1、第七章 常微分方程,本章学习要求：,了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. 了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. 会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. 知道下列高阶方程的降阶法：,了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线性微分方程的解法. 熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. 掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方程的解法.,第一节 微分方程的基本概念,常微分方程,方程的阶数,线性方
2、程、非线性方程,方程的解、通解、特解、所有解,初始条件（定解条件）,积分曲线（解的几何意义）,初值问题、初值问题的解,齐次方程、非齐次方程,常微分方程,含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程。,未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。,未知函数为多元函数的微分方程，称为偏微分方程。,常微分方程,偏微分方程,线性方程、非线性方程,若一个方程对未知函数及其导数的全体而言是一次的，,且系数只与自变量有关（与未知函数及其导数无关），则称,该方程为线性方程，否则，称之为非线性方程。,线性,线性,非线性,常微分方程的阶数,微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的,最高次数，称为微分方程
3、的阶数。,齐次方程、非齐次方程,在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。,自由项为零的方程，称为齐方程。,自由项不为零的方程，称为非齐方程。,一阶齐次非线性方程,二阶非齐线性方程,一阶非齐非线性方程,方程的解、通解、特解、所有解,解,代入方程，得,微分方程的解不一定都能用初等函数表示出来。,此时可求数值解,初始条件（定解条件）,由自然科学、社会科学以及数学本身建立微分方程时，往往同时知道微分方程的解应满足某些已知的条件。这些已知条件就称为微分方程的初始条件或定解条件。,解,微分方程,初始条件,通解,特解,解,微分方程,初始条件,通解,特解,有何想法？,积分曲线（解的几何意义）,常微分方
4、程解的几何图形称为它的积分曲线。,通解的图形是一族积分曲线。,特解是这族积分曲线中过某已知点的那条曲线。,例2. 列车在平直路上以,的速度行驶, 制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 ,已知,由前一式两次积分, 可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住 ,以及制动后行驶了多少路程 .,即求 s = s (t) .,求所满足的微分方程 .,例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q,解: 如图所示,令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标,即,点 P(x, y) 处的法线方程为,且线段 PQ 被 y 轴平分,常微分方程的初等方法,介绍常微分方程的解法,分离变量法,常数变易法,积分因子法,变量代换法,降阶法,高阶线性常系数微分方程解法,特征值法,变量代换法,在求微分方程数值解时，往往需要研究解的存在性、唯一性和稳定性。,
