1、1目 录第一讲 分式方程(组)的解法第二讲 无理方程的解法第三讲 简易高次方程的解法第四讲 有关方程组的问题第五讲 函数的基本概念与性质第六讲 二次函数第七讲 函数的最大值与最小值第八讲 根与系数的关系及应用第九讲 判别式及其应用第十讲 一元二次不等式的解法2第一讲 分式方程( 组)的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形变形时可能会扩大(或缩小) 未知数的取值范围，故必须验根 例 1 解方程解 令 y=x22x-8 ，那么原方程为去分母得y(y-15x)(y+9x)(y-15x)
2、y(y 9x)=0，y 2-4xy-45x2=0，(y+5x)(y-9x)=0，所以 y=9x 或 y=-5x由 y=9x 得 x2+2x-8=9x，即 x2-7x-8=0，所以 x1=-1，x 2=8；由 y=-5x，得 x2+2x-8=-5x，即x27x-8=0，所以 x3=-8，x 4=1经检验，它们都是原方程的根例 2 解方程y2-18y+72=0，所以 y 1=6 或 y2=12x2-2x6=0此方程无实数根x2-8x+12=0，所以 x 1=2 或 x2=6经检验，x 1=2，x 2=6 是原方程的实数根例 3 解方程分析与解 我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考
3、虑先用多项式除法化简分式原方程可变为整理得3去分母、整理得x9=0，x=-9经检验知，x=-9 是原方程的根例 4 解方程分析与解 方程中各项的分子与分母之差都是 1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简原方程化为即所以(x+6)(x+7)=(x+2)(x+3) 例 5 解方程分析与解 注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数 1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简原方程变形为整理得去分母得x29x-220，解得 x 1=2，x 2=-11经检验知，x 1=2，x 2=-11 是原方程的根例 6 解方程4次项与常数项符号相反，故
4、可考虑用合比定理化简原方程变形为所以x=0 或 2x2-3x-2=2x2+5x-3例 7 解方程分析与解 形式与上例相似本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简原方程变形为当 x0 时，解得 x=1经检验，x=1 是原方程的根，且 x=0 也是原方程的根说明 使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验例 8 解方程解 将原方程变形为5例 9 解关于 x 的方程将 x1=a-2b 或 x2=b-2a 代入分母 b+x，得 a-b 或 2(b-a)，所以，当 ab 时，x 1=a-2b及 x2=b-2a 都是原方程的根当 a=b 时，原方程无解例 10 如果方
5、程只有一个实数根，求 a 的值及对应的原方程的根分析与解 将原方程变形，转化为整式方程后得2x2-2x+(a+4)=0 原方程只有一个实数根，因此，方程的根的情况只能是：(1)方程有两个相等的实数根，即=4-42(a+4)=0 (2)方程有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程有一个根为 0 或 2(i)当 x=0 时，代入式得 a+4=0，即 a=-4这时方程的另一个根是 x=1(因为 2x2-2x=0，x(x-1)=0，x 1=0 或 x21而 x10 是增根)它不使分母为零，确是原方程的唯一根(ii)当 x=2 时，代入式，得24-22(a+4)=0，即 a=-8这时方程的
