1、1第四单元 二次根式 姓名 41 二次根式的性质及运算1二次根式性质：（1）某数的算术平方根再平方仍得某数，即 ；)0a()(2（2）某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 )0a.(.|2（3）积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积： b,ab（4）商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即： )0b,a(b2分母有理化是把分母中的根号去掉，要将分子、分母同时乘以分线的有理化因式，二次根式的除法，可以先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行计算。3例题 例 1：判断下列各式哪些是二次根式：(1) ；（2）6 42 x)(;0x3)(;4x例 2：x 为何值时，下列
2、各式在实数范围内有意义（1） x13)5(;26x)4(;|2)3(;|x4)(; 2例 3：写出下列各等式成立的条件（1） （2） （3）x42x2)(3x92（4） 5;例 4：如果 ，求 y-2x 的算术平方根。0|3x|y2x2例 5：已知 ，求 x 的取值范围。7x425x1022 例 6：化简下列各式（1） ；（2）已知 化简 ；2)3()( ,2x1|1x2|)(（3）已知 化简,01xx23例 7：化简（1） 为实数）x(y)2(;0xy42624 例 8：把 根号外的因式移入根号内，化简的结果是（ ）1x)(（A） （B） （C） （D）x1x1例 9：计算（1） ； （2）
3、 ；01.64 52340（3） ； （4）.yx22 )yx.(xy2例 10：计算（1） ；（2） ；)x8(43x2( 35 )632)(63(（3） ； （4）)2)4例 11：求下列各式的有理化因式（1） )17)(623)(5;(2)4;532)(;3 例 12：去掉下列各式中的分母（1） ；（2） ；（3） ；)0x()yx(85)1x(23（4） （5） （6）3)y()0(.12)0y(y224例 13：计算（1） ；)yx()y2x)(3;y254x26)(;50 （4） 13)(;7例 14：已知 的整数部分为 a，小数部分为 b，求 的值。x,321 a25习题：一、选
4、择题：（1） 的算术平方根是（ ）625（A） （B） （C） （D）以上都不对3233（2）把（ 根号外的因式移入根号内，则原式等于（ ）1x)（A） （B） （C） （D）1xx（3）若 ，则 等于（ ）022)(（A） （B ）1 （C） （D ）x2（4）若 ，则化简 的结果是（ ）x2（A）-1（B） （C） （D）133x（5）若 ，则 的取值范围是（ ）)a()2(2a（A） （B） （C） （D）或 23a（6）下列各题中正确的是（ ）（A） 一定是负数； （B）若 则 ；a.0a)(2（C）若 则 ； （D ）若 则 ；.02a|.1|（7）若 有意义，则 的取值范围应该是（
5、 ）2|xx（A） （B） （C） （D） 为全体实数2x或（8）若 有意义，则 应满足的条件是（ ）13（A） （B） （C） （D）x或 13131x且（9）如果 都为实数，则下列等式一定成立的是（ ）y,（A） （B）baa2 ba)(2（C） （D ）2)(6（10）下列计算过程和结果正确的是（ ）（A） 164)16(4 8)4(2（B） （C）ba2 7432（D） 9)0(02（11） 化简 正确的结果是（ ）22ba)a( （A） （B） （C） （D）)ba2(42b4（12） 下列式子是 的有理化因式的是（ ）nm（A） （B） （C） （D）nmn（13） 把 分母有理化
6、的结果是（ ）yx（A） （B） （C） （D）1yx2yx2yx（14） 如果 ，则下列说法正确的是（ ）15b,4a（A） 互为相反数； （B） 互为倒数；b, b,a（C） 相等； （D ）以上都不对。a（15） 。设 为任意实数，则下列各式一定成立的是（ ）x（A） （B）1x12 |x2（C） （D）2)( 3（ 16） 。如果 ，那么 的取值范围是（ 0aa3 a（A） （B） （C） （D）011a（17） 。如果 ，那么 等于（ ）4x|)x4(|2（A） （B） （C） （D）8 x8x7（ 18） 。等式 成立，则实数 的取值范围是（ ）2a92a（A） （B） （C） （
7、D）a110a1（19 ） 。设 则 的值为（ ）,0yx|yx2（A） （B） （C） （D）xyyx二、 填空题：（每题 3 分，共 15 分）（1）如果等式 成立，则 的取值范围是 ；x2（2）若 则化简 的结果是 ；a22a691a（3）若 ，则 的结果是 ； 04)(2（4）化简 的结果是 ；2)31(（5）若 则化简 + 的结果是 ；4x72)13x()x(8（6）求 的范围，使下列各式在实数范围内有意义。； ；235； ；x3x2； ；312； 。|xx13 计算：（每题 5 分，共 20 分）（1） （2） 2)3( 22)37()(8（3） （4） 3521 3243（5）当
8、 时，求 的值。1x1x2（6）已知 求 的值.2|1a|1a4a422（7）已知 求 的值；0|3y|x22x1y（8） ;132231（9） ；541321（10） ；1n321（11）已知 的小数部分为 的小数部分为 求 的值。1919,a,bba2,94化简：（每题 5 分，共 50 分）（1） （2） )41a(62a )2x(1()x(2（3） （4）)8a1(64a12 )01a2(4a4a1292（5） 49x1x22（6）已知 ，求 的值321xx121x2（7） )5x(210x416x210（8） )7x1()49x122 （9） （10）9x61x822 1x22x45
