1、推广,第九章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意: 善于类比, 区别异同,多元函数微分法,及其应用,第一节,一、区域,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,多元函数的基本概念,一、 区域,1. 邻域,点集,称为点 P0 的 邻域.,例如,在平面上,(圆邻域),在空间中,(球邻域),说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成,点 P0 的去心邻域记为,在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为,。,因为方邻域与圆,邻域可以互相包含.,2. 区域,(1) 内点、外点、边界点,设有点集 E 及一点 P :, 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域
2、 U(P) E = , 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E,则称 P 为 E 的内点；,则称 P 为 E 的外点 ;,则称 P 为 E 的边界点 .,的外点 ,显然, E 的内点必属于 E ,E 的外点必不属于 E ,E 的,边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .,(2) 聚点,若对任意给定的 ,点P 的去心,邻域,内总有E 中的点 ,则,称 P 是 E 的聚点.,聚点可以属于 E , 也可以不属于 E,(因为聚点可以为,所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .,E 的边界点 ),(3) 开区域及闭区域, 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；, 若点集 E E
3、 , 则称 E 为闭集；, 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.,则称 D 是连通的 ;, 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;,。 。, E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;,例如，在平面上,开区域,闭区域, 整个平面, 点集,是开集，,是最大的开域 ,也是最大的闭域 ;,但非区域 ., 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点,A 的距离 AP K ,则称 D 为有界域 ,界域 .,否则称为无,*3. n 维空间,n 元有序数组,的全体所构成的集合记作,即,中的每一个元素用单个粗体字母 x 表示, 即,
4、定义:,线性运算,其元素称为点或,n 维向量.,xi 称为 x 的第 i 个坐标 或 第 i 个分量.,称为 n 维空间,的距离定义为,中点 a 的 邻域为,与零元 0 的距离为,则称 x,显然,趋于a ,二、多元函数的概念,引例:, 圆柱体的体积, 定量理想气体的压强, 三角形面积的海伦公式,定义1. 设非空点集,点集 D 称为函数的定义域 ;,数集,称为函数的值域 .,特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数,当 n = 3 时, 有三元函数,映射,称为定义,在 D 上的 n 元函数 , 记作,例如, 二元函数,定义域为,圆域,说明:,二元函数 z = f (x, y), (x, y)
5、 D,图形为中心在原点的上半球面.,的图形一般为空间曲面 .,三元函数,定义域为,图形为,空间中的超曲面.,单位闭球,三、多元函数的极限,定义2. 设 n 元函数,点 ,则称 A 为函数,(也称为 n 重极限),当 n =2 时, 记,二元函数的极限可写作：,P0 是 D 的聚,若存在常数 A ,对一,记作,都有,对任意正数 , 总存在正数 ,切,例1. 设,求证:,证:,故,总有,要证,例2. 设,求证：,证：,故,总有,要证, 若当点,趋于不同值或有的极限不存在，,解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.,则可以断定函数极限,
6、则有,k 值不同极限不同 !,在 (0,0) 点极限不存在 .,以不同方式趋于,不存在 .,例3. 讨论函数,函数,例4. 求,解: 因,而,此函数定义域 不包括 x , y 轴,则,故,仅知其中一个存在,推不出其他二者存在.,注. 二重极限,不同.,如果它们都存在, 则三者相等.,例如,显然,与累次极限,但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .,例3,四、 多元函数的连续性,定义3 . 设 n 元函数,定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上,如果存在,否则称为不连续,此时,称为间断点 .,则称 n 元函数,连续.,连续,例如, 函数,在点(0 , 0)
7、极限不存在,又如, 函数,上间断.,故 ( 0, 0 )为其间断点.,在圆周,结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.,定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则,* (4) f (P) 必在D 上一致连续 .,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;,(3) 对任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),(一致连续性定理),闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:,(证明略),解: 原式,例5.求,例6. 求函数,的连续域.,解:,内容小结,1. 区域,邻域 :,区域,连通的开集,2. 多元函数概念,n 元函数,常用,二元函数,(图形一般为空间曲面),三元函数,有,
8、3. 多元函数的极限,4. 多元函数的连续性,1) 函数,2) 闭域上的多元连续函数的性质:,有界定理 ;,最值定理 ;,介值定理,3) 一切多元初等函数在定义区域内连续,解答提示:,P61 题 2.,称为二次齐次函数 .,P61 题 4.,P61 题 5(3).,定义域,P61 题 5(5).,定义域,P62 题 8.,间断点集,P129 题 3.,定义域,P129 题 *4.,令 y= k x ，,若令, 则,可见极限 不存在,备用题,1. 设,求,解法1 令,1 .,设,求,解法2 令,即,2.,是否存在？,解: 利用,所以极限不存在.,3. 证明,在全平面连续.,证:,为初等函数 , 故连续.,又,故函数在全平面连续 .,由夹逼准则得,
