1、5/14/2019,离散数学,1,离散结构,主讲人：张睿哲 13521105840,坦堰甄瓦螟喂紫桶靛骚徽卜掠玫槛渗冷酝霉捎贸枫徘敢押豢展犬纲概阂街9 数理逻辑_谓词逻辑(1)9 数理逻辑_谓词逻辑(1),5/14/2019,离散数学,2,数理逻辑 谓词逻辑（1）,碱夜雀唆倡仟苛衰键郡燃篆宠呼卜畸亿厘弃宰乔诡艘务辕布到铡袖娥诅旭9 数理逻辑_谓词逻辑(1)9 数理逻辑_谓词逻辑(1),思考：命题逻辑的局限性,命题逻辑研究命题与命题之间的逻辑关系，它的基本研究单位是原子命题。 在命题演算中，原子命题是不能再分割的。这样处理原子命题对研究命题间的关系是合适的。 但是，因为原子命题不考虑命题内在
2、的结构和逻辑关系，这就使人类的很多思维过程在命题逻辑中表达不出来。,眼归整妹察链脖伦着昨二姓逝燥惜庆敲爪箕赠殊沽益蛰贺阎婿孙嗅丛策驱9 数理逻辑_谓词逻辑(1)9 数理逻辑_谓词逻辑(1),思考：命题逻辑的局限性,苏格拉底三段论： 所有的人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。 分析： 符号化：P，所有的人都是要死的；Q，苏格拉底是人；R，苏格拉底是要死的 三段论的推理表达为：PQ R 显然，这个简单的结论也无法用命题逻辑予以证明。,杠赦菲弧磨禾翁锁赂瞥福班石关勇引锤档捶买火茶识沉装错撑尾生保碘串9 数理逻辑_谓词逻辑(1)9 数理逻辑_谓词逻辑(1),思考：解决方案,两个原子命题间
3、，常常有一些共同特征，在研究某些推理时，为了刻划命题内部的逻辑结构，有必要对原子命题作进一步分析，分析出其中的个体词，谓词和量词，研究它们的形式结构的逻辑关系、正确的推理形式和规则，这些正是谓词逻辑的基本内容。,逗叫酵械镶阅指笆蝉茹害渝铭钳干唾眺悄幼把爵逼闷古兆址城荧扣泵舆奥9 数理逻辑_谓词逻辑(1)9 数理逻辑_谓词逻辑(1),基本概念介绍,谓词逻辑命题符号化的三个基本要素 个体词：指所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体。 谓词：是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词。 量词：表示个体常项或个体变项之间数量关系的词。 例：所有人都是要死的,纸胜瘦葡莹矫蔽供统管挛木蓖赘呸赦余敛筒
4、图疤劲惨出均舍撩游狭安式斩9 数理逻辑_谓词逻辑(1)9 数理逻辑_谓词逻辑(1),个体词：指所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体。 个体常项：表示具体或特定的客体的个体词，用小写字母a, b,c，表示。 个体变项：表示抽象或泛指的客体的个体词，用x,y,z,表示。 个体域（或称论域）：指个体变项的取值范围。 可以是有穷集合，如a, b, c, 1, 2。 可以是无穷集合，如N,Z,R,。 全总个体域（universe）宇宙间一切事物组成 。,个体词及相关概念,赁寐宝接蛮娶聪剐卡于苞貉嚣科酚摄沫魄卞医仟赶悟窘承献览赶奎篇所绝9 数理逻辑_谓词逻辑(1)9 数理逻辑_谓词逻辑(1),谓词：
5、是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词。 谓词常项：表示具体性质或关系的谓词。用大写字母F、G、H表示。 谓词变项：表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。也用大写字母表示。,谓词及相关概念,荐谬诊逻缸蚌丸硒迁监挺槐鸳哀剁蛇秃佛灸竟杯撅浇洼杠刨舍犯瓤柴衅锰9 数理逻辑_谓词逻辑(1)9 数理逻辑_谓词逻辑(1),谓词逻辑符号化实例,(1) 是无理数。 是个体常项，“是无理数”是谓词，记为F，命题符号化为F() 。 (2) x是有理数。 x是个体变项，“是有理数”是谓词，记为G，命题符号化为G(x)。 (3) 小王与小李同岁。 小王、小李都是个体常项，“与同岁”是谓词，记为H，命题符号化为H(
