1、九年级数学竞赛试卷一、填空（每小题 3 分，共 30 分）1、已知 是方程 的一个根，则代数式 m210x2m2、一名同学在掷骰子，连续抛了 9 次都没有点数为 6 的面朝上，当他掷第 10 次时，点数为 6 的面朝上是 事件。3、已知 则 3,aba(1)b4、如图，O 是 的外接圆， ， ，ABC032ABc则O 的半径为 cm。5、已知 是关于 的方程 的一个根，则 _1xx22axa6、如图，如果从半径为 9cm 的圆形纸片剪去 圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不13重叠） ，那么这个圆锥的高为_cm。7、如图，将一块斜边长为 12cm， 的直角三角板 ，绕点 沿逆时针
2、方向旋转 至60BABC90的位置，再沿 向右平移，使点 刚好落在斜边 上，那么此三角板向右平移的距离是 ABC cm8、如图，A 是第一象限里的点，点 B 是点 A 关于原点的对称点，点 C 是点 A 关于 轴的对称点，则以点 A，B ，C 为顶点的三角x形是 三角形。9、如图是 正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形4并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形10、已知：关于 的一元二次方程 没有实数x221()04xRrd根，其中 、 分别为O 1 和O 2 的半径， 为此两圆的圆心距，则 O 1 和O 2 的位置关系为 Rr。二、选择题（每小题 3 分，共 18 分）11、下列图形
3、中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D12、如图所示，电路图上有 A、B、C 三个开关和一个小灯泡，闭合开关 C 或者同时闭合开关 A、B，都可使小灯泡发光现在任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于（ ） AB()A、 B、 C、 D、32134113、已知： 是两个连续自然数 ，且 设mn， ()mnqpqnm，则 （ ）p总是奇数 总是偶数有时是奇数，有时是偶数 有时是有理数，有时是无理数14、如图，O 内切于 ，切点分别为 D，E，F ，已知 ， ，连接ABC05B06COE、OF、DE、DF，那么 等于（ ）EA、 B、 C、 D、05040650715、为执行
4、“一免一补”政策，我市 2006 年投入教育经费 2500 万元，预计 2008 年投入 3600 万元设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为 ，则下列方程正确的是（ ）x 2036x20(1)360 5(1%)0 25()0x16、如图，将半径为 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好cm经过圆心 ，则折痕 的长为（ ）OAB 2c3232cm三、解答题（第 17 题 6 分，18、19 题 7 分共 20 分）17、计算： 11()18、如图， 中， ， ，求斜边 上的高 ABCRt 2,8BCAABCD19、小军与小玲共同发明了一种“字母棋” ，进行比胜负的游戏她们用四种字母做成 10 只棋子，其
5、中 A BCA 棋 1 只，B 棋 2 只，C 棋 3 只，D 棋 4 只“字母棋”的游戏规则为： 游戏时两人各摸一只棋进行比赛称一轮比赛，先摸者摸出的棋不放回；A 棋胜 B 棋、C 棋；B 棋胜 C 棋、D 棋；C 棋胜 D 棋；D 棋胜 A 棋；相同棋子不分胜负(1)若小玲先摸，问小玲摸到 C 棋的概率是多少?(2)已知小玲先摸到了 C 棋，小军在剩余的 9 只棋中随机摸一只，问这一轮中小玲胜小军的概率是多少?(3)已知小玲先摸一只棋，小军在剩余的 9 只棋中随机摸一只，问这一轮中小玲希望摸到哪种棋胜小军的概率最大?四、每小题 8 分，共 16 分。20、如图，已知 为等边三角形， M 为
