1、本 科 生 毕 业 论 文高等代数知识在初等数学中的应用目 录摘要 .IAbstract.II第一章 绪论 .1第二章 高等代数与初等数学的联系 .22.1 知识方面的区别与联系 .22.2 思想方法方面的区别与联系 .22.3 观念方面的区别与联系 .4第三章 多项式理论在初等数学中的应用 .53.1 去重因式分解多项式 .53.2 利用因数定理分解多项式 .53.3 利用对称多项式与轮换多项式的性质分解多项式 .63.4 多项式的一些应用 .6第四章 行列式在初等数学中的应用 .84.1 应用行列式判定二元二次多项式的可分解性 .84.2 应用行列式分解因式 .94.3 应用行列式解决数列
2、问题 .9第五章 线性方程组在初等数学中的应用 .125.1 在平面解析几何上的应用 .125.2 在空间解析几何中的应用 .135.3 在求解二元方程组上的应用 .14第六章 柯西不等式在初等数学中的应用 .156.1 柯西不等式在解析几何中的应用 .156.2 柯西不等式在解其它题方面的应用 .15第七章 结 论 .18参考文献 .19致谢 .20I摘 要高等代数是现代数学中一个重要的分支，是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充高等代数是初等数学的进化高等代数不仅是初等数学的延拓，也是现代数学的基础，只有很好的掌握高等代数的基础知识才能适应数学发展和教材改革高等代数知识在开阔视野，指导中
3、学解题等方面的作用尤为突出在许多问题中，如果我们能用高等代数知识解决一些初等数学中的问题，将命题转化为一般性的问题进行解决，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新文章一方面介绍了高等代数与初等数学的联系，从数学知识、数学思想方法、数学观念 3 个方面发掘一下高等数学类课程与中学数学的联系另一方面介绍高等代数的一些知识在初等数学的应用如多项式、行列式、线性方程组、柯西不等式在初等数学中的应用，高等代数应用于中学数学并不是简单的一题多解,而是一种知识的融会贯通和发展学生的发散和联想思维用高等代数的观点去研究初等数学史新世纪对中学数学教师的高水平要求，教师是否具有较高的教学观点，是衡量教师数学素质的
4、重要标准教师具有高的观点，就能从高处看清中学教材的内在结构和本质联系，把握教材的重、难点；教师具有高观点，就能从认知的角度，在知识的各部分参透高等数学的观点，培养学生的创造性、判断性思维关键词： 高等代数 多项式 行列式 柯西不等式 初等代数 应用IIAbstractHigher algebra is an important branch of modern mathematics, which is on the basis of the elementary algebra research object for further expansion. Advanced algebra i
5、s the evolution of elementary mathematics. Advanced algebra is not only the continuation of elementary mathematics, also is the foundation of modern mathematics, only good to master the basic knowledge of advanced algebra can adapt the mathematical development and teaching materials reform. Advanced
6、 algebra in the open field of vision of knowledge, especially the role of guiding middle school problem solving, etc. In many problems, if we can use the advanced algebra knowledge to solve some problems in the elementary mathematics, converting the proposition to general problems are solved, can of
7、ten get twice the result with half the effort, make the person find everything new and fresh.Higher algebra and elementary mathematics were introduced on the one hand, from the concept of mathematics knowledge, mathematics thought method, mathematics three aspects of excavating the higher mathematic
8、s curriculum links with the middle school mathematics. On the other hand, introduces some knowledge of advanced algebra in the application of elementary mathematics. Such as polynomial, determinant, system of linear equations, cauchy inequality in elementary mathematics, the application of advanced
