1、曲线的参数方程,P42-47,1、参数方程的概念：,如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？,提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？,1、参数方程的概念：,如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？,(x,y),（2）,并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条
2、曲线的参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数.,相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。,关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁, 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明显意义。 2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围,1、参数方程的概念：,一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数,例1: 已知曲线C的参数方程是 （1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系； （2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。,
3、同学们，请回答下面的方程各表示什么样的曲线：,例：2x+y+1=0,抛物线,椭圆,？,直线,例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？,(1),(3),（1）（x-2)2+y2=9,（3）y=1- 2x2（- 1x1）,课堂小结：,（1）写出定义域（x的范围） （2）消去参数(代入消元，三角变换消元）,1、参数方程化为普通方程的步骤,在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y前后的取值范围保持一致。,注意：,2、普通方程化为参数方程的步骤,把含有参数等式代入即可,课堂练习,P56,2-6,x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，,代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2
4、的一种参数方程.,曲线y=x2的一种参数方程是（ ）.,注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值 范围保持一致。否则，互化就是不等价的.,在y=x2中，xR, y0，,分析:,发生了变化，因而与 y=x2不等价；,在A、B、C中，x,y的范围都,而在中，,且以,练习:,3椭圆的参数方程椭圆 1(ab0)的参数方程为(为参数),2圆的参数方程圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为(为参数),1直线的参数方程 经过点M(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为 (t为参数).,x0+tcos y0+tsin,作业,卷子P10 课本P56,2-6,3椭圆的参数方程椭圆 1(ab0
5、)的参数方程为(为参数),2圆的参数方程圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为(为参数),1直线的参数方程 经过点M(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为 (t为参数).,x0+tcos y0+tsin,1.圆x2y2r2的参数方程为： (为参数) 2.圆(xx0)2(yy0)2r2的参数方程为：(为参数),例1：已知点P(x，y)是圆x2y22y上的动点， (1)求2xy的取值范围； (2)若xya0恒成立，求实数a的取值范围,思路点拨 转化三角函数的值域问题.,课堂笔记 (1)设圆的参数方程为 (为参数) 2xy2cossin1 sin()1， 12xy 1. (2)xyacos
6、sin1a0， a(cossin)1 sin( )1， a 1.,1椭圆的参数方程与正弦、余弦函数有着密切的关系，椭 圆的有界性和正弦、余弦函数的有界性有着一定关系 2对于直线参数方程的标准形式，可以容易看出直线的倾 斜角及斜率，直接根据倾斜角或斜率关系来判断直线的 平行和垂直,例2： 实数x，y满足 1，试求xy的最大值与最小值，并指出何时取得最大值和最小值,思路点拨 利用圆的参数方程将问题转化为三角函数的最值问题.,课堂笔记 由已知可设 即 (为参数) 则xy(4cos1)(3sin2)(4cos3sin)35cos()3，其中cos ，sin . 当cos()1，即2k，kZ时， cos
7、cos(2k)cos ，,sinsin(2k)sin ， 当x4 1 ，y3( )2 时， xy的最大值为8. 同理，当x ，y 时，xy的最小值为2.,解：曲线C的极坐标方程是4cos，化为直角坐标方程为x2y24x0，即(x2)2y24. 直线l的参数方程 化为普通方程为 xy10. 曲线C的圆心(2,0)到直线l的距离为 ， 所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为 2 .,例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点，求（1） x2+y2 的最值，（2）x+y的最值，（3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。,解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1，用参数方程表示为,由于点P在圆上，所以可设P（3+cos，2+sin），, x2+y2 的最大值为14+2 ，最小值为14- 2 。,(2) x+y= 3+cos+ 2+sin=5+ sin（ + ）, x+y的最大值为5+ ，最小值为5 - 。,(3),显然当sin（ + ）= 1时，d取最大值，最 小值，分别为 ， 。,
