1、 中国古代数学史发展中国古代数学有举世公认的辉煌的成就。根据中国科学技术史 论著索引卷，截至2002年中国学者发表的中算史论文在七百篇以上。如今中国许多著名大学设有中国数学史课程，有些还设有硕士、博士班。中国数学史也是许多西方大学的博士论文题材。中国数学有别于希腊数学的特点，是数学的机械化，算法化，与希腊数学重逻辑推理的公理化相对照。算筹、算盘就是中国古代的“计算机” ，筹算解方程的“术曰”和珠算口诀就是计算程序。中国古代算学家擅长计算，祖冲之精确计算圆周率，领先世界近一千年就是一个很好的例子。明代朱载堉王子发明十二平均律时，使用81档大算盘，计算开平方，开立方，得到25 位数字，又是一例。中
2、国数学史又称为中算史，的确恰当。关于中算史的分期，大体依照吴文俊院士主编的一套内容丰富的中国数学史大系的分期。中算从三世纪到十四世纪，领先世界有一千七百年之久，是当时世界数学发展史中的主流。中国数学发展的独创性。中国数学起源于仰韶文化，距今有五千余年历史，在周公时代，数乃是六艺之一。在春秋时代十进位制的筹算已经普及。中国数学发展的长期性。著名日本数学史家三上义夫指出，中国算学的发展有二三千年之久，如此长久的发展历史，世界各国未曾有过，希腊自公元前6世纪到公元4世纪，仅一千年历史；阿拉伯数学限于公元8世纪到13世纪。 “中国之算学史，其有长期之发展，不能不谓之为世界中稀有之例也 .中国传统数学的
3、实用性。中国传统数学具有强烈的实用数学特点，和抽象化的希腊数学形成鲜明的对照。从周髀算经 九章算术 、 海岛算经 到数书九章等算经十书其取材都和天文、历算、农业、测量、工程等实用问题。中算的“学以致用”和希腊的几何学迥然不同。中国数学机械化的特点。中国数学有别于希腊数学的特点，是机械化、算法化、和构造性，与希腊数学重逻辑推理相对照。中国传统数学以算为主，算筹、算盘就是中国古代的“计算机” ，算经中的术文和珠算口诀就是计算程序。中国古代算学家擅长计算，祖冲之精确计算圆周率，领先世界近一千年就是一个很好的例子。明代朱载堉发明十二平均律时，使用80档大算盘，计算开平方，开立方到小数点后25位，又是一
4、例。中国数学史又称为中算史 数学具备完整的体系。中国数学具备完整体系-算法体系。其基本特征在于将实用问题（包括几何学问题）代数化，转化为线性方程组、高次多项式方程、或高次多项式方程组。然后运用算具通过刻板的、机械的逐次消元程序求将多元线性方程组、或多元高次方程组转化为单变数式或单变数多项式。再经过机械化的算法和算具求解。这和西方数学讲究“存在性” ， “完备性”而不重实用成鲜明的对照。经西汉的张苍、耿寿昌增补和整理成定本的九章算术已经详细说明开平方、开立方、和求解线性方程组的算法。宋代秦九韶的 数书九章发展了一元高次方程求数值解的程序化、机械化算法。元代朱世杰的 四元玉鉴 更进一步发展了多至四
5、元的多项式方程组的消元和求解的算法。 从秦汉以来，直到宋元，中国数学一直领先世界。而代数学基本是中国的创造。 中国古代猿人已有初步的几何形状的认识。中国考古学家在陕西发现的几十万年前蓝田猿人遗留的不规则的石球。几万年前山西原始人制作的石球形状规则。到了新石器时代，出现空心陶球。七千年前河姆渡人遗址中发现圆筒，圆珠等形状。新石器时代陶器上出现有规则的图案。半坡出土文物中有双耳陶器，三足陶器，有的陶器上刻有四叶纹，说明上古时代已有1，2，3，4等数字概念。1963年中国考古学家在山西省朔县峙峪村出土二万八千年前的兽骨，上有不同数目的刻痕。从一万多年前山顶洞人遗址中出土的骨管，上刻有可能表示十进位制
6、的圆形、长形刻符，圆形的表示单位数，长形的可能代表十位数。西安半坡和姜寨出土的新石器时代陶器上有代表一、二、三、四、五、六、七、八、十、二十、三十的数字符号。 1974年 1978年中国考古学家从青海乐都县出土数万件新石器时代的遗物，其中有些骨片上有不同数目的刻纹，表示1到8之数，未发现有10道以上刻纹，与存在十进位制相符。十进位制起源于中国，至少在公元前1400年的中国商代就已经出现。李约瑟指出：“在商代甲骨文，十进位制已经明显可见，也比同时代的巴比伦和埃及的数字系统更为先进。巴比伦和埃及的数字系统，虽然也有进位，唯独商代的中国人，能用不多于9个算筹数字，代表任意数字，不论多大，这是一项巨大
