1、第四节 满秩分解,本节讨论将一个非零矩阵（长方形）分解成一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积问题.,主要内容： 1矩阵的Hermite标准型 2利用Hermite标准型进行矩阵的满秩分解,满秩分解定理,为了说明矩阵满秩分解定理以及满秩分解方法， 先介绍Hermite 标准形（或行最简形）。,（1）式称为矩阵A的满秩分解.,说明：当A为满秩矩阵（列满秩或行满秩），A可分解为一个因子为单位矩阵，另一个因子为A本身，称此满秩分解为平凡分解。,定义矩阵 的Hermite 标准形H为,1)前r行中，每行至少有一个非0元，且第一个非零元为1，而后m-r行全为0； 2）若H中第i行的第一个非零元1位于第ki
2、（i=1,2,r)列,则有k 1k 2 k r; 3) k 1,k 2, ,k r列为单位矩阵I m的前r列.,即有：,定理：任何一个非零矩阵都可通过初等行变换化为Hermite 标准形H，且H的前r行线性无关。采用矩阵的说法就是，存在,使得,例1 化矩阵A为Hermite 标准形,满秩分解定理：设,且A的Hermite 标准形H为,则取A的第 列构成矩阵B，取H的前r行构成矩阵,C，则A=BC即为矩阵A的满秩分解,1）求矩阵A的Hermite 标准形H； 2）取矩阵C为H的前r个非0行； 3）取矩阵B为A的对应于H的r个单位向量的列； 则A=BC,满秩分解的步骤,例：求矩阵,的满秩分解,首先
3、利用行初等变换求A的Hermite 标准形H：,可见,故A的满秩分解为,设,则,注2、 矩阵A的满秩分解虽然不唯一的，但对不同的 分解：A=BC，乘积 保持不变。,注1、 矩阵A的满秩分解是不唯一的,第五节 QR分解,QR分解也称为正交三角分解,矩阵QR分解是一种特殊的三角分解，在解决矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重要作用。,主要内容： 1矩阵的QR分解- Schmidt正交化方法 2矩阵的QR分解- Householder变换、 Givens变换（略）,QR分解定理,任意一个满秩实(复）矩阵A，都可唯一地分解A = QR ，其中Q为正交（酉）矩阵，R是具有正对角元的上三角矩阵。,由于x 1,x 2, ,x n 线性无关，将它们用Schmidt正交,证明,设A是一个实满秩矩阵, A的n个列向量为 x 1,x 2, ,x n,定义:设,如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵,R，使得,则称之为A的QR分解或酉三角分解,当 时，则称为A的正交三角分解,化方法得标准正交向量e 1,e 2, ,e n,其中,从而有,唯一性略,说明：该定理的证明过程给出了利用Schmidt正交化方法求可逆矩阵QR分解的方法。,例1：利用Schmidt正交化方法求矩阵的QR分解,设,则,线性无关，首先将它们正交化得：,再单位化：,于是：,从而,练习: P93 10;12;13,