6、三角形外任意一点。ABC（1）请你借助旋转知识说明 ；C（2）线段 AM 是否存在最大值？若存在，请指出存在的条件；若不存在，请说明理由。21、如图，已知：AB 是O 的直径，AC 是弦，CD 切O 于点 C，交 AB 的延长线于点 D，BD=5 。012ACD（1）求证：CA=CD；（2）求O 的半径。五、第 22 题 8 分，第 23 题 9 分共 17 分22、某超市销售一批羽绒服，平均每天可售 20 件，每件盈利 40 元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当降价，如果每件羽绒服降阶 1 元，平均每天可多售出 2 件，如果超市要保证平均每天要盈利 1200 元，同时又要顾客得到实惠，那么每
7、件羽绒服应降价多少元？23、已知 x1，x 2 是关于 x 的方程（ x2） （xm）=（p2） （pm）的两个实数根（1）求 x1，x 2 的值；（2）若 x1，x 2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数 m，p 满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值六、第 24 题 9 分，第 25 题 10 分共 19 分24、已知：如图，ACD=90，AC=2，点 B 为 CG 边上的一个动点，连接 AB，将ACB 沿 AB 边所在的直线翻折得到ADB，过点 D 作 DFCG 于点 F。（1）当 BC= 233时，判断直线 FD 与以 AB 为直径的O 的位置关系，并加以证明；（2
8、）如图，点 B 在 CG 上向点 C 运动，直线 FD 与 AB 为直径的O 交于 D、H 两点，连接 AH，当CAB=BAD=DAH 时，求 BC 的长。25、在图 15 中，正方形 ABCD 的 边 长 为 a， 等 腰 直 角 三 角 形 FAE 的 斜 边AE 2b， 且 边 AD 和 AE 在 同 一 直 线 上 操作示例当 2b a 时 ， 如 图 1， 在 BA 上 选 取 点 G， 使 BG b， 连 结 FG 和 CG， 裁 掉 FAG 和 CGB 并 分 别 拼 接 到 FEH 和 CHD 的 位 置 构 成 四 边 形 FGCH思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将
9、FAG 绕点 F 逆时针旋 转 90到 FEH 的 位 置 ， 易 知 EH 与AD 在 同 一 直 线 上 连 结 CH，由剪拼方法可得 DH=BG，故CHDCGB，从而又可将CGB 绕点 C顺时针旋转 90到CHD 的位置这样，对于剪拼得到的四 边 形 FGCH（ 如 图 1） ， 过 点 F 作 FM AE 于 点M（ 图 略 ） ， 利 用 SAS 公 理 可 判 断 HFM CHD， 易 得 FH=HC=GC=FG， FHC=90 进 而 根 据 正 方 形 的判 定 方 法 ， 可 以 判 断 出 四 边 形 FGCH 是 正 方 形 实践探究（1）正方形 FGCH 的面积是 ；（
10、用含 a，b 的式子表示）（2）类比图 1 的剪拼方法，请你就图 2、图 3、图 4 的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图联想拓展小 明 通 过 探 究 后 发 现 ： 当 ba 时，此 类 图 形 都 能 剪 拼 成 正 方形 ， 且 所 选 取 的 点 G 的 位 置 在 BA 方 向 上 随 着 b 的 增 大 不 断 上移 图 3FAB CD E图 4FAB CD E图 2FAB C(E) D（2ba） （a2b2a）（ba）F图 1AB CE D HG（ 2b a）F图 5AB CED（ b a）当 b a 时 ， 如 图 5 的 图形能否剪拼成一个正方形？若能，请 你 在
11、图 中 画 出 剪 拼 的 示 意 图 ； 若 不 能 ，简 要 说 明 理 由 附参考答案：一、1、1；2、随机；3、 ；4、2；35、1 或2；6、 ；7、 568、等腰直角三角形；9、如图所示：10、外离（注：写“相离”者不给分）二、11、D; 12、C; 13、D; 14、A; 15、B; 16、C;三、17：解：原式21（ ）3 分49315 分26 分18、解：AC 2 分6282BCAS ABC ACBC= CDAB3 分CD= 7 分28619、 （2007 苏州中考题）解：(1)小玲摸到 C 棋的概率等于 ；1 分30(2)小玲在这一轮中胜小军的概率是 3 分49(3)若小玲