6、另一个根是 x=-1(因为 2x2-2x-4=0(x-2)(x+1)=0 ，所以 x1=2(增根)，x 2=-1)它不使分母为零，确是原方程的唯一根因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的 a 的值分别是6练习一1填空：(3)如果关于 x 的方程有增根 x=1，则 k=_2解方程3解方程4解方程5解方程6解方程7m 是什么数值时，方程 有根？第二讲 无理方程的解法未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程) ，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法常用的方法有：乘方法、配方法、因式
7、分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等本讲将通过例题来说明这些方法的运用 例 1 解方程解 移项得两边平方后整理得7再两边平方后整理得x23x-280，所以 x 1=4，x 2=-7经检验知，x 2=-7 为增根，所以原方程的根为 x=4说明 用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号) 来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根例 2 解方程方公式将方程的左端配方将原方程变形为所以两边平方得3x2+x=9-6xx 2，两边平方得3x2+x=x26x9，例 3 解方程即所以8移项得 例 4 解方程解 三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的将原方程变形为配方得利
8、用非负数的性质得所以 x=1，y=2，z=3经检验，x=1，y=2，z=3 是原方程的根例 5 解方程所以将两边平方、并利用得x2y22xy-8=0，(xy4)(xy-2)=0 xy=2 例 6 解方程解 观察到题中两个根号的平方差是 13，即9便得由，得 例 7 解方程分析与解 注意到(2x 2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2)设则u2-v2w 2-t2， u+v=w+t 因为 u+v=w+t=0 无解，所以得u-v=w-t 得 u=w，即解得 x=-2经检验，x=-2 是原方程的根例 8 解方程整理得 y 3-1=(1-y)2，即 (y-1)(y 2+2)=
9、0解得 y=1，即 x=-1经检验知，x=-1 是原方程的根整理得 y 3-2y2+3y=0解得 y=0，从而 x=-1例 9 解方程10边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程根据合分比定理得两边平方得再用合分比定理得化简得 x2=4a2解得 x=2a经检验，x=2a 是原方程的根练习二1填空：2解方程3解方程4解方程5解方程6解关于 x 的方程第三讲 简易高次方程的解法在整式方程中，如果未知数的最高次数超过 2，那么这种方程称为高次方程一元三次方程和一元四次方程有一般解法，但比较复杂，且超过了初中的知识范围，五次或五次以上的代数方程没有一般的公式解法，这由挪威青年
10、数学家阿贝尔于 1824 年作出了证明，这些内容我们不讨论本讲主要讨论用因式分解、换元等方法将某些高次方程化为低次方程来解答 例 1 解方程x3-2x2-4x8=0 11解 原方程可变形为x2(x-2)-4(x-2)=0，(x-2)(x2-4)=0，(x-2)2(x+2)=0所以x1x 22 ，x 3=-2说明 当 ad=bc0 时，形如 ax3bx 2cxd=0 的方程可这样=0 可化为bkx3+bx2+dkx+d=0，即 (kx+1)(bx 2+d)=0方程 ax4+bx3+cx+d=0 也可以用类似方法处理例 2 解方程(x-2)(x 1)(x4)(x+7)=19解 把方程左边第一个因式