7、的进步” 。筹算至少在战国初年筹算已然出现。它使用中国商代发明的十进位制计数，利用九九表可以很方便地进行四则运算以及乘方，开方等较复杂运算，并可以对零、负数和分数作出表示与计算。春秋战国时代已经形成数学的九个分支-九数： 郑玄引周礼注：“九数：、方田、粟米、 差分、 少广、商功、 军输、 方程、 盈不足、 旁要。 ” 方田：田地测算。 粟米：粮食换算比率 差分：赋税的分配。 少广：田亩面积和长阔。 商功：工程土方估计。 均输 ：运输费用的分配。 方程 ：方程式。 盈不足： 旁要：勾股问题。算数书是 1983年中国考古学家在湖北汉代古墓中发现的竹简。经学者鉴定，算数书成书于 前202年至 前18
8、6年之间，是中国最古老的数学书，比九章算术早三百余年。 算数书有68个算题，分别是：里田，约分，合分，出金，径分，分当半者，增减分，乘，相乘，分乘，大广，粺谷，粟求米，米求粟，粟为米，粟求米，春粟，取程，耗，耗租，程禾，丝练，羽矢，取枲程，程竹，挐脂，铜耗，金价，漆钱，饮漆，医，石率，贾盐，米粟并，粟米并，并租，女织，妇织，狐皮，狐出关，传马，共买材，税田，误帣，租误帣，缯幅，息钱，少广，少广，启广，启从，圆材，井材，圆亭，除，郓都，刍，旋粟，囷盖，负炭，羽矢，卢唐，负米，分钱，米出钱，方田，以方材圆，以圆材方，形。算题的内容大致包括如下几方面； 整数、分数的运算；o 乘；“一乘十，十也：十乘
9、万，十万也：半乘千，五百：少半乘少半，九份一也：四分乘五分，二十分一，七分乘八分，五十六分一也。 ” 几何级数o 女织；“邻里有女恶自善织，日自在，五日织五尺。问：首日及其次各几何？曰：始织一寸六十二分寸三十八，次，三寸六十二分寸十四，次，六寸六十二分寸二十八，次，尺二寸六十二分寸五十六，次，二尺五寸六十二分寸五十。术曰。 ”o 狐出关；“狐、狸、犬出关，租百一十钱。犬谓狸、狸谓狐，尔皮倍我，出租当倍我。问各出几何？得曰犬出十五钱七分六，狸出三十一钱分五，狐出六十三钱分二。法曰令个相倍也，并之，七为法。以租各乘之，为实。实如法得一。 ” 利息计算：o 息钱：“贷钱百，息月三。今贷六十钱，月未盈
10、十六日归，计息几何？得曰；二十五分钱二十四。术曰：。 ” 税率计算o 负米；“人负米不知其数，以出三关三税之一。已出，余米一斗。问始出卖米几何？” 几何计算圆亭，井材，以方材圆 兑换粟求米，米求粟，粟为米，粺谷 产量春粟，程禾 用盈不足术求平方根方田；“田一亩方几何步？曰：方十五步三十一分步十五。术曰方十五步，不足十五步；方十六步，有余十六步。曰：并盈不足为法，不足子乘盈母，盈子乘不足母，并以为实。 ” 其中； 盈=16，不足=15；“并盈不足为法”：16+15 作分母：不足子=15，盈母=16，盈子=16，不足母=15；“不足子乘盈母，盈子乘不足母，并以为实” ； 15x16+16x15 作
11、分子(实) 答案：240（一亩=240 平方步）= (15x16+16x15)/(16+15)= 15 (15/31)。九章算术九卷，是现存最早的中国古代数学著作之一， 算经十书中最重要的一种。其作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的。 九章算术内容丰富，题材广泛，共九章，分为二百四十六题二百零二术，不但是汉代重要的数学著作。在中国和世界数学史上占有重要的地位。作为中国古代数学的系统总结，对中国传统数学的发展有了深远的影响。根据研究，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，但是其基本内容在东汉后期已经基本定型。九章算术将书中