12、摸到 A 棋，小玲胜小军的概率是 ；若小玲摸到 B 棋，小玲胜小军的概率是 ；若小玲5 79摸到 C 棋，小玲胜小军的概率是 ；若小玲摸到 D 棋，小玲胜小军的概率是 由此可见，小玲希望1摸到 B 棋，小玲胜小军的概率最大 7 分。20、 （数学理报 2007 下期末专号）（1）将BMC 绕 B 点逆时针方向旋转，使 C 点与 A 点重合，得BMA。1 分MBM=60 0 、BM=B M 、A MMC；BMM为正三角形；M M=BM。2 分 若 M在 AM 上，则 AM=AM+M M=BM+MC3 分 若 M不在 AM 上，连结 AM、MM，在AMM中，根据三角形三边关系可知：AMAM+M M
13、，AMBM+MC。5 分（2）线段 AM 有最大值。6 分当且仅当 M在 AM 上时，AMBM+MC；存在的条件是：ABM=60 0 。8 分21、 （1）连结 OC，1 分CD 是O 的切线，OCD=90 0 , 2 分OCA=ACD-OCD =1200 - 900 =300 ; OAC= OCA=3003 分又ADC=180 0 - ACD - OAC=180 0 -1200 -300=300=OAC4 分 CA=CD.5 分（2）ADC =300 OC= OD=OB6 分1B 是 OD 的中点， OB5，即O 的半径为 5。8 分22、解：设每件羽绒服应降价 x 元，依题意得：(40x)
14、(20+2x)=12003 分整理得：x 2 -30x+200=05 分解得：x 1 =10; x2 =20;7 分为了使顾客多得实惠，所以要尽量多降价，故 x 取 20 元。答：每件羽绒服应降价 20 元。8 分23（2007 年四川绵阳中考题） 、解（1） 原方程变为：x 2（m + 2）x + 2m = p2（m + 2）p + 2m， x 2p 2（m + 2）x + （m + 2）p = 0，2 分（xp） （x + p ）（m + 2） （xp）= 0，3 分即 （xp） （x + pm2）= 0， x1 = p， x2 = m + 2p4 分（2） 直角三角形的面积为 = 5 分
15、)2(1pxpm)2(12= 4)2(2mp= ，7 分8()(122m 当 且 m2 时，以 x1，x 2 为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为p或 9 分。8)2(m2124、证明：如图，作以 AB 为直径的OADB 是将ACB 沿 AB 边所在的直线翻折得到的，ADBACB，ADB=ACB=90 .O 为 AB 的中点，连接 DO, OD=OB= AB,点 D 在O 上.在 Rt ACB 中，BC= ，AC=2,AB= = ,CAB=BAD=30 , ABC=ABD=60 , BOD 是等边三角形,BOD=60 ,ABC=BOD,FCDO.DFCG, ODF=BFD=90.OD
16、FD,FD 为O 的切线.(2)如图,延长 AD 交 CG 于点 E.同(1)中的方法,可证点 C 在O 上.四边形 ADBC 是圆内接四边形,FBD=1+2,同理FBD=2+3.1=2=3,FBD= FDB.又DFB=90,FBD=CAD=45. ACE=90,EC=BC=x,又EDB=90,EB=x,EB+BC=EC,x+x=2.解得 x=2-2,BC=2-2.25、 （2007 年河北省中考题）实践探究（1）a 2+b2； 2 分（2）剪拼方法如图 3图 5 （每图 2 分） 8 分联想拓展 能； 9 分剪拼方法如图 6（图中 BG=DH=b） 10 分（注：图 6 用其它剪拼方法能拼接
17、成面积为 a2+b2 的正方形均给分）F图 3AB C(E) D HGF图 5AB CD EF图 4AB CE HDGF图 6AB CEDGH做人最好状态是懂得尊重，不管他人闲事，不晒自己优越，也不秀恩爱。你越成长越懂得内敛自持，这世界并非你一人存在。做人静默，不说人坏话，做好自己即可。不求深刻，只求简单。你活着不是只为讨他人喜欢，也不是为了炫耀你拥有的，没人在乎，更多人在看笑话。你变得优秀，你身边的环境也会优化。3. 从今天开始，帮自己一个忙，不再承受身外的目光，不必在意他人的评价，为自己活着。从今天开始，帮自己一个忙，做喜欢的事情，爱最亲近的人，想笑就大笑，想哭就痛哭，不再束缚情感的空间，
