1、高考视角下导数相关题型解析题型一：导数及其运算13B112012课标全国卷 曲线 yx(3lnx 1) 在点(1,1)处的切线方程为_13答案 y4x 3解析 y3lnx1x 3ln x4，故 y| x1 4.故所求切线方程为 y14(x 1)，3x即 4xy30.12B112012辽宁卷 已知 P，Q 为抛物线 x22y 上两点，点 P，Q 的横坐标分别为4，2，过 P、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点 A，则点 A 的纵坐标为( )A1 B3 C4 D812C 解析 本小题主要考查导数的几何意义的应用解题的突破口为求切点坐标和切线的斜率由 x22y 可知 y x2，这时 yx，由 P，
2、Q 的横坐标为 4，2，这时 P(4,8)，Q(2,2), 12以点 P 为切点的切线方程 PA 为 y84( x4)，即 4xy80；以点 Q 为切点的切线方程 QA 为 y2 2(x2) ，即 2xy20；由联 立得 A 点坐标为(1，4)，这时纵坐标为4.8B122012重庆卷 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f( x)，且函数 f(x)在x2 处取得极小值，则函数 yxf ( x)的图象可能是( )图 118C 解析 在 A 中，当 x2 时，由 图象知 yxf(x)0，则 f(x) 0；当2x0 时，由 图象知 yxf( x)0，则 f( x)0，所以函数在 x2 处没有
3、极值；在 B 中，当 x2 时，由图象知 yxf(x) 0， 则 f(x) 0；当2x 0 时，由 图象知 yxf ( x)0，则 f(x ) 0，所以函数在 x2 处没有极值；在 C 中，当 x2 时，由图象知 yxf(x) 0， 则 f(x) 0；当2x 0 时，由 图象知 yxf ( x)0，则 f(x ) 0，所以函数在 x2 处取得极小值；在 D 中，当 x2 时，由图象知 yxf(x)0，则 f( x)0；当2x0 时，由图象知 yxf ( x)0，则 f(x ) 0，所以函数在 x2 处取得极大值综上所知，选 C.10B11、B12、E12012浙江卷 设 a0，b0，e 是自然
4、对数的底数( )A若 ea2ae b3b，则 abB若 ea2a eb3b，则 abD若 ea2ae b3b，则 ae b3b，令函数 f(x)e x3x，则f(x)在 (0，)上单调递增，f (a)f(b)，ab，A 正确，B 错误；由 ea2ae b3b，有 ea2ab，当 a，b(ln2，)时 ，由 f(a)0)1ax(1)求 f(x)的最小值；(2)若曲线 yf(x )在点(1，f(1)处的切线方程为 y x，求 a，b 的值3217解：(1)( 方法一 )由题设和均值不等式可知，f(x)ax b2b.1ax其中等号成立当且仅当 ax1.即当 x 时，f( x)取最小值为 2b.1a(
5、方法二) f(x)的导数 f( x)a .1ax2 a2x2 1ax2当 x 时，f(x)0，f(x )在 上递增；1a (1a， )当 02 时， f( x)0，函数 f(x)为增函数；当 x0，f(x)单调递增；(0，nn 1)而在 上，f( x)0，故 f(x)在( ， 2)上为增函数；当 x( 2,2)时，f(x)0，故 f(x)在(2 ， ) 上为增函数由此可知 f(x)在 x12 处取得极大值 f(2)16c， f(x)在 x22 处取得极小值 f(2)c16.由题设条件知 16c28，得 c12.此时 f(3) 9 c21，f(3) 9c3，f (2)16c 4，因此 f(x)在
6、3,3上的最小值为 f(2)4.18B10、B11、B12 2012北京卷 已知函数 f(x)ax 2 1(a0)，g(x)x 3bx .(1)若曲线 yf(x )与曲线 yg(x)在它们的交点(1 ，c)处具有公共切线，求 a，b 的值；(2)当 a3，b9 时，若函数 f(x)g( x)在区间k,2上的最大值为 28，求 k 的取值范围18解：(1)f( x)2ax，g(x)3x 2b.因为曲线 yf(x )与曲线 yg (x)在它们的交点(1 ，c)处具有公共切线，所以 f(1)g(1)，且 f(1)g (1)即 a11b，且 2a3b.解得 a3，b3.(2)记 h(x)f(x)g(