11、与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得(x2+5x-14)(x25x4)=19设(y-9)(y+9)=19，即 y 2-8119说明 在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之例 3 解方程(6x7) 2(3x+4)(x+1)=6解 我们注意到2(3x+4)=6x 8=(6x+7)+1，6(x+1)=6x6=(6x7)-1，所以利用换元法设 y=6x 7，原方程的结构就十分明显了令y=6x7， 由(6x7) 2(3x4)(x1)=6 得(6x7) 2(6x8)(6x6)=612，即y2(y1)(y-1)=72，y4-y2-720，(y28)(y 2-9)=0因为
12、y280，所以只有 y2-9=0，y=3代入式，解得原方程的根为例 4 解方程12x4-56x3+89x2-56x+12=012解 观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x 4 的系数与常数项相同，x 3 的系数与 x 的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程由 例 5 解方程解 方程的左边是平方和的形式，添项后可配成完全平方的形式所以经检验，x 1=-1，x 2=2 是原方程的根例 6 解方程13(x+3)4+(x+1)4=82分析与解 由于左边括号内的两个二项式只相差一个常数，所以设于是原方程变为(y1) 4(y-1) 482，整理得y4+6y2-40=0解这个方程，得 y=2，即x+2
13、=2解得原方程的根为 x1=0，x 2=-4说明 本题通过换元，设 y=x2 后，消去了未知数的奇次项，使方程变为易于求解的双二次方程一般地，形如(xa) 4(x+b) 4=c例 7 解方程x 4-10x3-2(a-11)x22(5a+6)x+2a+a 2=0，其中 a 是常数，且 a-6解 这是关于 x 的四次方程，且系数中含有字母 a，直接对 x 求解比较困难(当然想办法因式分解是可行的，但不易看出)，我们把方程写成关于 a 的二次方程形式，即a 2-2(x2-5x-1)a+(x4-10x322x 2+12x)=0，=4(x 2-5x-1)2-4(x4-10x322x 212x)=4(x
14、2-2x+1)所以所以a=x2-4x-2 或 a=x2-6x从而再解两个关于 x 的一元二次方程，得练习三1填空：(1)方程(x1)(x2)(x3)(x 4)=24 的根为_(2)方程 x3-3x2=0 的根为_(3)方程 x4+2x3-18x2-10x+25=0 的根为_(4)方程(x 2+3x-4)2(2x 2-7x6) 2=(3x2-4x+2)2 的根为_2解方程(4x1)(3x+1)(2x+1)(x+1)=3x 43解方程x52x 4-5x35x 2-2x-1=04解方程 145解方程(x+2)4+(x-4)4=2726解关于 x 的方程x3+(a-2)x2-(4a+1)x-a2a+2
15、=0 第四讲 有关方程组的问题在教科书上，我们已经知道了二元一次方程组、三元一次方程组以及简单的二元二次方程组的解法利用这些知识，可以研究一次函数的图像、二次函数的图像以及与此有关的问题本讲再介绍一些解方程组的方法与技巧 1二元二次方程组解二元二次方程组的基本途径是“消元”和“降次”由一个二次和一个一次方程组成的二元二次方程组的一般解法是代入法，由两个二次方程组成的二次方程组在中学阶段只研究它的几种特殊解法如果两个方程的二次项的对应系数成比例，可用加减消元法消去二次项例 1 解方程组解 2-3 得4x9y-6 0方程组中含有某一未知数的对应项的系数的比相等，可用加减消元法消去这个未知数例 2
16、解方程组解 (-2)+得3y2+3y-6=0，所以 y 1=1，y 2=-2解方程组与得原方程组的解15方程组中至少有一个方程可以分解为一次方程的方程组，可用因式分解法解例 3 解方程组解 由得(2x+y)(x-2y)=0，所以 2x+y=0 或 x-2y=0因此，原方程组可化为两个方程组与解这两个方程组得原方程组的解为如果两个方程都没有一次项，可用加减消元法消去常数项，再用因式分解法求解例 4 解方程组解 由-2 得x2-2xy-3y2=0，即 (x+y)(x-3y)=0 ，所以 xy=0 或 x-3y=0分别解下列两个方程组得原方程组的解为2二元对称方程组方程中的未知数 x，y 互换后方程