12、的所有数学问题分为九大类，就是“九章” 。 1984年，在湖北出土了算数书书简。据考证，它比九章算术要早一个半世纪以上，书中有些内容和九章算术非常相似，一些内容的文句也基本相同。有人推测两书具有某些继承关系，但也有不同的看法认为九章算术没有直接受到算数书影响。由于九章算术中只是列出了例子及一般的算法，却很少有任何解释和说明，所以有很多人曾为九章算术作注，提出了简括的证明，证明了些算法的正确性。较为著名的有在三国时期魏元帝景元四年（ 263年） ，刘徽为九章作注，加上自己心得体会，使其便于了解，可以流传下来。唐代李淳风又重新做注（ 656年） ，作为算经十书之一，作为国子监算学馆的教材和明算科的
13、考试项目。 九章算术共收有246个数学问题，分为九大类，在一个或几个问题之后，列出这个问题的解法。 方田章：主要是田亩面积的计算和分数的计算，是世界上最早对分数进行系统叙述的著作。 粟米章：主要是粮食交易的计算方法，其中涉及许多比例问题。 衰分章：主要内容为分配比例的算法。 少广章：主要讲开平方和开立方的方法。 商功章：主要是土石方和用工量等工程数学问题，以体积的计算为主。 均输章：计算税收等更加复杂的比例问题。 盈不足章：双设法的问题。 方程章：主要是联立一次方程组的解法和正负数的加减法，在世界数学史上是第一次出现。 勾股章：勾股定理的应用实数系统 九章算术对自然数即正整数及其运算没有给予论
14、述，但却加以广泛应用，以自然数的基础上编写。虽然不是论述分数的专书，但是对于分数的意义、性质、四则运算论述完备。例如：约分术、合分术（加法） 、减分术（减法） 、乘分术（乘法） 、经分术（除法） 、课分术（比较大小）与平分术（平均数） 。九章算术出现负数概念，方程章为了配合方程术的算法，给出正负数的加、减法则。减法为“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之” 。加法为“异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之” 。其中“除”是减， “益”是加， “无入”是指没有对方，不过乘除法并未记载。九章算术对自然数、分数、正负数以及一些特殊无理无给予一定的论述，基本上具备实数系统的雏形。比例与盈亏算
15、法 粟米章所述今有术，即是四项比例算法，按术文“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一” 。今有术在九章算术应用非常广泛，为一种解题的基本算法。另一种常用的算法是衰分章的衰分术，为配分比例算法。其术文为：“各置列衰，副并为法，以所分乘未并者各自为实，实如法而一” 。九章算术以列衰的倒数为列衰，称为反衰术。反衰术就是衰分术与反比例相结合的算分。而衰分术与反衰术相结合的算法，就是均输章的均输术。 九章算术不但有正比例算法、而且还有反比例算法、复比例算法、连比例算法以及配分比例算法。这些算法都是以今有术为基础，发展而汇集起来的各种算法。盈不足术是中国古代一种解算术难题的算法。一般算术应用题，
16、都有确切答案。盈不足术为了推算答案，预先设立一个数字作为答案，依题目核算，若结果合问题，所设之数就是答案；若不合问，非盈即不足；通过两次假设，即可利用盈不足术求出答案。这类问题共有五种，即一盈一不足，两盈、两不足、一盈一适足、一不足一适足。 九章算术则汇集这五种问题，并给出算法。盈不足章除了拥有算术应用问题外，还包括一些初等超越方程问题，用这种模式算法解出前一类问题得到确切解，用以解后一类问题则得近似解。求积与勾股 九章算术论述的几何图形，多为直线型和圆型的图形，根据算田亩的需要，九章算术论述方田、圭田、邪田、箕田、圆田、弧田、环田及宛圆的面积算法。另外由于土木建筑的需要， 九章算术还有论述直
17、线型立体和圆型立体图形的体积算法，这些体积算法的编排，由简单到复杂，形成独特的理论体系。勾股计算， 九章算术分为四类问题。有勾股互求、勾股整数、勾股两容、勾股相似。勾股互求，即是已知勾股的一般线线，推求其他线段。勾股整数，即是九章算术给出推求勾、股、弦，都是整数的算法。勾股两容，为推求勾股形内接正方形及内切圆的算法。勾股相似，为利用相似勾股形性质，进行简单测远、测高的算法。九章算术对几何问题的处理，分为三部分，有体积算法、面积算法、线段算法，分别隶属于商功、方田、勾股三章。开方与方程 九章算术列出的平方术、开立方术以及线性方程组的解法，可以看作中国古代代数学的主要内容。 九章算术记载的这些算法
