1、第 五 章 圆 锥 曲 线 T1-2007 年 （ 19） 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ,经 过 点 (0 2)， 且 斜 率 为 k 的 直 线 l 与 椭 圆2 2 12x y 有 两 个 不 同 的 交 点 P和 Q.(I)求 k的 取 值 范 围 ；(II)设 椭 圆 与 x 轴 正 半 轴 、 y 轴 正 半 轴 的 交 点 分 别 为 A B， ,是 否 存 在 常 数 k ,使 得 向 量OP OQ 与 AB 共 线 ？ 如 果 存 在 ,求 k值 ； 如 果 不 存 在 ,请 说 明 理 由 . T2-2008年 （ 20） 在 直 角 坐 标 系 xOy中 ,
2、椭 圆 2 21 2 2: 1( 0)x yC a ba b 的 左 、 右 焦 点 分 别 为1 2,F F , 2F 也 是 抛 物 线 22 : 4C y x 的 焦 点 ,点 M 为 1C 与 2C 在 第 一 象 限 的 交 点 ,且 2 5| | 3MF .( )求 1C 的 方 程 ；( )平 面 上 的 点 N 满 足 1 2MN MF MF ,直 线 /l MN ,且 与 1C 交 于 ,A B 两 点 ,若0OA OB ,求 直 线 l的 方 程 . T3-2009年 （ 20） 已 知 椭 圆 C的 中 心 为 直 角 坐 标 系 xOy的 原 点 ,焦 点 在 x轴 上
3、 ,它 的 一 个 顶 点到 两 个 焦 点 的 距 离 分 别 是 7 和 1.(I)求 椭 圆 C的 方 程 ;(II)若 P为 椭 圆 C上 的 动 点 ,M 为 过 P且 垂 直 于 x轴 的 直 线 上 的 点 , | | |OPOM ,求 点 M 的 轨迹 方 程 ,并 说 明 轨 迹 是 什 么 曲 线 . T4-2010年 （ 20） 设 1 2,F F 分 别 是 椭 圆 2 22 2: 1x yE a b ( 0)a b 的 左 、 右 焦 点 ,过 1F 斜 率 为1的 直 线 l与 E相 交 于 ,A B两 点 ,且 2 2, ,AF AB BF 成 等 差 数 列 .
4、( )求 E的 离 心 率 ；( )设 点 (0, 1)P 满 足 PA PB ,求 E的 方 程 . T5-2011 年 （ 20） 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ,已 知 点 (0, 1),A B 点 在 直 线 3y 上 ,M 点 满足 /MB OA , ,MA AB MB BA M 点 的 轨 迹 为 曲 线 C.( )求 C的 方 程 ；( )P为 C上 的 动 点 ,l为 C在 P点 处 得 切 线 ,求 O点 到 l距 离 的 最 小 值 . T6-2012年 （ 20） 设 抛 物 线 2: 2 ( 0)C x py p 的 焦 点 为 F ,准 线 为 ,l A为
5、 C上 一 点 ,已 知 以F 为 圆 心 ,FA为 半 径 的 圆 F 交 l于 ,B D两 点 .( )若 90 ,BFD ABD 的 面 积 为 4 2 ,求 p 的 值 及 圆 F 的 方 程 ；( )若 , ,A B F 三 点 在 同 一 直 线 m上 ,直 线 n与 m平 行 ,且 n与 C只 有 一 个 公 共 点 ,求 坐 标 原 点到 ,m n距 离 的 比 值 . T7-2013年 I（ 20） 已 知 圆 2 2:( 1) 1M x y ,圆 2 2:( 1) 9N x y ,动 圆 P与 圆 M 外 切并 与 圆 N 内 切 ,圆 心 P的 轨 迹 为 曲 线 C.(
6、 )求 C的 方 程 ；( )l是 与 圆 P ,圆 M 都 相 切 的 一 条 直 线 ,l与 曲 线 C交 于 ,A B两 点 ,当 圆 P的 半 径 最 长 时 ,求| |AB . T8-2013 年 II（ 20） 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ,过 椭 圆 2 22 2: 1( 0)x yM a ba b 右 焦 点 的 直线 3 0x y 交 M 于 ,A B两 点 ,P为 AB 的 中 点 ,且 OP的 斜 率 为 12 .( )求 M 的 方 程 ；( ) ,C D为 M 上 的 两 点 ,若 四 边 形 ACBD的 对 角 线 CD AB ,求 四 边 形 ACBD面
7、 积 的 最 大值 . T9-2014年 I（ 20） 已 知 点 (0, 2)A ,椭 圆 2 22 2: 1( 0)x yE a ba b 的 离 心 率 为 3 ,2 F 是 椭圆 E的 右 焦 点 ,直 线 AF 的 斜 率 为 2 3 ,3 O为 坐 标 原 点 .( )求 E的 方 程 ；( )设 过 点 A的 动 直 线 l与 E相 交 于 ,P Q两 点 ,当 OPQ 的 面 积 最 大 时 ,求 l的 方 程 . T10-2014年 II（ 20） 设 1 2,F F 分 别 是 椭 圆 2 22 2: 1 0x yC a ba b 的 左 ,右 焦 点 ,M 是 C上一 点
