1、第 四 章 立 体 几 何 T1-2007 年 （ 18） 如 图 ,在 三 棱 锥 S ABC 中 ,侧 面 SAB 与 侧 面 SAC 均 为 等 边 三 角形 , 90BAC ,O为 BC中 点 .( )证 明 ： SO平 面 ABC；( )求 二 面 角 A SC B 的 余 弦 值 . T2-2008年 （ 18） 如 图 ,已 知 点 P在 正 方 体 ABCD ABCD 的 对 角 线 BD上 , 60PDA .( )求 DP与 CC所 成 角 的 大 小 ；( )求 DP与 平 面 AADD 所 成 角 的 大 小 . T3-2009年 （ 19） 如 图 ,四 棱 锥 S A
2、BCD 的 底 面 是 正 方 形 ,每 条 侧 棱 的 长 都 是 底 面 边 长 的 2倍 ,P为 侧 棱 SD上 的 点 .(I)求 证 :AC SD .(II)若 SD平 面 PAC,求 二 面 角 P AC D 的 大 小 .(III)在 (II)的 条 件 下 ,侧 棱 SC上 是 否 存 在 一 点 E,使 得 /BE 平 面 PAC ?若 存 在 ,求 :SE EC的 值 ;若 不 存 在 ,试 说 明 理 由 . T4-2010年 （ 18） 如 图 ,己 知 四 棱 锥 P ABCD 的 底 面 为 等 腰 梯 形 , /AB CD,AC BD ,垂足 为 ,H PH 为
3、四 棱 锥 的 高 ,E为 AD中 点 .( )证 明 ： PE BC( )若 60APB ADB ,求 直 线 PA与 平 面 PEH 所 成 角 的 正 弦 值 . T5-2011 年 （ 18 ） 如 图 , 四 棱 锥 P ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 平 行 四 边形 , 60DAB , 2AB AD ,PD底 面 ABCD.( )证 明 ： PA BD ；( )若 PD AD ,求 二 面 角 A PB C 的 余 弦 值 . T6-2012 年 （ 19） 如 图 ,直 三 棱 柱 1 1 1ABC ABC 中 , 11 ,2AC BC AA D 是 棱 1AA 的 中
4、点 , 1DC BD .( )证 明 ： 1DC BC ；( )求 二 面 角 1 1A BD C 的 大 小 . T7-2013年 I（ 18） 如 图 ,三 棱 柱 1 1 1ABC ABC 中 , 1 1, , 60CA CB AB AA BAA .( )证 明 1AB AC ；( )若 平 面 ABC平 面 1 1 ,AABB AB CB ,求 直 线 1AC与 平 面 1 1BBCC所 成 角 的 正 弦 值 . T8-2013 年 II （ 18 ） 如 图 , 直 棱 柱 1 1 1ABC ABC 中 , ,D E 分 别 是 1,AB BB 的 中点 , 1 22AA AC C
5、B AB .( )证 明 : 1 /BC 平 面 1ACD；( )求 二 面 角 1D AC E 的 正 弦 值 . T9-2014年 I（ 19） 如 图 ,三 棱 柱 1 1 1ABC ABC 中 ,侧 面 1 1BBCC为 菱 形 , 1AB BC .( )证 明 ： 1AC AB ；( )若 1 1, 60 ,AC AB CBB AB BC ,求 二 面 角 1 1 1A AB C 的 余 弦 值 . T10-2014年 II（ 18） 如 图 ,四 棱 锥 P ABCD 中 ,底 面 ABCD为 矩 形 ,PA平 面 ,ABCD E为PD的 中 点 .( )证 明 ： /PB 平 面
6、 AEC；( )设 二 面 角 D AE C 为 60 , 1, 3AP AD ,求 三 棱 锥 E ACD 的 体 积 . T11-2015 年 I（ 18） 如 图 ,四 边 形 ABCD为 菱 形 , 120 , ,ABC E F 是 平 面 ABCD同 一 侧的 两 点 ,BE 平 面 ,ABCD DF 平 面 , 2 ,ABCD BE DF AE EC .(I)证 明 ： 平 面 AEC平 面 AFC；(II)求 直 线 AE 与 直 线 CF 所 成 角 的 余 弦 值 . T12-2015年 II（ 19） 如 图 ,长 方 体 1 1 1 1ABCD ABC D 中 , 116