7、x)当 a3， b9 时，h(x)x 33x 29x1，h(x)3x 26 x9.令 h(x) 0，得 x13，x 21.h(x)与 h(x) 在(，2上的情况如下：x (，3) 3 (3,1) 1 (1,2) 2h(x) 0 0 h(x) 28 4 3由此可知：当 k3 时，函数 h(x)在区间k,2上的最大值为 h(3)28；当3k2 时，函数 h(x)在区间k,2上的最大值小于 28.因此，k 的取值 范围是( ，3 因此，k 的取值 范围是( ，3 21B12、E8 2012课标全国卷 设函数 f(x)e xax2.(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 a1，k 为整数，且当 x0
8、时，(xk)f(x)x10，求 k 的最大值21解：(1)f(x)的定义域为( ，) ，f(x)e xa.若 a0，则 f(x)0，所以 f(x)在(，)单调递增若 a0，则当 x(，lna)时， f(x)0，所以，f(x) 在(，lna)单调递 减，在(lna，) 单调递增(2)由于 a1，所以( xk )f(x)x1(xk)(e x1)x1.故当 x0 时，( xk )f( x)x 10 等价于k0) x 1ex 1令 g(x) x ，x 1ex 1则 g(x) 1 . xex 1ex 12 exex x 2ex 12由(1)知，函数 h(x)e xx2 在(0 ，) 单调递增而 h(1)
9、0，所以 h(x)在(0， )存在唯一的零点故 g(x)在(0 ，) 存在唯一的零点设此零点为 ，则 (1,2)当 x(0，)时，g(x)0.所以 g(x)在(0，)的最小值为g()又由 g( )0 ，可得 e2，所以 g()1(2,3)由于 式等价于 k0，f(x)是增函数；1 a当 x( 1 ， 1 )时， f(x)0，f(x)是增函数1 a(2)由题设知，x 1，x2为方程 f( x)0 的两个根，故有a0，g(x)0；当 x(1， ) 时， h(x)0，所以 x(0,1)时，f(x )0；x(1， ) 时，f(x)0，函数 h(x)单调递增；当 x(e2 ，)时，h(x)1 时，f(x
10、)1 时，x32g(x) 1 时，2 1 时，f(x )0.21解：(1)由题意得 f( x)12x 22a.当 a0 时，f(x)0 恒成立，此时 f(x)的单调递增区间为( ， ) 当 a0 时，f(x)12 ，此 时(x a6)(x a6)函数 f(x)的单调递增区间为和 ，( ， a6 a6， )单调递减区间为 . a6，a6(2)由于 0x1，故当 a2 时，f(x)| a2|4x 32ax 24x 34x2.当 a2 时，f(x)| a2|4x 32a(1x)24x 34(1x)24x 34x2.设 g(x)2x 3 2x1,0x1， 则g(x)6x 22 6 ，(x 33)(x
11、33)于是x 0 (0，33) 33 ( 33，1) 1g(x) 0 g(x) 1 减 极小值 增 1所以，g(x) ming 1 0.(33) 439所以当 0x1 时，2x 32x10.故 f(x)|a2|4x 34x20.21B12、D22012 安徽卷 设函数 f(x) sinx 的所有正的极小值点从小到大排成的x2数列为 xn(1)求数列x n的通项公式；(2)设x n的前 n 项和为 Sn，求 sinSn.21解：(1)因为 f( x) cos x0，cosx .12 12解得 x2k (kZ)23由 xn是 f(x)的第 n 个正极小值点知，xn2n (nN*)23(2)由(1)可知，S n2(12n) n23n(n1) .2n3所以 sinSnsin .(nn 1 2n3)因为 n(n1) 表示两个连续正整数的乘积， n(n1)一定为偶数所以 sinSnsin .(2n3)当 n3m2(mN *)时，sinSnsin ；(2m 43) 32当 n3m1(mN *)时，sinSnsin ；(2m 23) 32当 n3m(m N*)时，sinS nsin2m 0.综上所述，sin SnError!