18、非常详尽，经由这些论述，可以了解中国古代代数学发展的成果。开平方术、开立方术，不但可以解出二项二次方程、二项三次方程，而且可以解出一般的二次数值方程和三次数值方程。它是中国古代解出高次数值方程的基础，在数学的发展也有重要地位。方程章所论“方程” ，地位相当于今天线性方程组。所论“方程术” ，为所谓“直除法” 。 “直除”是连续相减的意思或累减的意思， “直除法”为连续相减消元法，在理论上、算法上与今天加减消元完全一样。在方程章所列十八题中，有的相当于二元一次方程组，有的相当于三元一次方程组，也有的相当于五元一次方程组。其中第十三题为：“今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，如丙一绠；
19、丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深，绠长各几何” 。所问是六个未知数之值，依题意只能列出五个一次方程，可见这是世界上最早的一次不定方程组。 九章算术总结了自先秦以来的中国古代数学，它既包含了以前已经解决了的数学问题，又有汉朝时新发现的数学成就。一般认为，它在数学史上，标志着中国古代数学体系的形成，是中国古代数学体系的初期代表作。 九章算术问世之前的中国先秦典籍中，记录了不少数学知识，但是却没有九章算术的系统论述，尤其是由易到难、由浅入深、从简单到复杂的编排体例，从而形成中国传统数学的理论体系。因而后世的中国数学家，都是从此开始学习和
20、研究，唐、宋时，为国家明令规定的教科书，北宋时由政府刊刻，又是世界上最早的印刷本数学书。 九章算术中有许多数学问题都是世界上记载最早的。例如，关于比例算法的问题，它和后来在 16世纪西欧出现的三分律的算法一样。关于双设法的问题，在阿拉伯曾称为契丹算法， 13世纪以后的欧洲数学著作中也有如此称呼的，这也是中国古代数学知识向西方传播的一个证据。 九章算术对中国古代的数学发展有很大影响，这种影响一直持续到了清朝中叶。 九章算术的叙述方式以归纳为主，先给出若干例题，再给出解法，不同于西方以演绎为主的叙述方式，中国后来的数学著作也都是采用叙述方式为主。历代数学家有不少人曾经注释过这本书，其中以刘徽和李淳
21、风的注释最有名。 九章算术隋、唐时，流传到了日本和朝鲜，对其古代的数学发展也产生了很大的影响，之后更远传到印度、阿拉伯和欧洲，现已译成日、俄、英、法和德等多种文字版本。西汉的张苍、耿寿昌增补和整理九章算术 ，写成定本，详细说明开平方、开立方、和求解线性方程组的算法。张衡 (78年139年）发明 、 、 作为圆周率的值。魏晋南北朝 此一时期(220-581)，中国数学在四方面有长足进展，分别为直角三角形三边关系的确认、测量学、平面面积和立体体积的计算，以及推算圆周率，由赵爽、刘徽、祖冲之与祖暅父子4人个别或相继完成。宋朝 秦九韶的 数书九章发展了一元高次方程求数值解的程序化、机械化算法。金元 元
22、代朱世杰的 四元玉鉴 发展了多至四元的多项式方程组的消元和求解的算法。明代朱载堉发明十二平均律时，使用80档大算盘，计算开平方，开立方到小数点后25位。在西学东渐的时代，不少中算家又回到古籍，发现许多起初东渐来的课题，其实中国古已有之。晚清由于传教士带动，又起一阵取经风。 薛凤祚 李子金 算法通义 梅文鼎 年希尧 视学 戴震 李湟 沈钦裴 畴人传 明安图 明安图变换 吴烺 焦循 加减乘除释 李锐 开方说 汪莱 衡斋算学 孔广森 董祐诚 割圆比例术图解 项名达 象数一原 戴煦 求表捷术王韬 李善兰 李善兰恒等式 则古昔斋算学 数理精蕴 华蘅芳 决疑数学 丁取忠 白芙堂算学从书 时曰醇 百鸡术衍 同文馆 同文馆算学课艺 。数学史既属史学领域，又属数学科学领域，因此，数学史研究既要遵循史学规律，又要遵循数理科学的规律。根据这一特点，可以将数理分析作为数学史研究的特殊的辅助手段，在缺乏史料或史料真伪莫辨的情况下，站在现代数学的高度，对古代数学内容与方法进行数学原理分析，以达到正本清源、理论概括以及提出历史假说的目的。数理分析实际上是“古“ 与“今“间的一种联系。
