1、3.3.2几何概型,普通高中课程标准实验教科书 数学（必修3） 第二课时,复习回顾,1.古典概型与几何概型的区别.,相同：两者基本事件的发生都是等可能的； 不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.,2.古典、几何概型的概率公式.,3.古典、几何概型问题的概率的求解方法.,EX1.已知:公共汽车在05分钟内随机地到达车站，求汽车在13分钟之间到达的概率。,分析：将05分钟这段时间看作是一段长度为5个单位长度的线段，则13分钟是这一线段中的2个单位长度。,解：设“汽车在13分钟之间到达”为事件A，则,答：“汽车在13分钟之间到达”的概率为,EX2.有一杯1升的水,其中含
2、有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.,解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件。,由几何概型的概率的公式，得,答:小杯水中含有这个细菌的概率为0.1;,EX3.一张方桌的图案如图所示将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求下列事件的概率: （1）豆子落在红色区域； （2）豆子落在黄色区域； （3）豆子落在绿色区域； （4）豆子落在红色或绿色区域； （5）豆子落在黄色或绿色区域,问题1:图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的
3、概率是多少?,事实上,甲获胜的概率与黄色所在扇形区域的圆弧的长度有关,而与黄色所在区域的位置无关.因为转转盘时,指针指向圆弧上哪一点都是等可能的.不管这些区域是相邻,还是不相邻,甲获胜的概率是不变的.,若把转盘的圆周的长度设为1， 则以转盘（1）为游戏工具时，,以转盘（2）为游戏工具时，,分析:上述问题中,基本事件有无限多个,类似于古典概型 的“等可能性”还存在, 但不能用古典概型的方法求解.,几何概型的定义(重申与回顾),如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基
4、本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.,在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:,(1)如果在转盘上，区域B缩小为一个单点，那么甲获胜的概率是多少？,问题2:图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?,构成事件“甲获胜”的区域长度是一个单点的长度0，所以P(甲获胜)=0,(2)如果在转盘上，区域B扩大为整个转盘扣除一个单点，那么甲获胜的概率是多少？,构成事件“甲获胜”的区域长度是圆周的长度减去一个单点的长度0，所以P(甲获胜)=1,归纳(1)概率为0的事件不一定是不可能事件(2)概率为1的事件不一
5、定是必然事件,示例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.,分析：假设他在060分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，但060之间有无穷个时刻，,可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率。,又因为电台每隔1小时报时一次，他在060之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件。,解: 设事件A=等待的时间不多于10分钟. 事件A恰好是打开收音机的时刻位于50,60 时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得答“等待的时间不超过10分钟”的概
6、率为,示例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.,练习4.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?,解：如上图，记“剪得两段绳子长都不小于1m”为事件A，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生。由于中间一段的长度等于绳子长的三分之一,所以事件A发生的概率P（A）=1/3。,3m,1m,1m,示例2已知:等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上 任取一点M，求AM小于AC的概率。,分析:由点M随机地落在线段AB上，则线段AB为区域D.当点M位于图中的线段AC上时，则AMAC，故线段
7、AC即为区域d。,解： 在AB上截取AC=AC，则P（AMAC）=P（AMAC）,答：AM小于AC的概率为,示例3(会面问题)已知甲乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。,解： 设 以 X , Y 分别表示甲、乙二人到达的时 刻，则有,即 点 M 应落在图中的阴影部 分.所有的点构成一个正方形。,.M(X,Y),二人会面的条件是：,记“两人会面”为事件A,思考题,甲乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一个人一刻钟,到时即可离去,求两人能会面的概率.,【示例2】
8、假设您家订了一份报纸,送报人可能在早上6:307:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:008:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?,解以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系,父亲在离开家前能得到报纸的事件构成区域是：,由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即事件A发生,所以,答:父亲在离开家前能得到报纸的概率是 。,练习4：在半径为1的圆上随机地取两点， 连成一条线，则其长超过圆内等边三角形 的边长的概率是多少？,B
9、,C,D,E,.,0,解：记事件A=弦长超过圆内接 等边三角形的边长，取圆内接 等边三角形BCD的顶点B为弦 的一个端点，当另一点在劣弧 CD上时，|BE|BC|，而弧CD 的长度是圆周长的三分之一， 所以可用几何概型求解，有,答：“弦长超过圆内接等边三角形的边长”的概率为,“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参与者只须将手上的“金币”（设“金币”的半径为r）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为a的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠），便可获奖.,百味探究题: 抛阶砖游戏,玩抛阶砖游戏的人，一般需换购代用“金币”来参加游戏. 那么要问：参加者获奖的
10、概率有多大？,显然,“金币”与阶砖的相对大小将决定成功抛中阶砖的概率.,分析:设阶砖每边长度为a , “金币”直径为d .,a,若“金币”成功地落在阶砖上，其圆心必位于右图的绿色区域A内.,问题化为:向平面区域S （面积为a2）随机投点（ “金币” 中心），求该点落在区域A内的概率.,S,则成功抛中阶砖的概率,由此可见，当d接近a, p接近于0; 而当d接近0， p接近于1.,（0da）,若da, 你还愿意玩这个游戏吗？,课堂小结,1.古典概型与几何概型的区别.,相同：两者基本事件的发生都是等可能的； 不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.,2.几何概型的概率公式.,3.几何概型问题的概率的求解.,