9、algebra to establish mathematics is not a simple problem solution, but a mastery of knowledge and the development of students divergent and associative thinking. In view of higher algebra to study the history of elementary mathematics for middle school mathematics teachers in the new century of high
10、 level requirements, whether teachers with high teaching point of view, is the important measure of teachers mathematics quality. Teachers have a high point of view, and can see the inner structure and the essence of the middle school teaching material from a height, grasp the heavy and difficulties
11、 of teaching materials; Teachers have a high point of view, can from the perspective of cognition, in the knowledge of each part searches view of higher mathematics, develop the students creativity, critical thinking.Keywords: Advanced Algebra Polynomial determinant Cauchy inequality Elementary Alge
12、bra Application兴义民族师范学院本科毕业论文1第一章 绪论人类的文明进步和社会发展，无时无刻不受到数学的恩惠和影响，数学科学的应用和发展牢固地奠定了它作为整个科学技术乃至许多人文科学的基础的地位，当今时代，数学正突破传统的应用范围向几乎所有的人类知识领域渗透，它和其他学科的交互作用空前活跃，越来越直接地为人类物质生产与日常生活作出贡献，也成为其掌握者打开众多机会大门的钥匙在长期开设高等代数等数学类课程的实践中一直存在两方面的问题，一方面由于中学知识难以与高等代数直接衔接，使不少大学生一接触到“数学分析” 、 “高等代数”等课程，就对数学专业课程产生了畏惧情绪：另一方面，由于高等代
13、数理论与中学教学需要严重脱节，许多高师毕业生对如何用高等代数知识指导初等代数教学感到茫然通过本文的介绍，使读者都能清楚地看到：高等代数知识在初等数学的继续喝提高，在思想方法上是初等数学的延续和扩张，在观念上是初等数学的深化和发展这样学生学习高等代数的难度就会大大降低高等代数与中学数学在思想方法方面的联系主要体现在抽象化思想、分类思想、结构思想、类比推理思想、公理化方法等方面高等代数与中学数学的联系对比不但可以降低高等代数课的学习难度，而且增强了高等代数课对培养中学数学教师的指导作用马克思曾说过：“一门学科 只有成功地应用了数学时，才真正达到了完善的地步” 高等代数作为一门抽象的大学学科，虽然表
14、面上是独立的知识体系，但并没有与初等代数内容严重脱节，而是相互参透，彼此相通。因此在数与教的过程中，要学会融会贯通，灵活运用应用于初等代数是有意义的，它使高等代数知识和方法得到一定的应用它将使学生从中学的解题思维定势中走出来，用一种更广阔的眼光看初等数学问题，这才是教与学的真正目的，这对逐步把学生培养成一名合格的数学教师是重要的兴义民族师范学院本科毕业论文2第二章 高等代数知识与初等数学的联系高等数学类课程在知识上是中学数学的继续和提高，在思想方法上是中学数学的沿用和扩张，在观念上是中学数学的深化和发展高等代数与中学数学在思想方法方面的联系主要体现在抽象化思想、分类思想、结构思想、类比推理思想
15、、公理化方法等方面注意与中学数学的联系对比不但可以降低高等代数课的学习难度，而且增强了高等代数课对培养中学数学教师的指导作用高等代数作为数学的基础学科，与初等数学有很多联系，参考文献 【1】 从数学知识、数学思想、数学观念三个方面讨论高等代数与初等数学的区别与联系2.1 知识方面的区别与联系初等数学讲多项式的运算法则而高等代数在拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上，接着讲多项式的整除理论及最大公因式理论初等数学讲一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根与系数的关系高等代数接着讲一元 次方程根的定义，复数域上一元 次方程nn根与系数的关系及根的个数，实系数一
16、 次方程根的特点，有理系数一元 次方程有理根的性质及求法，一元 次方程根的近似解法及公式解简介初等数学学习的整数、有理数、实数、复数为高等代数的数环、数域提供例子初等数学学习的有理数、实数、复数、平面向量为高等代数的向量空间提供例子初等数学中的坐标旋转公式成为高等代数中坐标变换公式的例子初等几何学习的向量的长度和夹角为欧氏空间向量的长度和夹角提供模型，三角形不等式为欧氏空间中 2 点间距离的性质提供模型，线段在平面上的投影为欧氏空间中向量在子空间的投影提供模型综上所述可知，高等代数在知识上的确是中学数学的继续和提高它不但解释了许多中学数学未能说清楚的问题，如多项式的根及因式分解理论、线性方程组
17、理论等，而且以整数、实数、复数、平面向量为实例，引入了数环、数域、向量空间、欧氏空间等代数系统这对用现代数学的观点、原理和方法指导初等数学教学是十分有用的兴义民族师范学院本科毕业论文32.2 思想方法方面的区别与联系内容 初等数学 高等代数抽象化思想小学从具体事物的数量中抽象出数字，开创了算术运算的时期中学用字母表示数，开创了在一般形式下研究数、式、方程的时期用字母表示多项式、矩阵，开始研究具体的代数系统，进而又用字母表示满足一定公理体系的抽象元素，开始研究抽象的代数系统向量空间、欧氏空间化归思想化无理方程为有理方程，化分式方程为整式方程，化三元一次方程组为二元一次方程组直至一元一次方程，通过