9、在实数范围内因式分解：（1） （2） x25x624（3） （4）3x2 40)2x(126把下列各式分母有理化：（字母表示正数）（1） （2） （3）x987)1x(ba11（4） （5） （6）)4x(31xy3x25（7） （8）161407比较下列各组数的大小：（1） 、 ； （2） ； （3） ；54623,51713,52（4） （5） + ； （8）132,7263,723,18根据条件求值：（1）已知 求 的值；,6b,5aba12（2）已知 求 的值；,12b,a3ba（3）设 求 的值；,23y,2x2xy（4）设 ，求 的值。13b,aab1)(（5）设 ，求 的值；12
10、b,a2ba（6）设 ，23y,x求 ）的值。ba()()ba()a)(ba( 4433 1342 二次根式的化简与计算1最简二次根式是满足以下两个条件的二次根式：（1）被开方数的因数是整数；（2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式。2化简二次根式的步骤：（1）把被开方式（数）化成积的形式，即分解因式；（2）化去根号内的分母；（3）将根号内指数大于 2 的因式移到根号外。3同类二次根式：（1）是最简二次根式；（2）被开方数相同。例 1：在根式 中，最简二次根式有哪几个？xy,27,53xy162,)x(3,42例 2：把下列二次根式化成最简二次根式：（1） )yx0()y1x()4;0y,x(
11、8)3;0x(y75)(; 22 （5） 。2634yx1)6(;0y,x(114例 3：把下列几组二次根式化成最简二次根式，并判断哪组是同类二次根式：（1） ； （2） ；12,75 )0y,x(7,y63,x7654（3） ；)0b,a(932ba08.,1（4） )0m,x(,2,m,4x2,933 例 4：最简根式 与 是同类根式，求 的值。2nm4m13n,15例 5：计算：（1） ；（2）)5.07()31283( ).3128(21（3） ；（4） ；)0x(143x642x2 )0a(182a3273（5） ；（6） 。)34(318)25( )0y,x(y2xy（7） ； （
12、8） ；)32()91( )3425)(32(16（9） ；)37)(5(2)3)(12（10） ；)(623()623例 6：计算：（1） ；)0b,a(yx)baaxyb( 22 （2） ；22)x51()(51（3） 。)0y,x)(xy()yx( 17例 7：根据条件进行计算：（1）已知 求 的值；,31y,2xyx（2）已知 且 求 的值。,4ab,6,ba（3）已知 满足方程 ，求 的值。x)1x(2)(337习题：1选择题：（1）若 ，将 化成最简根式是（ ）0yx2（A） ； （B） ； （C） （D）xy21xy21xy2（2）若 ，则 的值是（ ）2x1|2（A）1； （B
13、） ； （C） （D）1x23815182计算：（1） ；（2） ；2)3(0)34( )53)(7(2（3） ；（4） ；22x11a1a（5） 。21514073求值：（1）已知 求 的值；,31b2aba19（2）已知 求 的值；,a1b,2a2ba（3）已知 求 的值；y,325x,32521)yx(（4）已知 ，并且 ，求 的值。23x1xy22y3x54解方程：（1） ；（2） （ 。031x)23( x623x)22043 二次根式 的化简2a一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，即 )0a.(.|a2例 1：化简：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；)354(2)x(
14、6251528（5） ；（6） ；（7） ；214)34(例 2：化简下列各式：（1） ； （2） ；35 348102730121)7x1()49x1)4( );5(20|6|322 .1x22x4)6( ;96852例 3：根据条件求值：（1）已知 ，求 的值；348x1x（2）已知 ，求 的值。21x1x2x4222习题：1选择题：（1） 的算术平方根是（ ）625（A） （B） （C） （D）以上结论都不对,3,233（2）把 根号外的因式移入根号内，则原式等于（ ）1x)(（A） （B） （C） （D）1x1xx1（3）若 ，则 等于（ ）022)(（A） （B） 1 （C） （D）
15、1x2 22（4）若 ，则化简 的结果是（ ）2x|（A） （B） （C） （D）133x（5）若 ，则 的取值范围是（ ）1)a()2(2a（A） （B） 或 （C） （D）3a2a3a（6）计算 的结果是（ ）2)14.(（A） （B） （C） （D）14.314.314.（7）在根式 中，最简根式个数（ ）xy2,)(yx,ba,9x6,3222 （A）2 个 （B） 3 个 （C）4 个 （D）5 个（8）如果 那么 的结果是（ ）,0a|2（A）0； （B） （C） （D）以上都不对aa2（9）设 ， ，则（ ）6523b（A） ； （B） （C） （D）a1ababa2填空题：（1
16、）如果等式 成立，则 的取值范围是 ；x2（2）若 则化简 的结果是 ；,3a22a691a23（3）若 则化简 的结果 ；,0a4)a1(2（4）化简 的结果是 ；2)31(（5）若 ，则化简 的结果是 ；4x7)x2(8)213x(（6）当 时，二次根式 有意义；6（7）把 分母有理化的结果是 ；253（8） = ；2)410()10(（9）如果 ，则 ；yx2yx（10）已知最简根式 是同类根式，则 = ；3, 23求值题：（1）设 ，求 的值；12a1a252（2）解方程： x12)1x(2244化简：（1） （2）)41a(62a )2x(1()x(2（3） （4）)2a1(|64a12 )01a2(4a4a1292（5） （6）49x1x22 )2a1(2a12a（7） （8）已知 ，求 的值。3415321xx121x225
