1、高三数学题型解析（3）19(07 年重庆卷文)(12 分)如图，倾斜角为 的直线经过抛物线 的焦点 F，且与抛物线交于 A、B 两点。xy82()求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 的方程；l()若 为锐角，作线段 AB 的垂直平分线 m 交 轴于点 P,证明为定值，并求此定值。2cos|PE答案：解析：()设抛物线的标准方程为 ，则 ，pxy28从而 ,因此焦点 的坐标为(2，0)4p0,2pF又准线方程的一般式为 ,从而所求准线 的方程为xl2x()解法一：如图(21)图作 , ,垂足为 C、D，lACB则由抛物线的定义知 |F记 A、B 的横坐标分别为 zx则 |F2cos|2paApx
2、4cos|A解得 cos14|类似地有 s|FB解得 cs|记直线 m 与 AB 的交点为 E，则2| AAFE|)|(1FBAcos14s21ins所以 2inco|aFP故 )2cos1(si4| 2 8ins42a解法二：设 ,直线 AB 的斜率为BAyx, ,tk则直线方程为 ,将此式代入 ，得)2(kyx82 04)2(22kx故 2kxBA记直线 m 与 AB 的交点为 ,则 ,)(Eyx2kxBAkxyE42故直线 m 的方程为 )42(14kk令 y=0，得 P 的横坐标 ，故2xp 22sin41| kxFPp从而 为定值。)cos1(sin4co| 2aF8ins42a20
3、(07 年重庆卷理)(12 分)如图，中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F(3，0） ，右准线 的方程为：x=12.l(1)求椭圆的方程：(2)在椭圆上任取三个不同点 ，使321,p1321FPFP证明： 为定值，并求此定值。|132FP答案：解析：()设椭圆方程为 12byax因焦点为 F(3，0)，故半焦距 c=3又右准线 的方程为lcx2从而由已知 ,36,122a因此 ，6a7cb故所求椭圆方程为 123yx()记椭圆的右顶点为 A，并设 ，不失一般性3,211iFP假设 ，且 ，30121243又设点 在 上的射影为 ，因椭圆的离心率iPliQ2ace从而有 FPcaeFiiii )
4、os|(|2 3,21cos|9(1iFPi解得 .3,21)cos21(9| iFP因此 |321 ),34cos()32cos(9111 而 )4cos)cos(110sin2in211111 故 为定值3|21FP21(08 年四川卷理)设椭圆 的左、右焦点分别是 ，离心率12byax021F、，右准线 上的两动点 M、N，且2el 21F(I)若 ，求 的值；52|1Fba、()当 最小时，求证 共线。|N2121与答案：解析：数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中开始挤牙膏吧()由已知 ，由0,21cF,2ace，又2cab,b2, ：lccx2 21,2ycNM延长 交 于 P，记
5、右准线 交 轴于2NF1lxQ01M, 2NF21由平面知识易证 QRtt2，即,3|1cFQNc| .3|21cy52|1NFM,092c4,2ab,ba(I)另解 , ,21NF0,321yc0321c又 5|M联立 ,消去 得2093212yc21y、 22909cc整理得： , 44c22解得 但解此方程组要考倒不少人。2c() 0,32121ycNFM,02cy212121| yy 2121214cy当且仅当 ,且 时，取等号，此时 取最小值c3c3MNc3此时 NFM,2121)0,4(,(F共线1与()另解： 02, ,321yc213cy设 的斜率分别为 k ,NFM由 cxk
6、y2cy31由 cxkk2|21yMNckc32|1当且仅当 , 即 , 时取等号k3即当 最小时， ,N3此时 kccFM,),(21 210,43,3Fcc共线2121N与22(07 年四川卷文)(12 分)设 分别是椭圆 的左、右焦点21F、 142yx()若 P 是第一象限内该椭圆上的一点，且 求点 P 的作标；521P()设过定点 M(0，2)的直线 与椭圆交于不同的两点 A、B，且 为锐角(其中 O 为l 作标原点),求直线 的斜率 k 的取值范围l答案：解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数时积等基础知识，以及综合运作数学知识解决问题及推理计算能力()易知 3,12cba,0
7、31F设 yxP则 yx ,3,21 4532又 4yx联立 , 解得 ,1472yx4312yx2yx)231(P()显然 x=0 不满足题设条件可设 的方程为lkx设 ,21,yxBA联立 214kxy2)(4kx0126412kx,212216k由 0)4()6(k,32204k得 2又 为锐角AOB,00cosOBA21yx又 )(121ky 42211xkx212121 xx 41622kk46422k02412k综可知 32k 的取值范围是 2,3,23(09 年淮安调研三)(14 分)已知圆 O 的方程为 ，直线 过点 A(3，0)，且与圆 O 相切。12yx1l(1)求直线 的