8、 且 2MF 与 x轴 垂 直 ,直 线 1MF 与 C的 另 一 个 交 点 为 N .( )若 直 线 MN 的 斜 率 为 34 ,求 C的 离 心 率 ；( )若 直 线 MN 在 y 轴 上 的 截 距 为 2,且 15MN FN ,求 ,a b. T11-2015 年 I（ 20） 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ,曲 线 2: 4xC y 与 直 线 : ( 0)l y kx a a 交 与,M N 两 点 .(I)当 0k 时 ,分 别 求 C在 点 M 和 N 处 的 切 线 方 程 ；(II) y 轴 上 是 否 存 在 点 P,使 得 当 k变 动 时 ,总 有 ?O
9、PM OPN 说 明 理 由 . T12-2015年 II（ 20） 已 知 椭 圆 2 2 2:9 ( 0)C x y m m ,直 线 l不 过 原 点 O且 不 平 行 于 坐 标轴 ,l与 C有 两 个 交 点 ,A B,线 段 AB 的 中 点 为 M .(I)证 明 ： 直 线 OM 的 斜 率 与 l的 斜 率 的 乘 积 为 定 值 ；(II)若 l过 点 ( , )3m m ,延 长 线 段 OM 与 C交 于 点 P ,四 边 形 OAPB能 否 为 平 行 四 边 形 ？ 若 能 ,求 此 时 l的 斜 率 ,若 不 能 ,说 明 理 由 . T13-2016年 I（ 2
10、0） 设 圆 2 2 2 15 0x y x 的 圆 心 为 A,直 线 l过 点 (1,0)B 且 与 x轴 不 重合 ,l交 圆 A于 ,C D两 点 ,过 B作 AC的 平 行 线 交 AD于 点 E.(I)证 明 EA EB 为 定 值 ,并 写 出 点 E的 轨 迹 方 程 ；(II)设 点 E的 轨 迹 为 曲 线 1C ,直 线 l交 1C 于 ,M N 两 点 ,过 B且 与 l垂 直 的 直 线 与 圆 A交 于,P Q两 点 ,求 四 边 形 MPNQ面 积 的 取 值 范 围 . T14-2016年 II（ 20） 已 知 椭 圆 2 2: 13x yE t 的 焦 点
11、在 x轴 上 , A是 E 的 左 顶 点 ,斜 率 为 ( 0)k k 的 直 线 交 E 于 ,A M 两 点 ,点 N 在 E 上 ,MA NA .(I)当 4,t AM AN 时 ,求 AMN 的 面 积 ；(II)当 2 AM AN 时 ,求 k的 取 值 范 围 . T15-2016 年 III（ 20） 已 知 抛 物 线 2: 2C y x 的 焦 点 为 F ,平 行 于 x轴 的 两 条 直 线 1 2,l l 分 别交 C于 ,A B两 点 ,交 C的 准 线 于 ,P Q两 点 (I)若 F 在 线 段 AB 上 , R是 PQ的 中 点 ,证 明 /AR FQ；(II
12、)若 PQF 的 面 积 是 ABF 的 面 积 的 两 倍 ,求 AB 中 点 的 轨 迹 方 程 T16-2017年 I（ 20） 已 知 椭 圆 2 22 2: 1( 0)x yC a ba b ,四 点1 2 3 43 3(1,1), (0,1), ( 1, ), (1, )2 2P P P P 中 恰 有 三 点 在 椭 圆 C上 .(I)求 C的 方 程 ；(II)设 直 线 l不 经 过 2P 点 且 与 C相 交 于 ,A B两 点 .若 直 线 2P A与 直 线 2PB的 斜 率 的 和 为 1 ,证明 ： l过 定 点 . T17-2017年 II（ 20） 设 O为 坐
13、 标 原 点 ,动 点 M 在 椭 圆 2 2: 12xC y 上 ,过 M 作 x轴 的 垂 线 ,垂 足 为 N ,点 P满 足 2NP NM .(I)求 点 P的 轨 迹 方 程 ；(II)设 点 Q在 直 线 3x 上 ,且 1OP PQ .证 明 ： 过 点 P且 垂 直 于 OQ的 直 线 l过 C的 左 焦点 F . T18-2017年 III（ 20） 已 知 抛 物 线 2: 2C y x ,过 点 (2,0)的 直 线 l交 C于 ,A B两 点 ,圆 M 是以 线 段 AB 为 直 径 的 圆 (I)证 明 ： 坐 标 原 点 O在 圆 M 上 ；(II)设 圆 M 过
14、点 (4, 2)P ,求 直 线 l与 圆 M 的 方 程 T19-2018年 I（ 19） 设 椭 圆 2 2: 12xC y 的 右 焦 点 为 F ， 过 F 的 直 线 l与 C交 于 ,A B两 点 ，点 M 的 坐 标 为 (2,0).（ I） 当 l与 x轴 垂 直 时 ， 求 直 线 AM 的 方 程 ；（ II） 设 O为 坐 标 原 点 ， 证 明 ： OMA OMB . T20-2018年 II（ 19） 设 抛 物 线 2: 4C y x 的 焦 点 为 F ， 过 F 且 斜 率 为 ( 0)k k 的 直 线 l与 C交 于 ,A B两 点 ， | | 8AB .（ I） 求 l的 方 程 ；（ II） 求 过 点 ,A B且 与 C的 准 线 相 切 的 圆 的 方 程 . T21-2018年 III（ 20） 已 知 斜 率 为 k的 直 线 l与 椭 圆 2 2: 14 3x yC 交 于 ,A B两 点 ,线 段 AB的 中 点 为 (1, )( 0)M m m .（ I） 证 明 ： 12k ；（ II） 设 F 为 C的 右 焦 点 ， P为 C上 一 点 ,且 0FP FA FB .证 明 ： | |,| |,| |FA FP FB 成等 差 数 列 ， 并 求 该 数 列 的 公 差 .