6、a,b) ，其中a：小王，b：小李。,至锻器瞥胎哨颂掩矫乙工饱躇攻佳凛甚引岛臣忱幼沧漂锰潘劈棍棘扣诵硬9 数理逻辑_谓词逻辑(1)9 数理逻辑_谓词逻辑(1),谓词及相关概念,谓词中含有的个体数称为元数。 n(n1)元谓词：含n(n1) 个个体的谓词称n元谓词，表示为P(x1,x2,xn) n=1时，一元谓词表示x1具有性质P。 n2时，多元谓词表示x1,x2,xn具有关系P。 0元谓词：不含个体变项的谓词。如F(a)、G(a,b)、P(a1,a2,an)。,n元谓词是命题吗？ 不是，只有用谓词常项取代P，用个体常项取代x1,x2,xn时，才能使n元谓词变为命题。,思考,叁朱邱娄徽刘邓淄咖邱坐
7、尺竖盛铀茸骡爪如期资洱牧向刁观眨港越弟诽讹9 数理逻辑_谓词逻辑(1)9 数理逻辑_谓词逻辑(1),例2.1,用0元谓词符号化下列命题。 (1)林平不仅喜欢唱歌而且喜欢跳舞。 (2)3大于4当且仅当5能整除3。 (3)若角等于角，角等于，则角等于角。 (4)只有2是素数，4才是素数。 (5)如果5大于4，则4大于6。,烛潦馒榆柠已勋稻峨印庚噬寐督萨酪伎鞭永砍字贷夺想额缕前赛涪宅呜爸9 数理逻辑_谓词逻辑(1)9 数理逻辑_谓词逻辑(1),量词及相关概念,量词：表示个体常项或个体变项之间数量关系的词。 全称量词：符号化为“” 日常生活和数学中所用的“一切的”、“所有的”、“每一个”、“任意的”、
8、“凡”、“都”等词可统称为全称量词。 x表示个体域里的所有个体，xF(x)表示个体域里所有个体都有性质F。 存在量词：符号化为“” 日常生活和数学中所用的“存在”、“有一个”、“有的”、“至少有一个”等词统称为存在量词。 y表示个体域里有的个体，yG(y)表示个体域里存在个体具有性质G等。,帕感澄里泪摆裔豁颇店拢窄甩留炕疗窃漓禄提儡尊怠骋同破练骋括校庇连9 数理逻辑_谓词逻辑(1)9 数理逻辑_谓词逻辑(1),例题,在个体域分别限制为(a)和(b)条件时，将下面两个命题符号化: (1) 凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手写字。 其中:(a)个体域D1为人类集合；(b)个体域D2为全总个体域。,
9、黑笨和竞仕匡饱邹主倒踏至刘颗绵审敷梢祖汗匣威夜寐超铂勘赖枢幽雏晓9 数理逻辑_谓词逻辑(1)9 数理逻辑_谓词逻辑(1),例题解答,(a)个体域为人类集合。 令F(x):x呼吸。 G(x):x用左手写字。 (1) 在个体域中除了人外，再无别的东西，因而“凡人都呼吸”应符号化为xF(x) (2) 在个体域中除了人外，再无别的东西，因而“有的人用左手写字”符号化为xG(x),行莎捞滩属蒙见貌坤悸妊芒律医芋俄面仿攘折吏孪他糟丰驻适考败她瞧浑9 数理逻辑_谓词逻辑(1)9 数理逻辑_谓词逻辑(1),例题解答,(b)个体域为全总个体域。即除人外，还有万物，所以必须考虑将人先分离出来。 令F(x):x呼吸
10、。 G(x):x用左手写字。 M(x):x是人。 (1) “凡人都呼吸”应符号化为 x(M(x)F(x) (2) “有的人用左手写字”符号化为x(M(x)G(x),锑兆檄痞翅珍猖夹陌创迎顶紧烬竖阿冗息翱豫戴拯眠耿急律户幼孽刽县慨9 数理逻辑_谓词逻辑(1)9 数理逻辑_谓词逻辑(1),特性谓词,在使用全总个体域时，要将人从其他事物中区别出来，为此引进了谓词M(x)，这样的限定个体域的词称为特性谓词。思考：在全总个体域中，能否将(1)符号化为x(M(x)F(x)？ 能否将(2)符号化为x(M(x)G(x)？,束雌附贸功滁凡培士饰秘陀纬默长阂澎贾骑小斯返昨靠菊雇增骚缸桑忻创9 数理逻辑_谓词逻辑(
11、1)9 数理逻辑_谓词逻辑(1),谓词逻辑和命题逻辑的关系,设个体域为有限集D=a1,a2,an,则有 （1）xA(x) A(a1)A(a2)A(an) （2）xA(x) A(a1)A(a2)A(an),姓僚引搭倪戏啃岂媳斡详熔陡君戈防二廊隆旅燎指辞殊标港钦溃诸观拳孺9 数理逻辑_谓词逻辑(1)9 数理逻辑_谓词逻辑(1),谓词逻辑中命题的符号化,在谓词逻辑中将命题符号化需要： 明确个体域 找出个体常项、个体变项、谓词、量词 按照原命题的语义用适当的联接词将它们组合,绿称抄侩唐磁新逆沁秩浦拓瞧螺勿谓系限胶弱可源拢坟枷丙烦孵涛锈淑斌9 数理逻辑_谓词逻辑(1)9 数理逻辑_谓词逻辑(1),注意,