8、方程；2l(2)设圆 O 与 x 轴交与 P，Q 两点，M 是圆 O 上异于 P,Q 的任意一点，过点 A 且与 X 轴垂直的直线为 ，直线 PM 交直线 于点 ，直线 QM 交直线 于点2l2lp2lQ求证：以 为直径的圆 C 总过定点，并求出定点坐标。答案：解析：(1)直线 过点 A(3，0)，且与圆 相切，设直线 的方程为 1l 1:2yxC1l，即 2 分)3(xky03ky则圆心 O(0，0)到直线 的距离为 ，解得1l 1|32kd42k直线 的方程为 ，即 4 分1l42xy4xy（2)对于圆方程 ，令 ，得 ，即12x010,1,QP又直线 过点 A 且与 x 轴垂直，直线 方
9、程为2l 2l3x设 ，则直线 PM 方程为 tsM, )(1sty解方程组 ，得 ，同理可得， 10 分13xsty4,3tP)12,3(stQ以 为直径的圆 的方程为QPC04stystx又 12ts整理得 12 分026)(2ytsxy若圆 经过定点，只需令 ，从而有 ，解得C 0162x23x圆 总经过定点坐标为 14 分,324已知函数 .ln)(21)(xaxf()若函数 是定义域上的单调函数，求实数 的最小值；a()在函数 的图象上是否存在不同两点 ，线段 AB 的中点的横坐)(xf ),(),(21yxBA标为 ，直线 AB 的斜率为 k,有 成立?若存在，请求出 的值；若不存
10、在，请说0 )0xfk0明理由答案：(I) 2 分)(13)(axf若函数 在（0，+）上递增，则 ，对 恒成立，即 对f 0xf31xa恒成立，而当 时，0x0x 1,321ax若函数 在 上递减，则 对 恒成立，即 对)(f),0)(f3x0x恒成立，这是不可能的综上 的最小值为 1 6 分a,1()假设存在，不妨设 ，20x21)(xffk21 21 ln)3(ln3xxaa9 分210l)3(xa00)()(xf若 ，则 即 ，即 (*) 12 分)(0xfk ,1ln021x212lnx12ln21x令 则,21xt),(ln)(tttu 0)(2tu在 上是增函数，t0t,1)(u
11、 (*)式不成立，与假设矛盾 )(0xfk因此，满足条件的 不存在 16 分025(09 年湖南师大附中月考理)(13 分）已知函数 ，数列 满足： ，xxf)1ln()na21l2n1nfa(1)求证： x)1ln(2)求证数列 是等差数列：na3)求证不等式： )2ln(21 an答案：解析：(1)由 ，得xxf)l() xxf1当 时， ，即 是单凋递增函数；0x0(y当 时， ，即 是单调递减函数：且 ，即 是极大值)(fxf 0)(f点，也是最大值点， )0()1ln(fx1ln当 时取到等号(4 分)0x(2)由 ，得 ，nnnafa112l 21nnanna21故 ， nnna2
12、1 1nn即数列 是等筹数列，首项为 ，公差为-1 (8 分)n 21a(3)由(2)可知 1nan所以 21 112n )132(n又 时，有 ，令0x)l(x0则 n1ln()32 )12lnl45ln32(l 4(ln )(213 分)l(21a26(09 年朝阳区二模理)(14 分)己知函数 exf)(（）求函数 的最小值：()求证： ne1312 )(*N（)对于函数 与 定义域上的任意实数 ，若存在常数 ，使得)(xhgxbk, bkxh)(和 都成立，则称直线 为函数 与 的“分界线” 设函数bkg)( bky)(hxg， 与 是否存在“分界线”?若存在，21xexfh,ln)(
13、xe求出 k，b 的值：若不存在，请说明理由答案：解析：(1)解：因为 ,)(fx令 ，解得0)(exf .1令 ，解得,x所以函数 在 上递减， 上递增，)(xf),)(所以 的最小值为 3 分01(f()证明：由()知函数 在 取得最小值，所以)x )1(fx即 ，两端同时乘以 ，得 ，把 换成 ，得exe1xtte当且仅当 时等号成立0t由 得， ，1t 2,231,341e，1nen nent将上式相乘得 9 分n1312 11342n()设 )()(xghxF)0(lxe则 e2)所以当 时， ；当 时，x00)(xFe.0)(xF因此 时, 取得最小值 0,则 与 的图象在 处有公共点 ，e)(xhge)21,(e设 与 存在“分界线” ，方程为)(xhg )(21exky由 ,在 恒成立ek21Rx则 ,在 恒成立02x所以 成立因此0)(4842ekek ek下面证明 成立1)(xxg设 eeG2lnxx)(所以当 时，e00)(G当 时，xx因此 时, 取得最大值 0，e)(则 成立21xxg所以 , 14 分ekb
