1、20112012 学年上学期期末高三数学模拟试卷一、填空题（本大题共 14 题，每题 4 分，共 56 分）1. 求函数 的反函数为 21xy2. 经过点 且与向量 垂直的直线 的点法向式方程为 (,0)A)1,2(al3. 设 是实数若复数 的实部为 （ 表示虚数单位 ）, 则 mi0im4. 设 是正实数若椭圆 的焦距为 , 则 22169xym85. 若实数 满足 ，则 的最小值是 ba,ba36. 设全集 若集合 , 则 UR1AxAC7. 若 ，则 )2,0(,123cosin20318. 把三阶行列式 中元素 7 的代数余子式记为 ，若关于 的不等式xa054xf的解集为 ，则实数
2、 0xf ),2(bba9. 设 ， ，则集合 |3,0AZ且 |15BxAB10. 若 ，则称 A 是“伙伴关系集合” 。在集合 M= 的所有非空x1,且 21,34,0子集中任选一个集合，则该集合为伙伴关系集合的概率为 11. 若函数 上存在反函数，则实数 的取值范围为 )3,2()0(xay在 a12. 设 分别是双曲线 的左、右焦点，若点 在双曲线上，且21,F169yP，则 021P21PF13. 已知函数 是定义在 上的偶函数，且对任意 ，都有 ，当xfRRxxff4的时候， ， 在区间 上的反函数为 ，则6,4xf f0,2119f14. 已知以 为首项的数列 满足： ，若 ，则
3、数1ananna21)(2Nn 10a列的前 40 项之和 40S二、选择题：（本大题共 4 题，每题 5 分，20 分）15已知 为 的一个内角，且 ，若 ，则关于 的形状ABCsincom(0,1)ABC的判断，正确的是 （ ）A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D三种形状都有可能16、已知数列 的通项公式为 ，则 （ na12nan )(108Nnnalim）（A）1 （B） （C）1 或 （D）不存在41417、如图，设点 是单位圆上的一定点，动点 从 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点PA所转过的弧 的长为 ，弦 的长度为 ，则函数 的图像大致是（ ）PlAdlf18、已知 ，
4、 ， 为坐标原点，动点 满足 ，其中)1,2(A),(BOPOBnAm，且 ，则动点 的轨迹是 （ ）Rnm、 22nA焦距为 的椭圆 B焦距为 的椭圆332C焦距为 的双曲线 D焦距为 的双曲线三、解答题：（本大题共 5 题，12+14+14+16+18 共 74 分）19 （本题满分 12 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分）已知函数 .（1）求函数 的最小正周期和单调递增区3()sincos2fxx()fx间；（2）若 恒成立，求 的取值范围.2()logftt20. （本题满分 14 分，第（1）小题 8 分，第（2）小题 6 分）1）请用向量的思想证明点 到直线 的距离为
5、),(0yxp0:cbyaxL2|bacyxd2）利用点到直线的距离公式证明两平行线 的距离0:,: 2211L为 21|bacd21( 本题满分 16 分，第（ 1）小题 8 分，第（2）小题 8 分)某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为 的药剂后，经过 天该药剂在水中释放的浓mx度 （毫克/升）满足 ，其中 ，当药剂在水中释放的yymfx4260xxf浓度不低于 （毫克/升）时称为 有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于 （毫克/ 升）且4不高于 10（毫克/升）时称为 最佳净化.（1）如果投放的药剂质量
6、为 ，试问自来水达到有效净化一共可持续几天?4（2）如果投放的药剂质量为 ，为了使在 7 天（从投放药剂算起包括第 7 天）之内的自m来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量 的值.22、已知椭圆 C： 的焦点和上顶点分别为 、 、 ，我们称012bayx 1F2B为椭圆 的特征三角形。如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆21BF为“相似椭圆” ，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比。已知椭圆 以1C12byax抛物线 的焦点为一个焦点，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 4。xy342（1）若椭圆 与椭圆 相似，且相似比为 2，求椭圆 的方程。2C1 2C（2）已知点
7、 是椭圆 上的任一点，若点 是直线 与抛物线Pnm,01Qnxy异于原点的交点，证明点 一定落在双曲线 上。yxQ142x（3）已知直线 ： ，与椭圆 相似且短半轴长为 的椭圆为 ，是否存在正方形lx1CbbC，使得 在直线 上， 在曲线 上，若存在求出函数 的解析式ABCD,lDB,bABDSf及定义域，若不存在，请说明理由。23 （本题满分 20 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 8 分，第（3）小题 8 分）对于数列 ，如果存在一个正整数 ，使得对任意的 （ ）都有 成nxmnNnmx立，那么就把这样一类数列 称作周期为 的周期数列， 的最小值称作数列 的最小nx 正周期，以下简称
8、周期. 例如当 时 是周期为 的周期数列，当 时nx1si()2ny是周期为 的周期数列.ny4（1）设数列 满足 （ ） ， （ 不同时为 0） ，nanna12Nba21,求证：数列 是周期为 的周期数列，并求数列 的前 2012 项的和 ；6n201S（2）设数列 的前 项和为 ，且 . nanS2)1(4na 若 ，试判断数列 是否为周期数列，并说明理由；0a 若 ，试判断数列 是否为周期数列，并说明理由；1（3）设数列 满足 （ ） ， ， ， ，数nnn12N12a1nab列 的前 项和为 ，试问是否存在 、 ，使对任意的 都有 成立，若nbSpqnqSp存在，求出 、 的取值范围；不存在，说明理由.pq
