1、高等数学专题讲解（五）一、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分。把答案书写在答题纸相应番号的横线上）1极限 limxx2函数 在点 处的切线方程是 2y(3,9)3一阶线性微分方程 满足初始条件 的特解是 2yx 25xy4设函数 在点 处连续，则 1sin,0()cofxaxa5行列式 的值是 1234二、选择题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在答题纸相应番号的横线上）6函数 在点 处的全微分 等于（ ） 2zxy(1,)(1,)dz（A） （B） （C） （D）d2xyxy2d
2、xy7设 ， ，则（ ） 3nu32nv（A） 收敛， 发散 （B） 发散， 收敛1n1n 1nu1nv（C） ， 均发散 （D） ， 均收敛1nu1nv1n1n8函数 的单调递减区间为（ ） 3yx（A） （B ） （C） （D ）(,)(,)9设 为连续函数，二次积分 交换积分次序后等于（ ） (,)fxy20(,)xdfy（A） （B）20(,)ydfx 20(,)fxd（C） （D）1, ,y10设 ， ， ， 为同阶方阵， 为单位矩阵若 ，则下列各式中总成立的有（ BIIABCI） （A） （B） （C） （D）AI三、计算、应用与证明题（本大题共 10 小题，每小题 8 分，满分
3、80 分。解答应写出推理、演算步骤）11求极限 0sinlimco2xe12求定积分 3artd13设函数 ，求 s()xzyz14计算二重积分 ，其中 是由直线 ， 和 所围成的区域2De0yx115求微分方程 满足初始条件 ， 的特解450y02x07x16求幂级数 的收敛半径和收敛区域12nnx17求线性方程组 的通解234512345613452xxx18设矩阵 ，已知 ，求矩阵 01407A16ABB19求函数 在区间 上的最大值与最小值432()1fxx3,20证明：当 时， 0xe高等数学专题讲解（五）参考答案一、填空题1、 5e2、 690xy3、解：由题可知，该微分方程为一阶
4、线性微分方程，又 ， ，可知该为分方程1()Px2()Qx的通解为 ，将 代入通解，得 ，所112431dxdx CyeCx 25xy6C以该微分方程的特解为 .364y4、 15、 60二、选择题6、B 7、A 8、B 9、D 10、C 解：因为 ，所以 .1()EABCBC1()ABCAE三、计算与应用题11、112、解：令 ，则 ， ，当 时， ；当 时， ，所以tx2tdxt0xt3xt2333 320000arctnarctnarctn()arctn1td d.332 00 4rt(rt)13、解：因为 ， ，所以lnsi()xzyxy1sin()xzy.1li()i()x xzdx
5、ddd14、解：（图形同学们自己画）由图所示可知，积分区域为 ，(,)01,Dxyyx所以 .2 222211110000() ()xxx xxDedyedydee15、解：因为该微分方程为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为 ，解得2450r，所以该微分方程的通解为 ，又1,2ri212(cosin)xyeCx12(cosin)xyeCx，将 代入通解和 ，可得 ，所12(sincos)xeCx0,x07x 112273以该微分方程的特解为 .2(cs3in)ye16、解：因为 ，所以该级数收敛半径为1na 111()22limlilim()nnnRlin当 时，原级数 为交错级数且收敛
6、， 当 时，原级数2x111(2)()nnnx2x为调和级数是发散的，所以该级数的收敛区间为 111nn ,)17、解： 231506()424AB1234()rr 13150609432213r 2315003462134()rr 10036243412rr 0132314()rr 015320可见 ，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为()35rA（其中 为自由未知量）.13524xx35,x令 ，则有 ，即 .3152,xk11223425xkxk112234125()0kxk所以，该方程组的通解为 （ ）.1231245 00xk12,kR18、解：因为 ，又11166()6ABABA
7、EB，即 A 可逆，且 ， ，即103048107A1304712036可逆，且 ，所以1AE1021()306AE1116()6()BAEAE.136()021AE19、解： ，令 ，得322()41()1()2fxxxx()0fx，又 ， ， ， ， ，所以 在0,12x0()f)3f 4f(38ff上的最大值为 244，最小值为-31.（注意：求出的驻点必须在规定区间内，不在的必须舍去，而本3题的驻点都在规定区间内.）20、证明：令 ，则 在 上连续.()1xfe()fx,)（1）当 时， ，即 在 上严格单调增加，又 ，所以,当0x00(0)f时， ，即 .0x()0fx1xe（2）当 时， ，即 在 上严格单调减少，又 ，所以,当()0f()fx,0(0)f时， ，即 .x()fxxe综合（1） （2） ，可知当 时， .1x