17、保持不变的二元方程叫作二元对称方程例如16x2-5xyy 2-3x-3y=7，等都是二元对称方程由二元对称方程组成的方程组叫作二元对称方程组例如等都是二元对称方程组我们把叫作基本对称方程组基本对称方程组通常用代入法或韦达定理求解例 5 解方程组解 方程组中的 x，y 分别是新方程m2-5m+4=0的两个解解关于 m 的一元二次方程得 m1=1，m 2=4，所以原方程组的解是这个方程组亦可用代入法求解(略) 由于一般的二元对称式总可以用基本对称式 x+y 和 xy 表示，因此在解二元对称方程组时，一定可以用 xy 和 xy 作为新的未知数，通过换元转化为基本对称方程组例 6 解方程组解 原方程组
18、可变形为2得令 u=xy，则即17而方程组无实数解综上所述，方程组的解为例 7 解方程组分析 本题是一个对称方程组的形式，观察知它可转化为基本对称方程组的形式解 由得xy=16 由，可得基本对称方程组于是可得方程组的解为例 8 解方程组分析 本题属于二元轮换对称方程组类型，通常可以把两个方程相减，因为这样总能得到一个方程 x-y=0，从而使方程降次化简解 -，再因式分解得(x-y)(x+y-10)=0，所以 x-y-0 或 xx-10=0 解下列两个方程组18得原方程组的四组解为例 9 解方程组解法 1 用换元法设4x5=A，4y+5=B，则有即-并平方得整理得所以因此 A-B=0 或分别解下
19、列两个方程组与19经检验，A=B=9 适合方程，由此得原方程组的解是解法 2 -得即所以 x-1 与 y-1 同号或同为零由方程得所以 x-1 与 y-1 不能同正，也不能同负从而x-1=0，y-1=0由此解得经检验，x=1，y=1 是方程组的解练习四1填空：(1)方程组的解有_ 组(2)若 x，y 是方程组(3)已知 3a+b+2c=3，且 a+3b+2c=1，则 2a+c=_(4)已知实数 x，y，z 满足方程组则 xyz=_2解方程组：203设 a，b ，c，x，y， z 都是实数若4已知一元二次方程a(x1)(x+2)+b(x+2)(x 3)c(x3)(x1)=0有两根 0，1，求 a
20、bc5(1)解方程组 第五讲 函数的基本概念与性质函数是中学数学中的一条主线，也是数学中的一个重要概念它使我们从研究常量发展到研究变量之间的关系，这是对事物认识的一大飞跃，而且对于函数及其图像的研究，使我们把数与形结合起来了学习函数，不仅要掌握基本的概念，而且要把解析式、图像和性质有机地结合起来，在解题中自觉地运用数形结合的思想方法，从图像和性质对函数进行深入的研究 1求函数值和函数表达式对于函数 y=f(x)，若任取 x=a(a 为一常数)，则可求出所对应的 y 值 f(a)，此时 y 的值就称为当 x=a 时的函数值我们经常会遇到求函数值与确定函数表达式的问题例 1 已知 f(x-1)=1
21、9x255x-44，求 f(x)解法 1 令 y=x-1，则 x=y+1，代入原式有f(y)=19(y1) 255(y1)-4419y 293y 30 ，所以 f(x)=19x2+93x30解法 2 f(x-1)=19(x-1)293(x-1)+30 ，所以 f(x)=19x293x30 21可例 3 已知函数 f(x)=ax5-bx3x5 ，其中 a，b 为常数若 f(5)=7，求 f(-5)解 由题设f(-x)=-ax 5 bx3-x5=-(ax5-bx3x5)+10=-f(x)+10，所以f(-5)=-f(5)10=3例 4 函数 f(x)的定义域是全体实数，并且对任意实数 x，y，有
22、f(x+y)=f(xy)若 f(19)=99，求 f(1999)解 设 f(0)=k，令 y=0 代入已知条件得f(x)=f(x+0)=f(x0)=f(0)=k，即对任意实数 x，恒有 f(x)=k所以f(x)=f(19)=99，所以 f(1999)=99 2建立函数关系式例 5 直线 l1 过点 A(0， 2)，B(2，0)，直线 l2：y=mxb 过点 C(1，0)，且把AOB 分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，如图 31设此三角形的面积为 S，求 S 关于 m的函数解析式，并画出图像解 因为 l2 过点 C(1，0)，所以 mb=0，即 b=-m设 l2 与 y 轴交于点 D