18、化归矩形推导平行四边形面积公式，这些都用到化归思想在通过按行按列展开，将阶数较高的行列式化为阶数较低的行列式；通过选定基，将向量之间的关系转化为向量坐标之间的关系，将线性变换的研究转化为矩阵的研究分类思想中学按概念对研究的对象分类高等代数除按概念分类，按元素间的等价关系分类，利用向量空间的同构关系对向量空间、欧氏空间按维数分类，等等结构思想现代数学通过 3 种数学结构将数学各分支联系成一个整体中学数学与高等代数都用现代数学的观点和语言组织教材从负数到负多项式、负矩阵再到负元素，从数的运算律到集合、多项式、矩阵的运算律再到代数系统的运算律类比推理思想在中学数学中，由分数的性质类比推理分式的性质；
19、由 2 直线的位置关系类比推理 2 平面的位置关系；由直角三角形的勾股定理类比推理具有 3 直角顶点四面体的勾股定理由整数整除理论类比推理数域F 上的多项式的整除理论；由直角坐标系下，几何向量的长度、夹角、内积、距离公式类比推理规范正交基下，n 维欧氏空间中向量的长度、夹角、内积、距离公式严格的逻辑推理方法中学数学中严格的定义较少，定理和习题的推理过程较短，几何问题的推导还常常借助直观图形首先给出严格的定义，然后从定义出发，通过严密的逻辑推理，得出性质、定理、推论，直至建立完整的理论体系中学平面几何将利用直觉经 由实质公理化方法到形式公理兴义民族师范学院本科毕业论文4公理化方法验不证自明的少数
20、命题和推导原则作为公理，由此出发推证出大量新的命题，这已用到实质公理化方法化方法体现了公理化方法的发展坐标方法中学数学通过数轴建立了直线上点的坐标，通过平面坐标系建立了平面上点的坐标通过向量空间的基建立了向量空间中各种向量的坐标，推导出了向量和及向量数乘的坐标计算公式，证明了坐标变换公式变换方法中学数学学过线性方程组的同解变换将这些同解变换转换成矩阵的初等变换，由此得到一种用途广泛的解题方法矩阵的初等变换法构造性方法高等代数与中学代数虽然在知识深度上有较大差异，但产生知识的思想方法却是一脉相承的只是由于中学数学的知识较浅，内容较窄，对思想方法的巨大作用体现不深而已通过学习高等代数等近、现代数学
21、课程，从而深刻地认识到数学思想方法在揭示数学知识的内在联系，学习和应用数学思想方法的自觉性大大增强而这种自觉性对于当前提高中学数学教学质量恰恰是最为重要的2.3 观念方面的区别与联系在初等数学中初步萌生的若干数学观念，包括数学研究的对象，数学研究的特点等，在高等代数中将得到深化和发展关于数学研究的对象，由初等数学研究的数、代数式、方程、函数等内容，初等几何研究的点、线、面、常见图形等内容，不难看出：数学研究的对象是现实世界的数量关系和空间形式然而这个观念在高等代数等后继课程中却不断受到冲击首先，集合的包含关系，多项式的整除关系，向量的线性关系，矩阵的等价、相似、合同关系已不再是传统意义下的数量
22、关系其次，向量空间、欧氏空间也不再局限于有直观意义的空间形式高等代数等近、现代数学课程都说明：数学是一门应用抽象量化方法研究关系、结构、模式的科学这一新的观念对于指导中学教改是至关重要的关于数学研究的特点，人们普遍认为是抽象性、严谨性和应用的广泛性，然而仅从中学数学是很难深刻体会到这些特点的首先看抽象性中学数学中，从用字母表示数，诸多数学概念的形成已使学生初步体会到兴义民族师范学院本科毕业论文5抽象的含义和作用但是对数学科学如何借助于抽象而不断发展却知之甚微，通过高等代数等后继课程的学习，这样的例子就渐渐多了起来 第三章 多项式理论在初等数学中的应用3.1 去重因式分解多项式引理 3.1【2】
23、 若一个多项式 有重因式，比如()fx120()kknappx则可求 与 的最大(1,iik使 (),ipxFi在 数 域 上 不 可 约 ， ()ffx公因式 11.()()nkkd分析：我们利用以上的引理，令 ，其中120()=()()kknfxapxpd是 最大公因式，则分解 可转化为分解 ,一方面 与()dxF()fFX有相同的不可约因式，另一方面 一般情况下次数低于 的次数。f ()fx当然就降低了分解的难度例 3.1.1 求多项式 在有理数域上的标准分解式 532()10154fxx解 ： 4f 32(),(1fxx得 2()/gxfx所以 的不可约因式为 ()x4,1但是 由重因
24、式定理， 是 的 4 重因式， 3,()fxx()f所以 4()1x兴义民族师范学院本科毕业论文63.2 利用因数定理分解多项式引理 3.2【3】 是 的因式的充分必要条件是 =0 亦即 是xc()f ()fcxc的因式，c 是 的根，并且 c 是 的几重根， 就是 的几重()fx()f ()fxxf因式这样只要求出 的若干个根，就可得到 的若干个因式，用 除()fx()f ()fx以这若干个因式的积，得到商式，分解 就转化为分解商式，达到 “降次”fx分解的目的 分析：引入新变量代替多项式中某些变量，使原多项式变为新变量的多项式，这种方法叫做换元法通过换元，使关于新变量的多项式次数较原多项式
25、次数小，达到降次分解的目的例 3.2.1 求 在有理数域上的标准分解式532()10154fxx解 的首项系数 1 的因子有 ，常数项 的因子有1,2， 4，故 的根有可能是 将其代入 逐一检验，得出 和 是()fx,2， ， ()fx的有理根不妨设 ，利用多项式乘法法32()4)fxab则将右边展开且合并同类项，得 5432()(3)()(1)(34)fxabxxbx与进行逐项比较，得 所以， 324()1()()fx换元法是一种重要的数学思想方法，通过换元可以使隐蔽的数量关系明朗化，从而达到化难为易、化繁为简在因式分解中，尤其对倒数多项式更为有效 3.3 利用对称多项式与轮换多项式的性质分解多项式对称多项式都是轮换多项式，所以只讨论轮换多项式的分解即可分解轮换多项式就是选定一个元为主元，将其它元看成常数，原多项式就被看成是关
