1、 陕西理工学院学年论文第 1 页 共 9 页二次型及其应用郑青青(陕理工数计学院数学与应用数学数教 102班，陕西 汉中 723000)指导教师：刘莉君【摘要】二次型是线性代数的重要内容之一,本文在对二次型性质研究的基础上, 对二次型的理论进行了推广, 讨论了二次型的应用.【关键词】二次型;二次型的应用;四元二次型;正交变换1.引言在数学中, 二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题. 现在二次型的理论不仅在几何而且在数学的其他分支及物理、力学、工程技术中也常常用到. 二次型应用的领域很广, 在以前的学习中求一元或多元函数的最值的方法通常有利用图象法或微分理论, 而下
2、面将利用二次型的性质来求函数的最值，以及利用二次型的正交变换求某些曲线或曲面积分.关于二次型的一般理论, 可参看文献1-3, 一些专题研究可参看文献4-6. 2.二次型一般理论设 是一个数域, , 个文字 的二次齐次多项式PPaijnnx,21,212322 131121nijji nnxaxaaxf 称为数域 上的一个 元二次型,简称二次型.当 为实数时,称 为实二次型;当 为复数时,称Pnij fija为复二次型.f设 阶对称矩阵n nnnaaA 212112则 元二次型可表示为下列矩阵形式:n陕西理工学院学年论文第 2 页 共 9 页.AXxaaxxf Tnnnn 2121122121
3、),(),(其中 .对称矩阵 称为二次型的系数矩阵,简称为二次型的矩阵.TnxX),(21A二次型与非零对称矩阵一一对应.即,给定一个二次型,则确定了一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵;反之,给定一个非零的对称矩阵,则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵.如果二次型中只含有文字的平方项.即 222121, nn xdxdxf 称 为标准型.在高等代数的教材中, 还有以下关于二次型理论的结果.f3. 一般二次型的应用3.1一般的 元二次式的最值的判定与求法n一般的 元二次多项式的形式为(3.1)cxbxaniinijji 112而（3.1）式存在最值的充要条件为(3.2)niinijjix
4、bxa112存在最值(上式中 ),故只需要对(3.2)进行讨论.jiija定理 14 实 元多项式(3.2),它的矩阵为 ,秩为 ,对(3.2)式作非退化的线性替换,nAr,其中PYX 0srsEP那么,（i）当 半正定时:A1 若 ,则(3.2)式存在最小值;nr2 若 ,一次项所含新变数均在平方项中出现,则(3.2)式有最小值;3 若 ,一次项所含新变数至少一个不在平方项中出现,则(3.2)式不存在最值.（ii）当 半负定时:A1 若 ,则(3.2)式存在最大值;nr2 若 ,一次项所含新变数均在平方项中出现, 则(3.2)式有最大值;3 若 ,一次项所含新变数至少一个不在平方项中出现,则
5、(3.2)式不存在最值.陕西理工学院学年论文第 3 页 共 9 页（iii） 不定,则(3.2)式不存在最值.A证明 （i）令 , ,nxX,21 nijaAnbB,21则(3.2)式改写为: (3.3)X因 半正定,故存在可逆矩阵 ,使 ,对(3.3)式作非退化线性替换 ,变为AP0rEAPYX(3.4)BPYY2其中 ,而nyY,21,其中nycycBP221 njjiipb1(1) 若 , ,这时(3.4)式变成nrnEA nn ycycyy 221221 ininc1212等号成立当且仅当 iyi ,3,1时取得,此时将 代入 得唯一一组 的解,此即取最值的点.iicyPYXX(2)
6、若 ,因 正定,故 的秩等于它的正惯性指数,即存在可逆矩阵 ,使nrA A,在非退化线性替换 下,(3.4)式变为:0EAP(3.5)nnr ycycyyBYY 2222121 若一次项所含新字母均在平方项中出现,即至少有 021rrc(3.5)式可变为 个数的完全平方加一个常数,故存在最小值.r(3)一次项所含新字母至少一个不在平方项中出现,即中至少一个不为零nrcc,21不妨设 ,此时(3.5)式变为01rc.nn ycycyyc 2221221 令 01 nry陕西理工学院学年论文第 4 页 共 9 页取绝对值很大的负值,则上式的值会很小,故不存在最小值;又若 取绝对值很大的正值,则上1
7、ry 1ry式的值将会很大,故不存在最大值.因此不存在最值.(ii) 半负定,则 半正定,利用(i)可得(ii)的结论成立.Anija(iii) 不定,则存在可逆矩阵 ,使P0srEA其中 , 均不为零rs否则 ,则 半正定; 则 半负定,都与 不定矛盾.这时(3.5)式变为0Aorniisrr ycyy122121令 ,而 取任意的数,可以知道上式的值大于任何给的正数,故不存在最大值.02ny令 ,而 取任意大的数,则上式的值小于任何预先给定的负数,021 nry 1r故不存在最小值.例 14 讨论 3222233 43214344131242 xxxxxx是否有最值.解 将上式的矩阵 写出
