一定不成立()f综上得,当且仅当 时, ,3308log,la2()f故 3814log(15aa从而当 2时, l取得最大值为 32l()“当 时, ”等价于“ 对 恒成立”x2()fx21()fxf2,x,即“ (*)对 恒成立” |39|1|3xxxa, 当 时, ,则当 时, ,则(*)可化为3log2a39log30xaa,即 ,而当 时, ,391xxa8x281x所以 ,从而 适合题意。 当 时, .039loga1 当 时,(*)可化为 ,即 ,而 ,x391xx8
26、3xa1x所以 ,此时要求a0当 时,(*)可化为 ,39logx9031xa所以 ,此时只要求 ，aR(3)当 时 ,(*)可 化 为 ,即 ,而 ,32lx103x19x所以 ,此时要求 ，191a由,得 符合题意要求.综合知,满足题意的 a存在,且 的取值范围是 19a.6.（）证明 设 12012(,)(,)(,)()AxyBMxyx212mnxy相减得 121112()()0xn注意到 120120,y有 12()xmnx012ynmA即 ABOMk（）设1(,),OMyyxkxx则由垂径定理， 2ABOk即 1yx化简得 20y当 与 轴平行时， 的坐标也满足方程.AB或 M故所求 的中点 的轨迹 的方程为 ； W20xy 假设过点 P(1,1) 作直线 与有心圆锥曲线 交于 两点，且 Pl 2:1CkxyE、 F为 的中点，则EFEOPkk由于1,OPF直线 ，即 ，代入曲线 的方程得:()lykx1ykxC22(1)kxk即 1)()0x由 得 .224(kk1k故当 时，存在这样的直线，其直线方程为 ；kyx当 1,0且 时，这样的直线不存在.