23、，则点 D 的坐标为(0，-m)，且 0-m2(这是因为点 D 在线段 OA 上，且不能与 O 点重合)，即-2m0 故 S 的函数解析式为22例 6 已知矩形的长大于宽的 2 倍，周长为 12从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边x，试写出梯形面积 S 关于 x 的函数关系式解 设矩形 ABCD 的长 BC 大于宽 AB 的 2 倍由于周长为 12，故长与宽满足4BC 6，0AB 2由题意，有如下两种情形：CE 1x， BE1BC-x，ABCD2(BC-x)，所以(2ABx)+AB=6，所以233含绝对值的函数一次函数的图像是一条直线，含有绝对值符号的
24、函数所对应的图像是由若干条线段和射线所组成的折线；二次函数的图像是抛物线，而 y=|ax2bxc|的图像是将y=ax2+bx+c 在 x 轴下方的图像按 x 轴为对称轴翻到 x 轴的上方对于一些其他的含绝对值符号的函数和方程的图像，需要按区间分段讨论例 7 作函数 y=|3-x|+|x-1|的图像解 当 x1 时，y=(3-x)+(1-x)=-2x+4；当 1x3 时，y=(3-x) (x-1)=2；当 x3 时，y=(x-3) (x-1)=2x-4所以它的图像如图 33 所示例 8 作函数 y=|x2-5x+6|的图像解 当 x2 或 x3 时，x 2-5x+60，于是 y=x2-5x+6；
25、当 2x3 时，x 2-5x+60，于是 y=-(x2-5x+6)所以于是，得图像如图 34 所示例 9 点(x，y)满足方程|x-1|+|y+2|=2，求它的图像所围成区域的面积解 当 x1，y-2 时，x-1y2=2，即y=-x+1当 x1，x-2 时，x-1-(y 2)=2，即y=x-5当 x1，y-2 时，-x+1+y2=2，即24y=x-1当 x1，y-2 时，-x 1-(y2)=2，即y=-x-3于是，所得图像如图 35 所示由此可知，|x-1|+|y+2|=2 的图像是一个对角线长为 4，边长为 2例 10 m 是什么实数时，方程 x2-4|x|5=m 有四个互不相等的实数根？解
26、法 1 将原方程变形为x2-4|x|4=m-1令 y=x2-4|x|+4=m-1，则它的图像如图 36 ，而 y=m-1 是一条与 x 轴平行的直线原方程有四个互不相等的实根，即直线应与曲线有四个不同的交点由图像可知，当 0m-14，即 1m5 时，直线与曲线有四个不同的交点，所以，当 1m 5 时，方程 x2-4|x|5=m 有四个互不相等的实数根说明 本题是一个方程问题，我们利用图形来研究，这是一种非常重要的思想方法数形结合法当然，本题不用图像也是可以解的，下面给出解法，请读者比较一下解法 2 原方程变形为(|x|-2)2m-1 ，25练习五1填空：(1)已知 f(x-1)=19x255x
27、-44，则 f(x)=_(2)对所有实数 x，f(x 2+1)=x45x 23，那么对所有实数 x，f(x 2-1)=_(3)设 x 与 y2 成反比例，y 与 z2 成正比例当 x=24 时，y=2；当 y=18 时，z=3，则z=1 时，x=_ (4)已知 y=2x2mx5 的值恒为正，且 m 为实数，则 m 的范围是_函数，且当 x=2，x=3 时，y 的值都为 19，则 y 的解析式为 y=_(6)如果 ym 与 xn 成正比例，且当 x=1 时，y=2；当 x=-1 时，y=1，则 y 与 x 间的函数关系式是 y=_2在平面直角坐标系里，点 A 的坐标是(4，0)，点 P 是第一象
28、限内一次函数 y=-x6 的图像上的点，原点是 O，如果OPA 的面积为 S，P 点坐标为(x ，y)，求 S 关于x 的函数表达式3平面直角坐标上有点 P(-1，-2)和点 Q(4，2) ，取点 R(1，m)，试问当 m 为何值时，PRRQ 有最小值试求 k 的取值范围5设 y=|x+2|+|x-4|-|2x-6|，且 2x8，试求 y 的最大值与最小值之和6作 y=2|x-3|，y=x-a 的图像，问 a 取什么值时，它们可以围出一个平面区域，并求其面积7m 是什么实数时，方程|x 2-4x+3|=m 有三个互不相等的实数解第六讲 二次函数二次函数是一类十分重要的最基本的初等函数，也是初中