18、让自己活得轻松些。4. 很多你觉得天大的事情，当你急切地向别人倾诉时，在别人眼中也是个小事，他最多不痛不痒呵呵地应和着。因为他不是你，他无法感知你那种激烈的情绪。直到有一天，你觉得无需再向别人提起，你就已经挽救了你自己。这世界上除了你自己，没谁可以真正帮到你。5, 我们总是带着面具走进爱情的，总想展示自己最优越的一面，你要接受一个人，不只是接受他的优越，而是看清了他的平凡普通却仍然去深爱。事实经常是：我们走着走着，就感觉对方变了，其实我们并没有变，我们只是走进对方最真实的地方，然后迷失了自己。6. 我捧你，你就是杯子，我放手，你就是玻璃渣子。无论是恋人还是朋友，珍惜在你每一次难过、伤心时都陪伴
19、在你身边的人。珍惜经常和你开玩笑的人，说明你在这个人的心中肯定有一定的分量。 珍惜在你心情不好时第一个发现的人。7. 今天再大的事，到了明天就是小事；今年再大的事，到了明年就是故事；今生再大的事，到了来世就是传说。人生如行路，一路艰辛，一路风景。你目光所及，就是你的人生境界。总是看到比自己优秀的人，说明你正在走上坡路；总是看到不如自己的人，说明你正在走下坡路。与其埋怨，不如思变。8. 归零是一种积极的心态。所有的成败相对于前一秒都是一种过去。过去能支撑未来，却代替不了明天。学会归零，是一种积极面向未来的意识。把每一天的醒来都看作是一种新生，以婴儿学步的态度，认真用好睡眠以前的时刻。归零，让坏的
20、不影响未来，让好的不迷惑现在。9. 总有一天，你会与那个对的人不期而遇：所谓的幸福，从来都是水到渠成的。它无法预估，更没有办法计算，唯一能做得是：在遇见之前保持相信，在相遇之后寂静享用。宁可怀着有所期待的心等待下去，也不愿去对岁月妥协，因为相信幸福也许会迟到，但不会缺席。做人最好状态是懂得尊重，不管他人闲事，不晒自己优越，也不秀恩爱。你越成长越懂得内敛自持，这世界并非你一人存在。做人静默，不说人坏话，做好自己即可。不求深刻，只求简单。你活着不是只为讨他人喜欢，也不是为了炫耀你拥有的，没人在乎，更多人在看笑话。你变得优秀，你身边的环境也会优化。3. 从今天开始，帮自己一个忙，不再承受身外的目光，
21、不必在意他人的评价，为自己活着。从今天开始，帮自己一个忙，做喜欢的事情，爱最亲近的人，想笑就大笑，想哭就痛哭，不再束缚情感的空间，让自己活得轻松些。4. 很多你觉得天大的事情，当你急切地向别人倾诉时，在别人眼中也是个小事，他最多不痛不痒呵呵地应和着。因为他不是你，他无法感知你那种激烈的情绪。直到有一天，你觉得无需再向别人提起，你就已经挽救了你自己。这世界上除了你自己，没谁可以真正帮到你。5, 我们总是带着面具走进爱情的，总想展示自己最优越的一面，你要接受一个人，不只是接受他的优越，而是看清了他的平凡普通却仍然去深爱。事实经常是：我们走着走着，就感觉对方变了，其实我们并没有变，我们只是走进对方最
22、真实的地方，然后迷失了自己。6. 我捧你，你就是杯子，我放手，你就是玻璃渣子。无论是恋人还是朋友，珍惜在你每一次难过、伤心时都陪伴在你身边的人。珍惜经常和你开玩笑的人，说明你在这个人的心中肯定有一定的分量。 珍惜在你心情不好时第一个发现的人。7. 今天再大的事，到了明天就是小事；今年再大的事，到了明年就是故事；今生再大的事，到了来世就是传说。人生如行路，一路艰辛，一路风景。你目光所及，就是你的人生境界。总是看到比自己优秀的人，说明你正在走上坡路；总是看到不如自己的人，说明你正在走下坡路。与其埋怨，不如思变。8. 归零是一种积极的心态。所有的成败相对于前一秒都是一种过去。过去能支撑未来，却代替不了明天。学会归零，是一种积极面向未来的意识。把每一天的醒来都看作是一种新生，以婴儿学步的态度，认真用好睡眠以前的时刻。归零，让坏的不影响未来，让好的不迷惑现在。9. 总有一天，你会与那个对的人不期而遇：所谓的幸福，从来都是水到渠成的。它无法预估，更没有办法计算，唯一能做得是：在遇见之前保持相信，在相遇之后寂静享用。宁可怀着有所期待的心等待下去，也不愿去对岁月妥协，因为相信幸福也许会迟到，但不会缺席。