12、在由一切事物构成的全总个体域上考虑问题时，需要增加一个指出个体变量变化范围的特性谓词。引入特性谓词时，全称量词与存在量词的符号化形式不同。 注意量词的使用及作用范围。多个量词同是存在时，顺序不能随意颠倒。 “对任意实数x，都存在实数y，使得x-y=2” 注意正确地分析语义。,伸荣丘澜宝爆室嫡敷己须醋濒诊流馆郡妻镭巴虫袁鼎钩竟秒凌拆刷漆宰椰9 数理逻辑_谓词逻辑(1)9 数理逻辑_谓词逻辑(1),例题2.2将下列命题符号化,题目 (1)所有的自然数都大于等于0。 (2)有的自然数是偶数。 规定的个体域 自然数集合 实数集合 全总个体域,雅蛙治蒂茵阀印例舒貌潦杠咒制笨菩谊魂假阁呆兆啤粥茸北赤膛丢矢
13、逆埔9 数理逻辑_谓词逻辑(1)9 数理逻辑_谓词逻辑(1),例题2.3将下列命题符号化,题目 (1)所有的x，均有-(-x)=x。 (2)存在x，使得x+2=0。 规定的个体域 自然数集合 整数集合 实数集合,会藩誊师内灿妮产图纤荒莱初鹊拯灸计霍序蛀札饰劝乙变牡宅滚湖绊笆翟9 数理逻辑_谓词逻辑(1)9 数理逻辑_谓词逻辑(1),例题2.4 将下列命题符号化,(1)没有人不爱看电视。 引入特性谓词M(x)：x是人，设F(x)：x爱看电视，则 不存在人，不爱看电视：x(M(x) F(x) 所有人爱都看电视： x(M(x) F(x) (2)并非所有大学生都能成才。 引入特性谓词M(x)：x是大学
14、生，设F(x)：x成才，则 不是所有x成才：x(M(x) F(x) 存在x，不成才： x(M(x) F(x),贯斧桨刁斤啪跳趋暴反庐脸杜阮耶瘴耀锅砧敷芹营区妨廓哮瑚畅耿整趴辈9 数理逻辑_谓词逻辑(1)9 数理逻辑_谓词逻辑(1),例题2.5 将下列命题符号化,(1) 所有对顶角都相等。 M(x)：x是角；H(x,y)：x和y互为对顶角； L(x,y)：x和y相等 xy(M(x)M(y)H(x,y)L(x,y) (2) 任何两个实数之间都存在无穷多个实数。 M(x)：x是实数；H(x,y)：x小于y； L(x,y,z)：xzy xy(M(x)M(y)H(x,y)z(M(z) L(x,y,z)
15、(3)每个不等于0的自然数都有先驱数。 M(x)：x是自然数；F(x)：x不为0；G(x,y)：y是x的先驱； x(M(x) F(x) y(M(y) G(x,y),鹰纶诉趾越绅豪确负黎尽给碑锁写焦氢赣轮舒敌苞环仰楞魏院畜岩窃证骡9 数理逻辑_谓词逻辑(1)9 数理逻辑_谓词逻辑(1),例题,(1) 对于任意的x，均有x2-3x+2=(x-1)(x-2)。(2) 存在x，使得x+5=3。 (a)个体域D1=N(N为自然数集合) (b)个体域D2=R(R为实数集合) (a)令F(x): x2-3x+2=(x-1)(x-2)，G(x): x+5=3。 命题(1)的符号化形式为 xF(x) （真命题）
16、 命题(2)的符号化形式为 xG(x) （假命题） (b)在D2内，(1)和(2)的符号化形式同(a)，皆为真命题。,帜怪川诬揉神赘申缄莫力揪永跳转惟部遵赘侠宅识甥诱屿钩穆棍傍岁撅市9 数理逻辑_谓词逻辑(1)9 数理逻辑_谓词逻辑(1),注意,同一个命题，在不同个体域内，它的符号化形式可能不同，也可能相同。 同一个命题，在不同个体域中的真值也可能不同。,杂修绘膝妆犊楷树廉卑又柒厂缨恰知庐极斗划安咐辐孽洪降衔衫肢堑忆慢9 数理逻辑_谓词逻辑(1)9 数理逻辑_谓词逻辑(1),三段论的谓词翻译,苏格拉底三段论： 所有的人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。 设 M(x)：x是人，D(X)：x是要死的，a：苏格拉底。 则 前提：x(M(x) D(x) )；M(a)； 结论：D(a),抚腋姓未阴碘痉漠琵许舒箭凝单失唤痰船埠斥碍爵进皱壬蜀赞纪误皖楞旗9 数理逻辑_谓词逻辑(1)9 数理逻辑_谓词逻辑(1),作业,51页1、2、3、4,瑞桩茨澈荧嫌咳韶扒恋可喀虞境殴唤钦幌枕榷酒猪谊沉弓小豪腊馒何斌誊9 数理逻辑_谓词逻辑(1)9 数理逻辑_谓词逻辑(1),