29、数学的主要内容之一，它在中学数学中起着承上启下的作用，它与一元二次方程、一元二次不等式知识的综合运用，是初中代数的重点和难点之一另外，二次函数在工程技术、商业、金融以及日常生活中都有着广泛的应用通过对二次函数的学习，使我们能进一步理解函数思想和函数方法，提高分析问题、解决问题的能力正确掌握二次函数的基本性质是学好二次函数的关键 1二次函数的图像及其性质例 1 (1)设抛物线 y=2x2，把它向右平移 p 个单位，或向下移 q 个单位，都能使得抛物线与直线 y=x-4 恰好有一个交点，求 p，q 的值(2)把抛物线 y=2x2 向左平移 p 个单位，向上平移 q 个单位，则得到的抛物线经过点(1
30、，3)与(4，9)，求 p，q 的值(3)把抛物线 y=ax2bxc 向左平移三个单位，向下平移两个单位析式 解 (1)抛物线 y=2x2 向右平移 p 个单位后，得到的抛物线为 y=2(x-p)2于是方程2(x-p)2=x-4有两个相同的根，即方程2x2-(4p+1)x+2p24=0的判别式=(4p+1) 2-42(2p24)=0，抛物线 y=2x2 向下平移 q 个单位，得到抛物线 y=2x2-q于是方程 2x2-q=x-426有两个相同的根，即=1-42(4-q)=0，(2)把 y=2x2 向左平移 p 个单位，向上平移 q 个单位，得到的抛物线为 y=2(x+p)2q于是，由题设得解得
31、 p=-2，q=1，即抛物线向右平移了两个单位，向上平移了一个单位解得 h=3，k=2原二次函数为说明 将抛物线 y=ax2bxc 向右平移 p 个单位，得到的抛物线是 y=a(x-p)2b(x-p)c；向左平移 p 个单位，得到的抛物线是 y=a(xp) 2b(xp)c；向上平移 q 个单位，得到y=ax2bxc q；向下平移 q 个单位，得到 y=ax2bxc-q例 2 已知抛物线 y=ax2bx c 的一段图像如图 3 7 所示(1)确定 a， b，c 的符号；(2)求 abc 的取值范围解 (1)由于抛物线开口向上，所以 a0又抛物线经过点(0，-1)，合 a0 便知b0所以 a 0，
32、b0 ，c 0(2)记 f(x)=ax2bxc由图像及(1) 知27所以a+bc=a (a-1)-1=2(a-1)，-2ab c0例 3 已知抛物线 y=ax2-(ac)x+c(其中 ac)不经过第二象限(1)判断这条抛物线的顶点 A(x0，y 0)所在的象限，并说明理由；(2)若经过这条抛物线顶点 A(x0，y 0)的直线 y=-x+k 与抛物线的另一解 (1)因为若 a0，则抛物线开口向上，于是抛物线一定经过第二象限，所以当抛物线y=ax2-(ac)x+c 的图像不经过第二象限时，必有 a0又当 x=0 时，y=c，即抛物线与 y 轴的交点为(0，c)因为抛物线不经过第二象限，所以c0于是
33、所以顶点 A(x0， y0)在第一象限B 在直线 y=-x+k 上，所以 0=-1+k，所以 k=1又由于直线 y=-x+1 经过 -2x2+2x 2求二次函数的解析式求二次函数 y=ax2bx c(a0) 的解析式，需要三个独立的条件确定三个系数 a，b ，c一般地有如下几种情况：(1)已知抛物线经过三点，此时可把三点坐标代入解析式，得到关于 a，b，c 的三元一次方程组，解方程组可得系数 a，b，c或者已知抛物线经过两点，这时把两点坐标代入解析式，得两个方程，再利用其他条件可确定 a，b，c或者已知抛物线经过某一点，这时把这点坐标代入解析式，再结合其他条件确定 a，b，c(2)已知抛物线的
