1、,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算,104 对面积的曲面积分,对面积的曲面积分,在分片光滑的曲面上的曲面积分,对面积的曲面积分的性质,对面积的曲面积分的计算公式,一、对面积的曲面积分的概念与性质,设f(x, y, z)为非均匀的曲面形金属构件S的面密度，则以下定 义曲面积分的过程可以看成是求曲面形金属构件质量的过程。,定义 设曲面S是光滑的，函数f (x, y, z)在S上有界,分成n小块Si (Si同时也代表第i小块曲面的面积)，,Si上任意取定的一点，,把S任意,设(xi, hi, zi )是,作乘积 f(xi, hi, zi )Si (i =1, 2, , n
2、)，并作,这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x, y, z)在曲面S上对面积,其中f(x, y, z)叫做被积函数，S叫做积分曲面,如果当各小块曲面的直径的最大值l0时，,一、对面积的曲面积分的概念与性质,设f(x, y, z)为非均匀的曲面形金属构件S的面密度，则以下定 义曲面积分的过程可以看成是求曲面形金属构件质量的过程。,定义 设曲面S是光滑的，函数f (x, y, z)在S上有界,分成n小块Si (Si同时也代表第i小块曲面的面积)，,Si上任意取定的一点，,把S任意,设(xi, hi, zi )是,作乘积 f(xi, hi, zi )Si (i =1, 2, , n)，并作,当f
3、(x, y, z)在光滑曲面S上连续时，对面积的曲面积分是存在 的今后总假定f(x, y, z)在S上连续,对面积的曲面积分的存在性：,根据上述定义，面密度为连续函数f(x, y, z)的光滑曲面S的质 量M，可表示为f(x, y, z)在S上对面积的曲面积分:,如果S是分片光滑的，我们规定函数在S上对面积的曲线面积 分等于函数在光滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和,在分片光滑的曲面上的曲面积分：,S1,S2,设S可分成两片光滑曲面S1及S2(记作S S1S2)，,例如，,就规定,对面积的曲面积分的性质：,由对面积的曲面积分的定义 可知，它具有与对弧长的曲线积 类似的性质，这里不再赘述,二、对
4、面积的曲面积分的计算,前面已指出，面密度为连续函数f(x, y, z)的光滑曲面S的质量 M，可表示为f(x, y, z)在S上对面积的曲面积分:,另一方面，设积分曲面S由方程zz(x, y)给出，S在xOy面上的 投影区域为Dxy，函数zz(x, y)在Dxy上具有连续偏导数，则光滑曲 面S的质量M也可用元素法来求：,S上任意点(x, y, z)处的面积元素为,质量元素为,于是质量,，,，,化曲面积分为二重积分：设积分曲面S由方程zz(x, y)给出， S在xOy面上的投影区域为Dxy，函数zz(x, y)在Dxy上具有连续偏 导数，被积函数f(x, y, z)在S上连续，则有,对面积的曲面积分的计算公式：,讨论： 如果积分曲面S由方程yy(z, x)给出或由xx(y, z)给出，那么f(x, y, z)在S上对面积的曲线面积分如何计算?,zh(0ha)截出的顶部,zh(0ha)截出的顶部,Dxy 为圆形闭区域：x2y2a 2h 2,于是,又,Dxy,所围成的四面体的整个边界曲面,其中S是由平面x0，y0，z0及xyz1,解 整个边界曲面S在平面x0、y0、z0及xyz1上的部分 依次记为S 1，S2，S 3及S4，于是,S 4,S 2,S 1,S 3,