8、,对 作合同变换得到A10231P它使 主对角线上有一零021AP故知 ,而对角线上其余的非零数全是正的, 故知 半正定矩阵,是否存在极值还应看替换nr3 A后的情形才能定.作线性替换 ,原多项式的二次齐次项部分变为 ,一次项部分为PYX 2321yy.31434324321 yyy 陕西理工学院学年论文第 5 页 共 9 页所含字母 , , 均在平方中出现,属于定理 1中的情况,存在最小值.1y23对变换后的多项式配方,得 .212323211321 yyyy故当 , , 时,上式有最小值 .1y23将 , , 代入 中,当3PYX, , , ( 为任意常数)4127yx421yx432yx
9、4xy时,原式有最小值 3.2 n元二次型的特征方程的求法定义 11 1)矩阵 的 阶子式:在一个 矩阵 中任意选定 行 列,位于这些选定的行AknsAk和列的交点上的 个元素按原来的次序所组成的 阶行列式,称为 的一个 阶子式; 2 k2)矩阵的 阶主子式:就是指行指标和列指标相同的 阶子式.k定理 24 设 元二次型为n(3.6) nnn xaxxaxaxF 1,1212211 2, 则 元二次型的特征方程是n.0112121221121 nnnnnnnn IIIaa 其中 是 元二次型的矩阵 的一切 阶主子式之和.iI,Ai证明 根据行列式的性质,将行列式 nnnnaa 21221121
10、拆成 个行列式之和,将其中的一个行列式12n 0陕西理工学院学年论文第 6 页 共 9 页设为 ,其余 个行列式可依次有行列式 的第 列 乘以 代换 的第 列,行列式B12n Aini11Bi的第 列和第 列Aijnji分别乘以 代换 的第 列和第 列，行列式 的第 列 分别乘以kji、 nji代换 的 列1kji、依次类推.即 01100 00021 21221121 2121 12121221121 nnnn nnnji jjii ni iinnnnIII aaaaaaA 其中 是 元二次型(3.6)的矩阵 的一切 阶主子式之和.iI, Ai例 2求四元二次型 43423241321242
11、1431, xxxxxxF 的特征方程.解 四元二次型的矩阵为 ,根据上述定理可知:102A.012 ,41021122 ,7101,4432 III所以, 四元二次型的特征方程为陕西理工学院学年论文第 7 页 共 9 页.04711222343.3二次型在因式分解中的应用定理 34 一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式乘积的充分必要条件是:它的秩为 2和符号差为 0,或秩等于 1.证明 必要性设 nnn xbxbaxaxf 212121,1) 若两个一次多项式的系数成比例,即 .不妨设 ,令ikbi ,01a.,221nnxy 则 ,即二次型 的秩为 1.2121,kyxfn f
12、,212)若两个一次多项式的系数不成比例,不妨设 ,令21ba.,3212nnxyxbxay 则 2121,yfn再令 .,3212nzyzy则 ,故二次型 的秩为 2,符号差为 0.21221,zyxfn nxf,21陕西理工学院学年论文第 8 页 共 9 页充分性 1) 若 的秩为 1,则经非退化线性替换使 ,其中nxf,21 2121,kyxfn.故naxay21.2121, xaxakf nn2) 若 的秩为 2,符号差为零nf,21则可经非退化线性替换使 21212121, yyyxfn 其中 , 均为 的一次齐次多项式,即1y2nx,21, ,naay21 nxbxb212故 可表
13、示成两个一次齐次多项式的乘积.nxf,21例 3 多项式 9262, 11211 xxxxf在 上能否分解？如果能,将其分解.R解 考虑二次型 232312121321 96, xxxxg其矩阵为 0923A则秩 ,由定理 3知, 能在 上分解,则:1Ar21,xgR也能在 上分解.易得,22xgxf.212121 3, xf3.4 利用二次型的正交变换求某些曲线或曲面积分利用二次型的正交变化可以方便地计算某些积分区域或曲面围成的特殊积分.例 4 求 ，其中123dx.1232)()( 3121321 xxxf解 由上例知正交变换能够保持几何形状不变,所以椭球 , 3212321321xf陕西
14、理工学院学年论文第 9 页 共 9 页与椭球 132221 yyyf体积相同.记 则2221231231 3()()(3)()Dyfy.12312341123Ddxdy4.结束语随着人类社会的进步,科学技术的发展,经济全球化进程的日益加快,二次型的学习已被广泛的应用于自然科学、环境保护、工程技术、经济理论和经营管理等许多领域.尤其是在市场经济加速发展的今天,人们对二次型在实际中的应用更是取得了长足的进步,使人能够将主观决策通过客观规律加以改进,取得更大的效益.参考文献1 王萼方等编.高等代数 （第三版）.北京：高等教育出版社，2003.2 蒋尔雄等编.线性代数.北京：人民教育出版社，1978.3 徐仲等编.高等代数考研教案.西安：西北工业大学出版社，2009.4 陈凯等著。 线性代数及应用 。北京：水利电力出版社，1985.5 杨家骐等编。 高等代数在初等数学中的应用.济南:山东教育出版社，1986.6 孙学波.基于正定二次型的一个不等式及其证明 ，鞍山科技大学学报，2004，27（4）：256-259.