34、顶点坐标为 (h，k)，这时抛物线可设为ya(x-h) 2k，再结合其他条件求出 a(3)已知抛物线与 x 轴相交于两点 (x1，0)，(x 2，0)，此时的抛物线可设为y=a(x-x1)(x-x2)，再结合其他条件求出 a28例 4 设二次函数 f(x)=ax2bxc 满足条件：f(0)=2，f(1)=-1，解 由 f(0)=2，f(1)1，得即 c=2，b=-(a3)因此所求的二次函数是yax 2-(a3)x 2 由于二次函数的图像在 x 轴上所截得的线段长，就是方程 ax2-(a3)x2=0 两根差的绝对值，而这二次方程的两根为于是因此所求的二次函数表达式为例 5 设二次函数 f(x)=
35、ax2bx+c ，当 x=3 时取得最大值 10，并且它的图像在 x 轴上截得的线段长为 4，求 a，b ，c 的值分析 当 x=3 时，取得最大值 10 的二次函数可写成 f(x)a(x-3) 210 ，且 a0解 因为抛物线的对称轴是 x=3，又因为图像在 x 轴上截得的线段长是 4，所以由对称性，图像与 x 轴交点的横坐标分别是 1，5因此，二次函数又可写成f(x)=a(x-1)(x-5)的形式，从而a(x-3)2+10=a(x-1)(x-5)，所以例 6 如图 38 ，已知二次函数 y=ax2bxc(a0，b0)的图像与 x 轴、y 轴都只有一个公共点，分别为点 A，B，且 AB=2，
36、b 2ac=029(1)求二次函数的解析式；(2)若一次函数 y=xk 的图像过点 A，并和二次函数的图像相交于另一点 C，求ABC 的面积解 (1)因二次函数的图像与 x 轴只有一个公共点，故 b2-4ac0，而 b+2ac=0，所以b22b=0，b=-2(因为 b0)点 B 的坐标为(0，c)，AB=2 ，由勾股定理得所以 1a 2c2=4a2因为 ac=1，所以4a2=2，练习六1填空：(1)将抛物线 y=2(x-1)2+2 向右平移一个单位，再向上平移三个单位，得到的图像的解析式为_(2)已知 y=x2pxq 的图像与 x 轴只有一个公共点(-1，0)，则(p ，q)=_30(3)已知
37、二次函数 y=a(x-h)2k 的图像经过原点，最小值为-8，且形(4)二次函数 y=ax2bxc 的图像过点 A(-1，0)，B(-3，2)，且它与 x 轴的两个交点间的距离为 4，则它的解析式为_(5)已知二次函数 y=x2-4xm8 的图像与一次函数 y=kx+1 的图像相交于点(3，4) ，则m=_，k=_ (6)关于自变量 x 的二次函数 y=-x2(2m2)x-(m 2+4m-3)中，m 是不小于零的整数，它的图像与 x 轴交于点 A 和点 B，点 A 在原点左边，点 B 在原点右边，则这个二次函数的解析式为_2设抛物线 y=x22ax b 与 x 轴有两个不同交点(1)把它沿 y
38、 轴平移，使所得到的抛物线在 x 轴上截得的线段的长度是原来的 2 倍，求所得到的抛物线；(2)通过(1)中所得曲线与 x 轴的两个交点，及原来的抛物线的顶点，作一条新的抛物线，求它的解析式3已知抛物线 y=ax2bx c 与 x 轴交于 A，B 两点，顶点为 C(2)若ABC 是等腰直角三角形，求 b2-4ac 的值；(3)若 b2-4ac=12，试判断ABC 的形状4有两个关于 x 的二次函数 C1：y=ax 24x 3a 和 C2：y=x 2+2(b2)x+b 2+3b当把 C1 沿x 轴向左平移一个单位后，所得抛物线的顶点恰与 C2 的顶点关于 x 轴对称，求 a，b5已知二次函数 y
39、x 2-2bx+b2+c 的图像与直线 y=1-x 只有一个公共点，并且顶点在二次函数 y=ax2(a0)的图像 上，求 a 的取值范围第七讲 函数的最大值与最小值我们常常遇到求最大值和最小值的问题，在许多情况下可以归结为求函数的最大值与最小值这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题 1一次函数的最大值与最小值一次函数 y=kxb 在其定义域(全体实数) 内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x 的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了例 1 设 a 是大于零的常数，且 a1， 求 y 的最大值与最小值大值 a
