1、离 散 数 学,数学科学学院,2019年7月5日星期五,任课教师:杨春,2019/7/5,3.5 公式的标准型范式,3.5.1 析取范式和合取范式 定义3.5.1 （1）命题变元或命题变元的否定称为文字 （2）有限个文字的析取称为析取式(也称为子句） （3）有限个文字的合取称为合取式(也称为短语）,2019/7/5,例子,（1）、是文字； （2）是子句； （3）是短语。,定义3.5.2,（1）有限个短语的析取式称为析取范式 （2）有限个子句的合取式称为合取范式,2019/7/5,例子,、是析取范式、合取范式； 是子句、析取范式、合取范式， ( )仅是子句、合取范式； 是短语、析取范式、合取范式
2、， ()仅是短语、析取范式； ()()是析取范式； ()()是合取范式； 句子()、()即不是析取范式也不是合取范式,2019/7/5,总结,单个的文字是子句、短语、析取范式，合取范式 单个的子句是合取范式； 单个的短语是析取范式； 若单个的子句（短语）无最外层括号，则是合取范式（析取范式）； 析取范式、合取范式仅含联结词集， “”联结词仅出现在命题变元前。,2019/7/5,范式的求解方法,定理3.5.1 对于任意命题公式，都存在与其等价的析取范式和合取范式。,转换方法： （1）利用等价公式中的等价式和蕴涵式将公式中的、用联结词 、来取代，这可利用如下等价关系：() = ()；() = ()
3、() = ()()。,2019/7/5,范式的求解方法(续),（2）重复使用德摩根定律将否定号移到各个命题变元的前端，并消去多余的否定号，这可利用如下等价关系：() =；() = ；() = 。,（3）重复利用分配定律，可将公式化成一些合取式的析取，或化成一些析取式的合取，这可利用如下等价关系：() = ()()；() = ()()。,2019/7/5,例3.5.1,求公式：()(R)的析取范式和合取范式,解 ()(R) = ()(R)(RP)= ()(R)()( RP) = (R)( RP）= (R) 合取范式= R 析取范式,2019/7/5,范式的不惟一性,考虑公式： ()()， 其与之
4、等价的析取范式：()；()()；()()；()()。 这种不惟一的表达形式给研究问题带来了不便。,2019/7/5,3.5.2 主析取范式和主合取范式,1. 极小项和极大项,定义 3.5.3 在含有n个命题变元P1、P2、P3、Pn的短语或子句中，若每个命题变元与其否定不同时存在，但二者之一恰好出现一次且仅一次，则称此短语或子句为关于P1、P2、P3、Pn的一个极小项或极大项。,对于n个命题变元，可构成2n个极小项和2n个极大项,2019/7/5,2 主析取范式和主合取范式,定义3.5.4 在给定的析取范式中，每一个短语都是极小项，则称该范式为主析取范式 在给定的合取范式中，每一个子句都是极大
5、项，则称该范式为主合取范式 如果一个主析取范式不包含任何极小项，则称该主析取范式为“空”；如果一个主合取范式不包含任何极大项，则称主合取范式为“空”。,2019/7/5,定理3.5.2,任何一个公式都有与之等价的主析取范式和主合取范式。,证明：（1）利用定理3.4.1先求出该公式所对应的析取范式和合取范式；,（2）若析取范式的某一个短语中缺少该命题公式中所规定的命题变元，则可用公式：( )Q = Q 将命题变元P补进去，并利用分配律展开，然后合并相同的短语，此时得到的短语将是标准的极小项；,2019/7/5,证明（续1）,若合取范式的某一个子句中缺少该命题公式中所规定的命题变元，则可用公式：
6、( )Q = Q 将命题变元P补进去，并利用分配律展开，然后合并相同的子句，此时得到的子句将是标准的极大项.,（3）整理与合并。,2019/7/5,例3.5.2,利用等价公式转换法求公式(PQ)(QR)的主析取范式和主合取范式 。,解 （1）求主析取范式(PQ)(QR)= (PQ)(QR) (PQ)(QR) 析取范式 = (PQ(RR)(PP)QR) = (PQR)(PQR)(PQR) (PQR) 主析取范式,2019/7/5,例3.5.2（续）,（2）求主合取范式(PQ)(QR)= (PQ)(QR)=(PQ)(PR)(QQ)(QR)= (PQ)(PR)(QR) 合取范式=(PQ(RR)(P(
7、QQ)R)(PP)QR)= (PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR) (PQR)= (PQR)(PQR) (PQR)(PQR) 主合取范式,2019/7/5,真值表技术,列出公式对应的真值表，选出公式的真值结果为真的所有的行，在这样的每一行中，找到其每一个解释所对应的极小项，将这些极小项进行析取即可得到相应的主析取范式。 列出公式对应的真值表，选出公式的真值结果为假的所有的行，在这样的每一行中，找到其每一个解释所对应的极大项，将这些极大项进行合取即可得到相应的主合取范式。,2019/7/5,例3.5.4,利用真值表技术求公式G = ()的主析取范式和主合取范式。,2019/7/5,
8、例3.5.4(续1),（1）求主析取范式 找出真值表中其真值为真的行：2. 0 0 1； 4. 0 1 1； 5. 1 0 0； 6. 1 0 1；8. 1 1 1。 这些行所对应的极小项分别为：P， P，P，P，P。,2019/7/5,例3.5.4(续2),将这些极小项进行析取即为该公式G的主析取范式。G = () = (P)(P) (P)(P)(P),2019/7/5,例3.5.4(续3),（2）求主合取范式找出真值表中其真值为假的行：10 0 0； 30 1 0； 71 1 0。这些行所对应的极大项分别为：P、P 、 将这些极大项进行合取即为该公式G的主合取范式：G = ()=(P)(P
9、)(),2019/7/5,3 极小项与极大项的编码,2019/7/5,例3.5.5,设=()()()，求其对应的主析取范式并排序。,解 = ()()( )=()()()， = ()()() ()()()= ()()() ()()()= m0m1m3m4m6m7 主析取范式,2019/7/5,定理3.5.4,如果命题公式是永真公式当且仅当它的主析取范式包含所有的极小项，此时无主合取范式或者说主合取范式为“空”。 如果命题公式是永假公式当且仅当它的主合取范式包含所有的极大项，此时无主析取范式或者说主析取范式为“空”。 两个命题公式是相等的当且仅当它们对应的主析取范式之间相等，或者(可兼或)它们对应的主合取范式之间相等。,2019/7/5,例3.5.7,求证(PQ)(PR)P(QR),证明 左式 = (PQ)(PR) = (PQ)(PR)= (PQ(RR)(P(QQ)R)= (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)= (PQR)(PQR)(PQR)= M4M5M6右式 = P(QR) = P(QR)= (PQ)(PR) = M4M5M6 两个公式具有相同的主合取范式，故两公式等价。,2019/7/5,习题,习题册：P10P11 10、11题。,Thank You !,http:/202.115.21.136:8080/lssx/,