7、, 10, 8AB BC AA ,点 ,E F分 别 在 1 1 1 1,AB DC 上 , 1 1 4AE DF .过 点 ,E F 的 平 面 与 此 长 方 体 的 面 相 交 ,交 线 围 成 一 个正 方 形 .(I)在 图 中 画 出 这 个 正 方 形 (不 必 说 出 画 法 和 理 由 )；(II)求 直 线 AF 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 . T13-2016年 I（ 18） 如 图 ,在 以 , , , , ,A B C D E F 为 顶 点 的 五 面 体 中 ,面 ABEF 为 正 方形 , 2AF FD , 90AFD ,且 二 面 角 D AF E
8、 与 二 面 角 C BE F 都 是 60 (I)证 明 ： 平 面 ABEF 平 面 EFDC；(II)求 二 面 角 E BC A 的 余 弦 值 T14-2016年 II（ 19） 如 图 ,菱 形 ABCD的 对 角 线 AC 与 BD交 于 点 , 5, 6O AB AC ,点 ,E F 分别 在 ,AD CD 上 , 54AE CF , EF 交 BD 于 点 H .将 DEF 沿 EF 折 到 D EF 的 位置 , 10OD .(I)证 明 ： DH 平 面 ABCD；(II)求 二 面 角 B DA C 的 正 弦 值 . T15-2016 年 III （ 19 ） 如 图
9、 , 四 棱 锥 P ABCD 中 , PA 底 面, / , 3ABCD AD BC AB AD AC , 4,PA BC M 为 线 段 AD上 一 点 , 2 ,AM MD N为 PC的 中 点 (I)证 明 /MN 平 面 PAB；(II)求 直 线 AN与 平 面 PMN 所 成 角 的 正 弦 值 T16-2017年 I（ 18） 如 图 ,在 四 棱 锥 P ABCD 中 , /AB CD,且 90BAP CDP .(I)证 明 ： 平 面 PAB 平 面 PAD；(II)若 PA PD AB DC , 90APD ,求 二 面 角 A PB C 的 余 弦 值 . T17-20
10、17 年 II（ 19） 如 图 ,四 棱 锥 P ABCD 中 ,侧 面 PAD 为 等 边 三 角 形 且 垂 直 于 底 面ABCD, 12AB BC AD , o90BAD ABC , E是 PD的 中 点 .(I)证 明 ： 直 线 /CE 平 面 PAB；(II)点 M 在 棱 PC上 ,且 直 线 BM 与 底 面 ABCD所 成 锐 角 为 o45 ,求 二 面 角 M AB D 的余 弦 值 . T18-2017 年 III（ 19） 如 图 ,四 面 体 ABCD中 , ABC 是 正 三 角 形 , ACD 是 直 角 三 角形 , ,ABD CBD AB BD (I)证
11、 明 ： 平 面 ACD平 面 ABC；(II)过 AC的 平 面 交 BD于 点 E,若 平 面 AEC把 四 面 体 ABCD分 成 体 积 相 等 的 两 部 分 ,求 二 面角 D AE C 的 余 弦 值 T19-2018年 I（ 18） 如 图 ， 四 边 形 ABCD为 正 方 形 ， ,E F分 别 为 ,AD BC 的 中 点 ， 以 DF为折 痕 把 DFC 折 起 ， 使 点 C到 达 点 P的 位 置 ， 且 PF BF .（ I） 证 明 ： 平 面 PEF 平 面 ABFD；（ II） 求 DP与 平 面 ABFD所 成 角 的 正 弦 值 . T20-2018 年
12、 II （ 20 ） 如 图 ， 在 三 棱 锥 P ABC 中 ， 2 2AB BC ，4PA PB PC AC ， O为 AC的 中 点 .（ I） 证 明 ： PO平 面 ABC；（ II） 若 点 M 在 棱 BC上 ， 且 二 面 角 M PA C 为 30， 求 PC与 平 面 PAM 所 成 角 的 正 弦值 .PA O CB M T21-2018年 III（ 19） 如 图 ， 边 长 为 2的 正 方 形 ABCD所 在 平 面 与 半 圆 弧 CD所 在 平 面 垂 直 ，M 是 CD上 异 于 ,C D的 点 .（ I） 证 明 ： 平 面 AMD平 面 BMC；（ II） 当 三 棱 锥 镜 M ABC 体 积 最 大 时 ， 求 面 MAB与 面 MCD所 成 二 面 角 的 正 弦 值 .
